材料力学公式汇总完全版

1 截面几何参数 序号 公式名称 公式 符号说明 (1.1) 截面形心位置 Zc - zdA A yc - AydA Z 为水平方向 丫为竖直方向 A ， A (1.2) 截面形心位置 z ZiA yc yiA 4 A， A (1.3) 面积矩 SZ ydA， Sy zdA A (1.4) 面积矩 Sz Aw， Sy Az (1.5) 截面形心位置 Zc Sy A， yc Sz A (1.6) 面积矩 Sy Az。， Sz Aye (1.7) 轴惯性矩 Iz Ay2dA， Iy z2dA A (1.8) 极惯必矩 I A 2dA (1.9) 极惯必矩 I Iz Iy (1.10) 惯性积 Izy A zydA (1.11) 轴惯性矩 Iz i. Iy y2A (1.12) 惯性半径 （回转半径） iz 仁， Iy 面积矩 轴惯性矩 Sz Szi， Sy Syi (1.13) 极惯性矩 Iz Izi， Iy Iyi 惯性积 I I i， Izy Izyi Iz Izc a2A (1.14) 平行移轴公式 I y I yc b2A Izy 1 zcy( :abA 2 应力与应变 序号 公式名称 公式 符号说明 (2.1) 轴心拉压杆横 截面上的应力 N A (2.2) 危险截面上危 险点上的应力 N max A (2.3a) 轴心拉压杆的 纵向线应变 l l (2.3b) 轴心拉压杆的 纵向绝对应变 l l l1 (2.4a) (2.4b) 胡克定律 E E (2.5) 胡克定律 N.l l 一 EA (2.6) 胡克定律 l丄 NJ ii EA (2.7) 横向线应变 b b b b b (2.8) 泊松比（横向 变形系数） 1 1 (2.9) 剪力双生互等 定理 x y (2.10) 剪切虎克定理 G (2.11) 实心圆截面扭 转轴横截面上 的应力 T I (2.12) 实心圆截面扭 转轴横截面的 圆周上的应力 TR max I (2.13) 抗扭截面模量 （扭转抵抗矩） I WT R (2.14) 实心圆截面扭 转轴横截面的 圆周上的应力 T max WT (2.15) 圆截面扭转轴的 变形 T GI (2.16) 圆截面扭转轴的 变形 Til i GI i (2.17) 单位长度的扭转 角 T l， GI (2.18) 矩形截面扭转轴 长边中点上的剪 应力 T T max 、, 3 WT b WT是矩形截 面 WT的扭转抵 抗矩 (2.19) 矩形截面扭转轴 短边中点上的剪 应力 1 max (2.20) 矩形截面扭转轴 单位长度的扭转 角 T T GIT G b4 IT是矩形截 面的 IT相当极惯 性矩 (2.21) 矩形截面扭转轴 全轴的扭转 角 T.l 4 G b4 , 与截 面咼宽 比 h/b有关 的参数 (2.22) 平面弯曲梁上任 一点上的线应变 (2.23) 平面弯曲梁上任 一点上的线应力 旦 (2.24) 平面弯曲梁的曲 率 1 M EIz (2.25) 纯弯曲梁横截面 上任一点的正应 力 My Iz (2.26) 离中性轴最远的 截面边缘各点上 的最大正应力 M .y max max 1 z (2.27) 抗弯截面模量 （截面对弯曲 的抵抗矩） I Wz ymax (2.28) 离中性轴最远的 截面边缘各点上 的最大正应力 M max 777 Wz (2.29) 横力弯曲梁横截 面上的剪应力 * VSz Izb s；被切割面 积对中性轴 的 面积矩。 (2.30) 中性轴各点的剪 应力 * VSz max max . Izb (2.31) 矩形截面中性 轴各点的剪应力 3V max . 2bh (2.32) 工字形和 T 形截 面的面积矩 * * * Sz A yci (2.33) 平面弯曲梁的挠 曲线近似微分方 程 Elvz M (x) V 向下为正 X 向右为正 (2.34) 平面弯曲梁的挠曲 线上任一截面 的转角方程 Elzv EIz M (x) dx C (2.35) 平面弯曲梁的挠曲 线上任一点挠度方 程 EIzv M (x)dxdx Cx D (2.36) 双向弯曲梁的合成 弯矩 M J M; My (2.37a) 拉 （压） 弯组合矩形 截面的中性轴在 Z 轴 上的截距 2 ly az z ZP Zp, yp是集中 力作用点的 标 (2.37b) 拉 （压） 弯组合矩形 截面的中性轴在 Y 轴上的截距 2 Iz ay y。 