正弦函数的图像和性质

函数函数函数函数5.3.1 正弦函数的图象和性质正弦函数的图象和性质 在单位圆中，如何作出一个角的正弦线？在单位圆中，如何作出一个角的正弦线？ oxy11PM正弦线正弦线 MP三角三角问题问题几何几何问题问题单位圆与正弦线单位圆与正弦线 2 利用正弦线作出利用正弦线作出 的图象的图象.20sin， xxyoxy-11-1-1oA作法作法: (1) 等分等分;3232656734233561126(2) 作正弦线作正弦线;(3) 平移平移;61P1M/1p(4) 连线连线. 一、正弦函数的图象一、正弦函数的图象正正 弦弦 曲曲 线线xy-1-12o46246 由终边相同的角三角函数值相同，所以由终边相同的角三角函数值相同，所以 ysin x 的图象在的图象在 ，-4-4 ，- -2 ， - -2 ，0 ， 0，2 ，2 ，4 ， 与与 ysin x，x 0，2 的图象相同的图象相同 ，于是平移得正弦曲线于是平移得正弦曲线 . 与与 x 轴的轴的交点交点:， )00(， )0(；，) 02(图象的图象的最高点最高点:图象的图象的最低点最低点:，) 123( 观察观察 y sin x ，x 0，2 图象的最高点、最低图象的最高点、最低点和图象与点和图象与 x 轴的交点？坐标分别是什么？轴的交点？坐标分别是什么？2oxy-11-3232656734233561126；， )12(五点五点作图法作图法列表：列表：列出对图象形状起关键作用的五点坐标列出对图象形状起关键作用的五点坐标连线：连线：用光滑的曲线顺次连结五个点用光滑的曲线顺次连结五个点描点：描点：定出五个关键点定出五个关键点五五 点点 作作 图图 法法例例1 画出函数画出函数 ysin x + 1， x 0，2 的简图的简图xxsin1sinx101010210102232解解 列表列表描点作图描点作图-2223211-xyo-20sin1， xxy20sin， xxyx6yo-12345-2-3-41 定义域定义域(1) 值域值域x R 1, 1 二、二、正弦函数的性质正弦函数的性质)(22Zkkx时，取最小值时，取最小值1；时，取最大值时，取最大值1；)(22Zkkx观察正弦曲线，得出正弦函数的性质：观察正弦曲线，得出正弦函数的性质：周周 期期 的的 概概 念念一般地，对于函数一般地，对于函数 f (x)，如果存在一个非零，如果存在一个非零常数常数 T ，使得当，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都取定义域内的每一个值时，都有有 f ( xT ) f (x)，那么函数，那么函数 f (x) 就叫做就叫做周期周期函数函数，非零常数，非零常数 T 叫做这个函数的叫做这个函数的周期周期对于一个周期函数，如果在它的所有周期中对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的它的最小正周期最小正周期 由公式由公式 sin (xk 2 )sin x (k Z) 可知：可知： 正弦函数是一个周期函数，正弦函数是一个周期函数，2 ，4 ， ，2 ，4 ， ， 2k (k Z 且且 k0)都是正弦函数的周期都是正弦函数的周期 2 是其最小正周期是其最小正周期 . (2) 正弦函数的周期性正弦函数的周期性 (3) 正弦函数的奇偶性正弦函数的奇偶性由公式由公式 sin(x)sin x图象关于原点成中心对称图象关于原点成中心对称 .正弦函数是奇函数正弦函数是奇函数xyo-1234-2-31223252722325在闭区间在闭区间 上上, 是增函数；是增函数；22， (4) 正弦函数的单调性正弦函数的单调性xyo-1234-2-31223252722325 xsinx2223 0 -1 0 1 0 -1在闭区间在闭区间 上，是减函数上，是减函数.232，Zkkk,22,22观察正弦函数图象观察正弦函数图象Zkkk,223,22例例 2 求使函数求使函数 y2sin x 取最大值、最小值取最大值、最小值 的的 x 的集合，并求出这个函数的集合，并求出这个函数的最大值，的最大值， 最小值和周期最小值和周期 T .-2223211-xyo-20sin2， xxy20sin， xxy, 312)(sin2y,22maxmaxxZkkxxx时，. 112)(sin2y,22minminxZkkxxx时，解解. 2T 例例 3 不通过求值，比较下列各对函数值的大小：不通过求值，比较下列各对函数值的大小： (1) sin( ) 和sin( )；1810 (2) sin 和 sin 3243解解 (1) 因为，218102且 y sin x 在 上是增函数22， (2) 因为，43322所以 sin sin 4332且 y sin x 在 上是减函数，2，)18sin()10sin(所以1 . 正弦函数的图象正弦函数的图象 2 .“五点法五点法”作图作图 3 . 正弦函数的性质正弦函数的性质教材教材P154，练习，练习 A 组第组第 3、4、5 题；题； 练习练习 B 组组