二元一次方程组解法综合课件

基本思想基本思想:一元一元1、解二元一次方程组的方法有哪些？基本思想是、解二元一次方程组的方法有哪些？基本思想是什么？什么？代入法消元法（代入法）、加减消元法（加减法）代入法消元法（代入法）、加减消元法（加减法）议一议：说一说：代入法和加减法的基本思路和一般步骤代入法解方程组的基本思路是什么？代入法解方程组的基本思路是什么？基本思路是：将其中的基本思路是：将其中的一个方程中的某个一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数个未知数，化二元一次方程组为一元一次，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为方程。这种解方程组的方法称为代入消元代入消元法法，简称，简称代入法代入法。归纳归纳 例例1 解方程组解方程组解：解：由由得：得： x = 3+ y 把把代入代入得：得：3（3+y） 8y= 14把把y= 1代入代入，得，得x = 3+(-1)=21、将方程组里的一个方程变、将方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的代数形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；式表示另一个未知数；2、用这个式子代替另一个方、用这个式子代替另一个方程中相应的未知数，得到一个程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知一元一次方程，求得一个未知数的值；数的值；3、把这个未知数的值代入上、把这个未知数的值代入上面的式子，求得另一个未知数面的式子，求得另一个未知数的值；的值；4、写出方程组的解。、写出方程组的解。用代入法解二元一次用代入法解二元一次方程组的一般步骤方程组的一般步骤变变代代求求写写x y = 33x -8 y = 149+3y 8y= 14 5y= 5y= 1方程组的解是方程组的解是x =2y = -1说说方法说说方法 加减消元法的基本思路 两个二元一次方程中同一未知数的系数互同一未知数的系数互为相反数或相等时为相反数或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.11522153-yxyx由+得: 5x=10 2x-5y=7 2x+3y=-1 由 得:8y8 感悟之旅感悟之旅例题例题2：解方程组：解方程组 3x+ 4y = 165x - 6y = 33 解：解： 3 得得: 19x = 114 把把x = 6代入代入得得原方程组的解为原方程组的解为 即即 x = 618 + 4y = 169x+ 12y = 48 2 得得:10 x - 12y = 66 + 得得:y = x = 612即即 y = 12 点悟：当未知数的系数没有倍数关系，则应将两个方程同时变形，同时选择系数比较小的未知数消元。下列方程组各选择哪种消元法来解比下列方程组各选择哪种消元法来解比较简便较简便?(1) y=2x 3x-4y=5(2) 2x+3y=21 2x-5y=5(3) 9x-5y=1 7y+9x=2代入法代入法加减法加减法加减法加减法想一想：想一想：X=2Y-33X-5Y=43x+2y=133x-2y=54）.解下列二元一次方程组2.选择适当方法解方程组选择适当方法解方程组：17431232) 2(1327521yxyxyxyx）（21376565)4(28)(2)(36233yxyxyxyxyxyx）（; 345, 44xyxy（5）的值。，求的解是（的方程组、）已知关于（nmyxmynxyxnmyx,2165)103,62321nmnmnmyx解得：代入方程组得解：将的值。求）若（32,2006200420052003200520042yxyxyxyx解：由方程解：由方程得：得：x+y=-3x+y=-3，即，即x-y=3;x-y=3;由方程由方程得：得：4009x+4009y=4009,4009x+4009y=4009,即即x+y=1;x+y=1;的值。