“说题”之“五说一看一内核”

“说题”之“五说一看一内核”葫芦岛市第一高级中学 王晓声“问题是数学的心脏”，这是美国当代数学家哈尔斯的话。没有好的问题就没有异彩纷呈的数学，没有好老师用好问题引领学生去学，就没有数学课堂的精彩。教师教的“有效”要通过“好题”的深入浅出，落实于学生学的“有效”上。教师说题不能停留在“从解题角度看说题”这种浅表的意义上。我从建构主义的学习理论上对说题给三条浅说陋见：一是从建构主义知识观的角度上看“说题”，你对题目所给出的答案不是该问题的最终答案，它必将随着学生认识程度的深入而不断变革、生华或改写，进而在学生的头脑中产生新的解释和假说；二是从建构主义的学习观角度上看“说题”，学习不是教师把知识简单传递给学生的过程，而是学生自己建构知识的过程，这里有“被动”和“主动”的重大差异。即便是你用所谓的“好题”做传输带，但你仅仅关注了自己的经验，而忽略了学生的经验，学生从你的传输带上也没啥东西可拿。因此，我们呈现的题目不应该是接力中的棒子，你的题目给的是“力”，学生接的是“力”，而非“接力棒”本身！三是从建构主义的教学观上看“说题”，我们选择的“好题”必须切中学生原有的知识经验，刺激学生把原有的知识经验作为新知识的生长点，进而形成新的知识经验。说题说到点儿上，这个点儿是度，即贴近学生的“最近发展区”。“说题”的内核不是“拿嘴拿题来说”，而是“用心用题去教”。下面笔者通过两道高考题的比对，阐释一下“说题”过程：问题2009年高考数学辽宁理21题2010年高考数学辽宁理21题题干函数f(x)=x2ax+(a1)lnx,a1.函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.(I)讨论f(x)的单调性;讨论f(x)的单调性;(II)证明:若a1.设a1,若对任意x1,x2(0,+),|f(x1)f(x2)|4|x1x2|,求a的取值范围.“说题”之“一说题目立意”考查求导公式法则,考查用导数方法判断函数的单调性; 考查“运算能力”中的较高层面“文字处理能力”考查分类讨论思想和化归思想; 考查用构造函数的方法论证或者处理不等式的能力“说题”之“二说背景出处”MNy=F(x)mnxx0x0处的切线任何抽象的代数形式背后,都有其深刻的几何背景！二题皆出自高等数学(数学分析)中的“拉格朗日中值定理”：设函数F(x)在闭区间m,n(mn)连续,开区间(m,n)可导,则$x0(a,b),使=F(x0)(即存在与割线MN平行的切线)就两题的(II)问来说,前者可“翻译”为“若a1”；后者“翻译”为“若a0,a1)f (x)=+2ax=(x0)(I)确定出讨论界点:a=1和a=2确定出讨论界点:a=0和a=1当a=2时,增区间是(0,+);减区间不存在当a(1,2)时,增区间是(0,a1)和(1,+);减区间是(a1,a)当a(2,+)时,增区间是(0,1)和(a1,+);减区间是(1,a1)当a1时,增区间不存在;减区间是(0,+)当1ax2,只要证明f(x1)f(x2)(x1x2)即证f(x1)+x1f(x2)+x2,由此找到构造新函数的根据分析:无妨设x1x20,当a0),g(x)=xa+1=x+(a1)(x0,1a0,a1g(x)2(a1)=2(a1)=(2)0(1a0g(x)在(0,+)单增x1x2g(x1)g(x2)0=11.证毕设g(x)=f(x)+4x(x0),据x1x20,恒有f(x1)+4x1f(x2)+4x2(等号成立当且仅当x1=x2)则g(x)是(0,+)上的减函数x(0,+)时g(x)=+2ax+40恒成立,即a(x0)恒成立h(x)=(x0),h(x)=(x0),易知h(x)在(0,)单减,在(,+)单增h(x)min=h()=2故a2.总之a(,2“说题”之“四说思想方法”分类讨论思想(如何进行逻辑划分?参数讨论界点的确定)；化归思想(如何进入旧有的认知结构?)；数形结合思想(隐藏着的)“说题”之“五说拓展引申”(I)编拟“有意思”的含参数讨论的问题,采用逆向思维.