yp 3 应力状态分析 序号 公式名称 公式 符号说明 (3.1) 单元体上任 意截面上的 正应力 x y % y cos 2 xsin2 2 2 (3.2) 单元体上任 意截面上的 剪应力 - sin 2 x cos 2 2 (3.3) 主平面方位 角 2 tan2 o ( o与x反号) x y (3.4) 最大主应力 的计算公式 x y 2 x y 2 max - i 2 2 x (3.5) 最小主应力 的计算公式 x y | 2 x y 2 max _ T x 2 y 2 (3.6) 单元体中的 最大剪应力 1 3 max 2 (3.7) 主单元体的 八面体面上 的剪应力 1 i 2 2 2 1 2 1 3 2 3 3 (3.8) 面上的线 应变 x y x y c xy c cos2 - sin 2 2 2 2 (3.9) 面与 + 90面之 间的角应变 xy ( x y)si n2 xyCOS2 (3.10) 主应变方向 公式 tan2 0 x y (3.11) 最大主应变 1 2 2 x y / x y xy max 2*2 4 (3.12) 最小主应变 1 2 2 x y | x y xy max 1 r 2 2 4 (3.13) xy的替代公 式 2 xy 厶 450 x y (3.14) 主应变方向 公式 tan2 0 2 450 45 x y y x 1 2 2 (3.15) 取大主应变 x y max J x 450 y 450 2 V2 2 2 2 (3.16) 最小主应变 x y max 2 x 450 2 y 450 2 简单应力状 (3.17) 态下的虎克 x x y x x z 定理 E E E x 1 x y z 空间应和状 E A (3.18) 态下的虎克 y 1 y x 定理 E 1 z z y E 平面应力状 x E( x y) 态下的虎克 1 / (3.19) 定理（应变形 y 孑y x) 式） z E( x y) E 平面应力状 x 12 1 x y) 态下的虎克 E ( (3.20) 定理（应力形 y 12 ( y x) 式） z 0 1 按主应力、主 1 E 1 2 3 应变形式写 1 (3.21) 出广义虎克 2 E 2 3 1 定理 1 3 3 2 E 1 1 E( 1 2) 二向应力状 E 4 (3.22) 态的广义虎 2 7( 2 1) 克定理 E 3 (1 2) E (3.23) 二向应力状 态的广义虎 克定理 E 1 - 1 E 2 1 3 2( 1 2) 2 ( 2 1 ) 0 xy G xy (3.24) 剪切虎克定 理 yz G yz zx G zx 4 内力和内力图 序号 公式名称 公式 符号说明 （4.1a） 外力偶的 Te 9.55-Nk n (4.1b) 换算公式 Np Te 7.02 - n （4.2） 分布何载集度 剪力、弯矩之 dV(x)(、 q(x) dx q（x）向上 间的关系 为正 （4.3） dM(x)V(X) dx （4.4） 2 竹)q(x) dx 5 强度计算 序号 公式名称 公式 (5.1) 第一强度理论：最大拉 应力理论。 当! fut （脆性材料）时 ! fu*.（塑性材料）时 材料发生脆性断裂破坏。 (5.2) 第二强度理论：最大伸 长线应变理论。 当1 （ 2 3） fut（脆性材料）1时 1 （ 2 3） fu*（塑性材料）时， 材料发生脆性断裂破坏。 (5.3) 第三强度理论：最大剪 应力理论。 当1 3 fy（塑性材料）时 1 3 fuc（脆性材料） 材料发生剪切破坏。 (5.4) 第四强度理论：八面体 面剪切理论。 当 J* 1 2 2 1 3 2 2 3 2 fy(塑性材料) j1 1 2 2 1 3 2 2 3 2 fuc（脆性材料） 2 时，材料发生剪切破坏。 (5.5) 第一强度理论相当应力 * 1 1 (5.6) 第二强度理论相当应力 2 1 ( 2 3) (5.7) 第三强度理论相当应力 * 3 1 3 (5.8) 第四强度理论相当应力 厂 * 1 1 2 2 2 4 詔 1 2 1 3 2 3 2 (5.9a) 由强度理论建立的强度 条件 * (5.9b) (5.9c) (5.9d) 由直接试验建立的强度 条件 1t max t cmaxl c max (5.10a) (5.10b) 轴心拉压杆的强度条件 t max c max N A t IN 7 c (5.11a * 1 1 max * 2 T WT 1 t ( （适用于脆性材料） 2 3）= (5.11b max (0 max) (1 )max t max T W 1 t （适用于脆性材料） * 3 1 3 max max 2 max (5.11c 由强度理论建立的扭转 T WT 2 轴的强度条件 m ax （适用于塑性材料） *厂 2 2 2 (5.11d 4 2 1 2 1 3 2 3 2 2 2 ：2 max 0 0 max max max * a max m ax T WT （适用于塑性材料） (5.ne 由扭转试验建立的强度 T 条件 max W M t (5.12a t max WZ 平面弯曲梁的正应力强 (5.12b) 度条件 |M| c c max WZ * (5.13) 