求）若（32,2006200420052003200520042yxyxyxyx28313232yxyx 4. 4.已知已知|x+2y+5|+(x-y+1)|x+2y+5|+(x-y+1)2 2=0,=0,求求(x+y)(x+y)2 2的的值值. .解：解： 由题意得由题意得 0 01 1y yx x0 05 5y y2 2x x3734yx9 9121121(x+y)(x+y)2=2=的值。、求，解得乙抄错甲正确解得甲、乙两人同解方程组CBA,62C,11, 232AyxyxyCxByx1.已知方程组已知方程组 的解是的解是 则则 ， .2.已知代数式已知代数式 ,当当 时，它的值是时，它的值是5；当；当 时，它的值是时，它的值是4,求求p，q的值的值.3.方程组方程组 的解互为相反数，求的解互为相反数，求a的值的值.4.甲、乙两位同学一同解方程组甲、乙两位同学一同解方程组 , 甲正确解出方程组甲正确解出方程组的解为的解为 ,而乙因为看错了而乙因为看错了 ，得解为，得解为 试求试求 的值的值.21,4xymxyn1,2.xymn qpxx21x2x1872,253ayxayx. 23, 2ycxbyax. 1, 1yxc. 6, 2yxcba,三、知识应用三、知识应用5.方程组方程组 中中,x与与y的和的和12,求求k的值的值.25332kyxkyx264xkyk解得：解得：K=14解法解法1：解这个方程组，得：解这个方程组，得依题意：依题意：xy=12所以所以(2k6) (4k)=12解法解法2：根据题意，得：根据题意，得2335212xykxykxy解这个方程组，得解这个方程组，得k=141、方程、方程x+2y=7在正整数范围内的解有（在正整数范围内的解有（ ） A 1个个 B 2个个 C 3个个 D 无数个C解后语：二元一次方程一般有无数个解，但它的解解后语：二元一次方程一般有无数个解，但它的解若受到限制往往是有限个解。若受到限制往往是有限个解。2 2、若、若x2m-1+5y3n-2m=7是二元一次方程，是二元一次方程，则则m= ，n= ， 11解后语：二元一次方程要求含有未知数项的解后语：二元一次方程要求含有未知数项的次数都是次数都是1，同时未知数项的系数不能为零。，同时未知数项的系数不能为零。1、 -1=3y 是不是二元一次方程？答：是不是二元一次方程？答： （“是是”或或“不是不是”）2、方程、方程3x y =1有有 个解。个解。3、方程、方程3x + 2y =1中，当中，当x =1时，时，y = 。4、若、若 是方程是方程3x + y k =1的一个解，则的一个解，则k = 。5、已知方程、已知方程2x + y =0，x + 2y =3，那么，那么 能满足的能满足的 方程是方程是 （用数字（用数字、填空）填空）2x 32yx 21yx练习：练习：不是不是无数无数-12、6、已知方程组、已知方程组 和和有相同的解，求有相同的解，求a，b的值。的值。2x-y=7ax+y=b3x+y=8x+ b y=a 解：根据题意：解：根据题意：得得2x-y=73x+y=8解得：解得：X=3Y=-1则：则：3a-1=b3-b=a解得：解得：a=1b=22x+1=5（y+2）5（3x+2）-2（y+7x）=16（1）用适当的方法解下列方程组用适当的方法解下列方程组424yx3x-2y=16（2）(3)已知（已知（3m+2n-16)2与与|3m-n-1|互为相反数互为相反数 求：求：m+n的值的值解：根据题意：得解：根据题意：得3m+2n-16=03m-n-1=0解得：解得：m=2n=5即：即：m+n=74.4.已知已知x=m+1,y=m-1x=m+1,y=m-1满足方程满足方程3x-y+m=0.3x-y+m=0.由此由此你可以知道什么？你可以知道什么？答答: :知道知道m.m.把把x=m+1,y=m-1x=m+1,y=m-1代入方程代入方程3x-3x-y+m=0,y+m=0,得得3(m+1)-(m-1)+m=0.3(m+1)-(m-1)+m=0.34m二二、方程的应用题复习、方程的应用题复习1.