比如,我们“随便”写一个导函数f (x)=ax(2a+1)+,进而求出f (x)的一个原函数f(x)=x2(2a+1)x+2lnx,呈现问题:“设函数f(x)=x2(2a+1)x+2lnx,讨论f(x)的单调性.”(II)比如我们以三次函数为载体,设f(x)=x3+ax2,受论证方法的启发,设g(x)=f(x)+kxg(x)=3x2+2ax+k=3(x+)2+k,希望g(x)单增,故使+k0,即a23k(命k0)|a|错误！未定义书签。,于是呈现问题:“设函数f(x)=x3+ax2,证明:若k0,及|a|错误！未定义书签。,则对任意x1,x2R(x1x2),k(解除所给函数模型的桎梏).”这样编拟的问题虽然有刀刻斧凿的痕迹,不如原题浑然天成,但比原题多了一个解题入口:=x12+x22+x1x2+a(x1+x2)=x12+(x2+a)x1+x22+ax2=(x1+)2+x22x2a2=(x1+)2+(x2)2=k等号成立x1+=x2=0x1=x2=,矛盾,故k此题还有一个附加的功能,它解释了这样一个事实:“函数f(x)在区间(m,n)(mn)上割线斜率的集合记为A,而在(m,n)上切线的斜率集合记为B,真实的情况是AB(你找不到与三次曲线中心处的切线平行的割线!如右图).”三次曲线三次曲线设函数f(x)=xlnx.若对任意的x1,x2(2,+),x1x2,都有|f(x1)-f(x2)|0)成立,求正实数a的取值范围.(答:a)三次曲线中心处的切线(解除“拉格朗日中值定理”的桎梏)“说题”之“一看教师素养”通过你说题时内蕴的数学素养,看你外显的教师素养.我们不追求“太语文”,而是追求“很数学！”综上，在葫芦岛市教育学院两位专家型院长吴桂双和赵光千的引领下，高中部专家型数学教研员舒凤杰指定了“说题”标准，由“学者”（学习者的意思）王晓声在这里执行这个标准。我把它称之为“舒式说题法”，这样称呼的原因是，这样说题我感到很“舒适”！简言之，“舒式说课法”就是“五说一看一内核”，即一说“题目立意”、二说“背景出处”、三说“解答策略”、四说“思想方法”、五说“拓展引申”；“一看”是看“教师素养”；“一内核”是“用题去教”。从“说课”到“说题”，不但不是退步，反而是最大的进步！一脚迈进课的最深处，入微了，没有了“探”的束手束脚，直接进入了“究”的境界，因而，“说题”应该成为教师常态的“探究”活动。“说题”之“说”，不是教师的“单口”，而是课堂上的“对口”甚至“群口”。我们引领学生对问题进行评价，这样，我们教师就给学生引荐了更贴身的老师问题，这就是“以题为师”的理念。传统课堂，门关得很严，遮掩着“无效”的“苦劳”，最终是“教”者无奈、“学”者无助。传统课堂中的题目,很多时候是用来砌墙的，很少有铺路的功能。教师手中的题，只是别人烧好的砖块，他从那里搬到这里，或者鼓动学生做“码砖块”的游戏，热热闹闹一节课，结结实实一堵墙！“教”和“学”，一个墙里、一个墙外，何谈“教学”？“教”的归宿是“学”！课靠“教师教”来支撑，但课的生命是“学生学”的律动！“学会”是天、“会学”是地，对于教师而言，“教”的意义就是让学生感悟“立地”方可“顶天”！“有效教学”中的“有效”一定要通过学生学的“有效”来实现，也许，“好的问题”是两个“有效”之间的最短距离。“说题”中的“题”要精选，这个“题”，应该是“一只产金蛋的母鸡”，不要扼杀它！哲学告诉我们，“从实际情况出发，按客观规律办事”。“说题”的“实际情况”或者“客观规律”无一能脱离学生。清阮元的吴兴杂诗恰好说明了这个道理：交流四水抱城斜，散作千溪遍万家。深处种菱浅种稻，不深不浅种荷花。附注：笔者被称为数学“资深”教师，既然“资深”，就应该保护好自己的“身架”，不应在本该给青年教师搭建的台面上随便抛头露面了。但当舒老师找到我委派“说题”这个任务时，我没有推却，原因是我高度认同。我愿意做辽宁省第一个敢吃“虾爬子”的人！就“说题”而言，第一个吃螃蟹的人是人家“江浙”人，咱没有螃蟹可吃了。咱不吃“螃蟹”而改吃“虾爬子”就是不能照搬照抄，咱要吃出“虾爬子”特色。