平面弯曲梁的剪应力强 VSZ max L 度条件 nax Izb (5.14a) * J 24 2 平面弯曲梁的主应力强 度条件 3 (5.14b) * 4 J 23 2 (5.15a 圆截面弯扭组合变形构 件的相当弯矩 * 訓；M2 T2 M3 3 1 3 W W (5.15a) * 1 2 2 2 4 1 2 1 3 2 3 V M Z My 0.75T2 M； W W (5.16) 螺栓的抗剪强度条件 ；N ；N n d2 (5.17) 螺栓的抗挤压强度条件 b N b d t (5.18) 贴角焊缝的剪切强度条 件 N W 0.7hf lw f 6 刚度校核 序号 公式名称 公式 符号说明 （6.1） 构件的刚度条件 max 1 l （6.2） 扭转轴的刚度条件 T max GI （6.3） 平面弯曲梁的刚度条件 vmax V l l 7 压杆稳定性校核 序号 公式名称 公式 符号说明 (7.1) 两端铰支的、细长 压杆 的、临界力的欧拉 公式 Per 2EI l2 I 取最小值 lo 计算长度。 长度系数； (7.2) 细长压杆在不同 支承情 况下的临界力公 式 FCr l0 2EI (.l)2 一端固定，一端自 由： 2 一端固定，一端铰 支： 0.7 两端固定： 0.5 (7.3) 压杆的柔度 i i 匸是截面的惯 A 性半径 （回转半径） (7.4) 压杆的临界应力 eu FCr A 2E eu 2 (7.5) 欧拉公式的适用 范围 P 匡 fP 当 E时 当 e o.57fy ， fy 压杆材料的屈 (7.6) 抛物线公式 er fy1 Per er A f、()2 e 2 y1 L) .A e 服极限； 常数，般取 0.43 (7.7) 安全系数法校核 压杆的稳定公式 Per P er kw Rr (7.8) 折减系数法校核 压杆的稳定性 A . 折减系数 雷，小于1 8 动荷载 序号 公式名称 公式 符号说明 (8.1) 动荷系数 1， Pd Nd d d K d P Nj j j p-何载 N-内力 -应力 -位移 d-动 j-静 (8.2) 构件匀加速 上升或下降 时的动荷系数 Kd 1 - g a-加速度 g-重力加速度 （8.3） 构件匀加速 上升或下降 时的动应力 d Kd j (1 一)j g (8.4) 动应力强度条 件 d max Kd j max 杆件在静荷载作用下 的容许应力 （8.5） 构件受竖直方 向冲击时的动 荷系数 Kd 1 I 2H F j H-下落距离 （8.6） 构件受骤加荷 载时的动荷系 数 Kd 1 v；1 0 2 H=0 （8.7） 构件受竖直方 向冲击时的动 荷系数 Kd 1 g jj v-冲击时的速度 9 能量法和简单超静定问题 公式名称 序号 公式名称 公式 （8.8） 疲劳强度条件 max K -疲劳极限 卜疲劳应力容许值 K-疲劳安全系数 (9.1) 外力虚功： We p 1 B 2 M e3 3 R 1 (9.2) 内力虚功： W Md Vd Nd l Td l l l l (9.3) 虚功原理： 变形体平衡的充要条件是：We W 0 (9.4) 虚功方程： 变形体平衡的充要条件是：We W (9.5) 莫尔定理： Md Vd Nd l Td l l l l (9.6) 莫尔定理： M M KVV NN TT , dx dx dx dx l EI l GA l EA lGI (9.7) 桁架的莫尔定理： NN l EA (9.8) 变形能： U W （内力功） (9.9) 变形能： U We （外力功） (9.10) 外力功表示的变形能： 1 1 1 1 U P 1 P2 2 P i P 1 2 2 2 2 (9.11) 内力功表示的变形能： 2 2 2 2 M (x) KV (x) N (x) T (x) - dx dx dx dx l 2EI l 2GA l 2EA l 2GI (9.12) 卡氏第二定理： U i P (9.13) 卡氏第二定理计算位移公式： M M KV V N N T T , i dx dx dx dx 1EI P 1 GA 1EA P lGI R (9.14) 卡氏第二定理计算桁架位移公式： N N i 1 EA iR (9.15) 卡氏第二定理计算超静定问题： M M By - dx 0 1EI RB (9.16) 莫尔定理计算超静定问题： M M By 1 E| dx 0 (9.17) 一次超静定结构的力法方程： 11X1 1R 0 (9.18) X1方向有位移时的力法方程： 11X1 1R (9.19) 自由项公式： M1M R , 1R dx 1 EI (9.20) 主系数公式： 2 M1 11 , dx 1 EI (9.21) 桁架的主系数与自由项公式： 2 N1 1 11 . 1 EA N1 Npl 1R , 1 EA