根据下列条件设适当的未知数，列出二元一根据下列条件设适当的未知数，列出二元一次方程次方程（1 1）甲、乙两数的和是）甲、乙两数的和是10 （2 2）甲地的人数比乙地的人数的）甲地的人数比乙地的人数的2 2倍还多倍还多7070 （3 3）买）买4支铅笔、支铅笔、3支圆珠笔共花了支圆珠笔共花了1.6元元 2.甲、乙两工人师傅制作某种工件，每天共制甲、乙两工人师傅制作某种工件，每天共制作作12件已知甲每天比乙多制作件已知甲每天比乙多制作2件，求甲、乙每件，求甲、乙每人每天可制作几件？人每天可制作几件？X+Y=10。X=2Y+704X+3Y=1.6解：设解：设甲、乙每人每天可甲、乙每人每天可各制作各制作X,Y件件。y=x+2x +y=123.A、B两地相距两地相距36千米，甲从千米，甲从A地步地步行到行到B地，乙从地，乙从B地步行到地步行到A地，两地，两人同时相向出发，人同时相向出发，4小时后两人相遇，小时后两人相遇，6小时后，甲剩余的路程是乙剩余路小时后，甲剩余的路程是乙剩余路程的程的2倍，求二人的速度？倍，求二人的速度？解：设解：设甲的速度甲的速度为为X 千米千米/小时小时, 乙的速度乙的速度为为X 千米千米/小时小时4X+4Y=3636-6X=2(36-6Y)4 4、某车间有、某车间有9090名工人，每人每天平均能生产名工人，每人每天平均能生产螺栓螺栓1515个或螺帽个或螺帽2424个，要使一个螺栓配套两个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使螺栓和螺帽个螺帽，应如何分配工人才能使螺栓和螺帽刚好配套？设生产螺栓刚好配套？设生产螺栓x x人，生产螺帽人，生产螺帽y y人，人，列方程组为（列方程组为（）A A B、 C、 D、yxyx241590 xyyx154890yxyx243090yxxy24)15(290c例例1. 某蔬菜公司收购到某种蔬菜某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨吨,准备加工后上准备加工后上市销售市销售,该公司的加工能力是该公司的加工能力是:每天可以每天可以精精加工加工6吨吨或者或者粗粗加工加工16吨吨,现计划用现计划用15天天完成加工任务完成加工任务,该公司应安该公司应安排排几天粗加工几天粗加工,几天精加工几天精加工,才能才能按期完成任务按期完成任务?如果每如果每吨蔬菜吨蔬菜粗粗加工后的利润为加工后的利润为1000元元,精精加工后加工后2000元元,那那么照此安排么照此安排,该公司出售这些加工后的蔬菜该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多共可获利多少元少元?解：设粗加工解：设粗加工x天，精加工天，精加工y天天.X + y =1516x+6y =140解得：解得：X=5y=10答：粗加工答：粗加工5天，精加工天，精加工10天天.获利获利 : 1000X16X5+2000X6X10=80000+120000=200000元元例例2. 某中学组织初一同学春游某中学组织初一同学春游,原计划租用原计划租用45座客车座客车若干辆若干辆,但有但有15人没有座位人没有座位;如果租用同样数量的如果租用同样数量的60座座客车客车,则多出一辆则多出一辆,且其余客车恰好全满且其余客车恰好全满.已知已知45座客车座客车用租金为每辆用租金为每辆220元元,60座客车用租金为每辆座客车用租金为每辆300元元,试试问问: (1)初一年级人数是多少初一年级人数是多少?原计划租用原计划租用45座客车多座客车多少辆少辆?(2)要使每个同学都有座位要使每个同学都有座位,怎样租用车辆更合算怎样租用车辆更合算? 解解: (1) 设设45座客车座客车x辆，学生辆，学生y 人。人。45x+15=y60(x-1)=y解得解得：x=5y=240(2)因为因为，220/45 300/60，所以因尽可能租用所以因尽可能租用45座的车座的车 45+15=60，所以只需将原计划中的一辆所以只需将原计划中的一辆45座车换成一辆座车换成一辆60座的车即可共需座的车即可共需:220X4+300=1180元元.1. 