资深教师说题，不能自己干说，要对得起自己的“资深”，于是我选择了“折腾”，折腾学生、折腾我身边的年轻教师。学生不是这时刻才被我折腾的，我的教学一贯坚持的是“问题解决”和“自主建构”，所以，对经典问题的评价是我平素教学的常态。折腾青年教师，我还有些权威，平素练出来的，没有权威创造权威也要权威。我的课堂是开放的，青年教师进我课堂的门很容易，但出门不容易。我会把他（她）如学生般“提拉”起来，让他（她）针对某些问题现场做出评价。他们课后求我，想避免这种尴尬，我说不行，对他们说：“青年教师要尽可能多地丢可趁，丢多了，不该丢的时候就不丢了！”我上面说的“题”，出了自己研究外，同样也交给了五位学生和四位青年教师去做，现把他们的结果呈现如下：学生侯灵犀评价：高考数学题背景许多来自于高等数学，在平时学习和竞赛准备中应该广泛涉猎。但高考考查内容仍在基础知识，不能因广泛了解而忽略基础，并且尽量避免在解题过程中使用超纲知识（有时也无法使用，如老师编拟的那个问题）。应夯实基础，提高解题时的反应速度，注重解题技巧的训练，使解题时步骤简洁、清晰，简化运算。高考中每年必考题有一定相似性，应合理联想，举一反三。引申：函数f(x)=2alnx+x2,(1)讨论单调性;(2)若x1,x2(1,+),且x1x2,有f(x1)f(x2)=5a|x1x2|,求实数a的取值范围.心得：高考题是编者深思熟虑编拟而成的，往往精心设计了数据以考查尽可能多的知识点，考查多方面的能力，相比而言，上题的单调性考查比较简单，(2)问也只考查函数构造、导数和分式函数恒成立问题，显得有些单薄和生硬。其实通过“做题比较改编”过程中，可以对经典题与主干知识有更加深入理解，这也是一种提升思维能力和训练方法。学生刘嘉昕评价：问题1和问题2虽函数不同，但实则为同一种题。(1)问均为考查对导数的应用，以及对含参数函数的处理和分类讨论的思想，处理时思维要严谨，做到不重不漏。(2)问主要考查构造新函数使未知问题划归为已知问题的思想，然后按新函数求导化归为熟知的二次函数恒成立问题证明原命题，其中还需根据问题的实际上的情况进行“无妨”推理化简问题避免无必要的讨论。题目的命题的观点来自拉格朗日中值定理，所用数据依此定理逆推得到，为高等数学知识的特殊化，使问题更具代表性和思维高度。可由此二题认识到“构建函数”法的重要作用和化归思想的价值，同时可由此推广猜想一般性结论，提高学生总结概括能力，可获得相关类似题目的解法，如老师编拟的问题。引申：设函数f(x)=x2(2a1)x+(a1)lnx,a1,证明:对任意的x1,x2(0,+),a(x1x2).心得：本题主要部分改自问题1，设计时主要目的是使原函数更为复杂，即使x2前系数变为,其次，为使题目更具迷惑性，故将不等式右端变为“a”.由于问题仅一问，为使问题不对a限制过多，即去掉“若a”的条件，使a的范围表面看上去仅是限制lnx的系数，故设计此函数求证本题问题，同时使想用拉格朗日中值定理直接“取巧”证明的人遭遇一定麻烦。青年教师卢宁评价：我个人认为题目都是来自于高等数学中拉格朗日中值定理的变形，而从高考角度有几个角度或者方面可以总结。带绝对值问题的处理：(i)问题2和3都可以在x1,x2大小关系设定的前提下，明确f(x1)和f(x2)的大小，从而直接去掉绝对值；(ii)还有的题目可通过探究最大、最小值去掉绝对值。例:f(x)=x3x2+ax+b(a,bR)的一个极值点，方程ax2+x+b的两个根a,b(ag(x0);$x0(0,+),f(x0)g(x0);x1(0,+),$x2(0,+),f(x1)=g(x2).恒成立问题方法:(1)分离参数;(2)h(x)0,h(x)0),对任意x1,x2(0,+),且x1x2,当a4时，证:|f (x1)f (x2)|x1x2|.引申：f(x)=ln(x+1)x,x1,x2(0,+),x1x2,都有|f(x1)f(x2)|a|x1x2|,求a范围.评价：m(ba)f(b)-f(a)m(ba)型的不等式一般可以用拉格朗日中值定理.4