小冬和小华为了响应学校假期里小冬和小华为了响应学校假期里”要多要多读书读书”活动活动,各自购买了图书若干册各自购买了图书若干册,如果小如果小冬借给小华冬借给小华5册册,那么两人的书相等那么两人的书相等;如果小如果小华借给小冬华借给小冬20册册,那么小冬的书比小华的书那么小冬的书比小华的书多多5倍倍,问小冬问小冬,小华各自购买了书多少册小华各自购买了书多少册?解：设小冬解：设小冬x册册,小华小华y册。册。x-5=y+5x+20=6(y-20)2. 化妆晚会上化妆晚会上,男生脸上涂蓝色油彩男生脸上涂蓝色油彩,女女生脸上涂红色油彩生脸上涂红色油彩,游戏时游戏时,每个男生都每个男生都看见涂红色的人数是蓝色人数的看见涂红色的人数是蓝色人数的2倍倍,而而每个女生都看见涂蓝色的人数是涂红色每个女生都看见涂蓝色的人数是涂红色人数的人数的3/5,那么那么,参加晚会的男生参加晚会的男生,女生各女生各有多少人有多少人?解：设男生解：设男生x人，女生人，女生y人。人。y=2(x-1)x= (y-1)35 3. 3. 某工厂现有库存某种原料某工厂现有库存某种原料1200吨吨,可以用可以用来生产来生产A,B两种产品两种产品,每生产一吨每生产一吨A种产品需这种产品需这种原料种原料2.5吨吨,生产费用生产费用900元元,每生产一吨每生产一吨B种产种产品需原料品需原料2吨吨,生产费用生产费用1000元元,可用来生产这两可用来生产这两种产品的资金为种产品的资金为53万万,问问A,B两种产品各生产多两种产品各生产多少吨少吨,才能使库存原料和资金恰好用完才能使库存原料和资金恰好用完? 解：设解：设A种产品种产品x吨，吨，B种产品种产品y吨。吨。2.5x+2y=1200900 x+1000y=530000 4.4.小芳在玩具厂上班小芳在玩具厂上班,做做3只小只小狗狗,5只小猫用只小猫用3小时小时30分分;做做4只只小狗小狗,7只小猫用只小猫用4小时小时50分分,求平求平均做均做1只小狗与只小狗与1只小猫各用多只小猫各用多少时间少时间? 解：设做一只小狗解：设做一只小狗x分，做一只小猫分，做一只小猫y分。分。3x+5y=2104x+7y=2905. 甲甲,乙两人做同样的零件乙两人做同样的零件,如果甲先如果甲先做做1天天, 乙再开始做乙再开始做,5天后两人做的零天后两人做的零件就同样多件就同样多;如果甲先做如果甲先做30个个, 乙再开乙再开始做始做,4天后乙反而比甲多做天后乙反而比甲多做10个个,问两问两人每天各做多少个人每天各做多少个?解：设甲每天做解：设甲每天做x个，乙每天做个，乙每天做y个个.6x=5y4x+30=4y-10 6. 张师傅预定计划生产一批零件张师傅预定计划生产一批零件,若若按原计划每天生产按原计划每天生产30个个,则只能完成任则只能完成任务的务的4/5,现在每天生产现在每天生产40个个,结果比预结果比预定期限提前定期限提前1天天,还多完成还多完成25个个,问预期问预期多少天完成多少天完成?这批零件有多少个这批零件有多少个?解：设预期解：设预期x天，共有天，共有y个零件。个零件。30 x=45y40(x-1)=y+25 7. 学校分配学生住宿学校分配学生住宿,如果每室如果每室内内8人人,还少还少12个床位个床位;如果每室住如果每室住9人人,却又空出却又空出2个房间个房间,问学生多少问学生多少人人?宿舍有几间宿舍有几间?解：设学生解：设学生x人，宿舍人，宿舍y间。间。8y+12=x9(y-2)=x例例1.某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地,如果他以每小时如果他以每小时50千米的速度行驶千米的速度行驶,就会迟到就会迟到24分钟分钟,如果他以每小时如果他以每小时75千米的速度行驶千米的速度行驶,就会提前就会提前24分钟分钟 到达乙地到达乙地,求甲、乙两地间求甲、乙两地间的距离的距离.、25052755stst 解：设甲、乙两地间的距离为解：设甲、乙两地间的距离为S千米，规定千米，规定时间为时间为t小时小时,根据题意得方程组根据题意得方程组例例2.甲甲、乙二人以不变的速度在环形路上跑步乙二人以不变的速度在环形路上跑步,如果同时同地出发如果同时同地出发,相向而行相向而行,每隔每隔2分钟相遇一分钟相遇一次次;如果同向而行如果同向而行,每隔每隔6分钟相遇一次分钟相遇一次.已知甲已知甲比乙跑得快比乙跑得快,甲甲、乙每分钟各跑多少圈乙每分钟各跑多少圈?解：设甲、乙二人每分钟各跑解：设甲、乙二人每分钟各跑x、y圈，根据圈，根据题意得方程组题意得方程组2()16()1xyxy解得解得1316xy答答:甲、乙二人每分钟各跑甲、乙二人每分钟各跑 、 圈，圈，13161.某学校现有甲种材料某学校现有甲种材料3,乙种材料乙种材料29,制作制作A.B两种型号的工艺品两种型号的工艺品,用料情况如下表用料情况如下表: 需甲种材料需甲种材料 需乙种材料需乙种材料1件件A型工艺品型工艺品 0.9 0.31件件B型工艺品型工艺品 0.41(1)利用这些材料能制作利用这些材料能制作A.B两种工艺品各多少件两种工艺品各多少件?(2)若每公斤甲若每公斤甲.乙种材料分别为乙种材料分别为8元和元和10元元,问制问制作作A.B两种型号的工艺品各需材料多少钱两种型号的工艺品各需材料多少钱?2.2.图表问题图表问题1.入世后，国内各汽车企业展开价格大战，汽入世后，国内各汽车企业展开价格大战，汽车价格大幅下降，有些型号的汽车供不应求。车价格大幅下降，有些型号的汽车供不应求。某汽车生产厂接受了一份订单，要在规定的日某汽车生产厂接受了一份订单，要在规定的日期内生产一批汽车，如果每天生产期内生产一批汽车，如果每天生产35辆，则差辆，则差10辆完成任务，如果每天生产辆完成任务，如果每天生产40辆，则可提辆，则可提前半天完成任务，问订单要多少辆汽车，规定前半天完成任务，问订单要多少辆汽车，规定日期是多少天？日期是多少天？3.3.总量不变问题总量不变问题解解:设订单要辆设订单要辆x汽车，规定日期是汽车，规定日期是y天天,根据根据题意得方程组题意得方程组351040(0.5)yxyx2206xy解这个方程组，得解这个方程组，得答：订单要答：订单要220辆汽车，规定日期是辆汽车，规定日期是6天天4.销售问题销售问题:标价标价折扣折扣=售价售价售价售价-进价进价=利润利润利润率利润率=利润售价进价进价进价1.已知甲已知甲.乙两种商品的标价和为乙两种商品的标价和为100元元,因市场因市场变化变化,甲商品打甲商品打9折折,乙商品提价乙商品提价5,调价后调价后,甲甲.乙乙两种商品的售价和比标价和提高了两种商品的售价和比标价和提高了2,求甲求甲.乙乙两种商品的标价各是多少两种商品的标价各是多少? 答：甲种商品的标价是答：甲种商品的标价是20元，乙种商品的元，乙种商品的标价是标价是80元元.解：设甲、乙两种商品的标价分别为解：设甲、乙两种商品的标价分别为x、y元，元，根据题意，得根据题意，得100952(1)100(1)10100100 xyxy解这个方程组，得解这个方程组，得2 08 0 xy 例：某车间每天能生产甲种零件例：某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零个，或者乙种零件件100个，或者丙种零件个，或者丙种零件200个，甲，乙，丙个，甲，乙，丙3种零件分种零件分别取别取3个，个，2个，个，1个，才能配一套，要在个，才能配一套，要在30天内生产最天内生产最多的成套产品，问甲，乙，丙多的成套产品，问甲，乙，丙3种零件各应生产多少天？种零件各应生产多少天？:,.30120 :100 :2003:2:1301551243:,315,12,3.xyzxyzxyzxyzxxzyyzz解 设甲种零件生产天 乙种生产天 丙种生产天根据题意 得化简 得解之得答 甲 乙 丙种零件各应生产天天天5 5、配套问题、配套问题例例1.A、B两地相距两地相距36千米千米.甲从甲从A地出发步行地出发步行到到B地地,乙从乙从B地出发步行到地出发步行到A地地.两人同时出两人同时出发发,4小时相遇小时相遇,6小时后小时后 ,甲所余路程为乙所甲所余路程为乙所余路程的余路程的2倍倍,求两人的速度求两人的速度.解解:设甲、乙的速度分别为设甲、乙的速度分别为x千米千米/小时和小时和y千米千米/小时小时.依题意可得依题意可得:4436422(42 )xyyxxy解得解得45xy 答答:甲、乙的速度分别为甲、乙的速度分别为4千米千米/小时和小时和5千千米米/小时小时.2. 下表是某一周甲、乙两种股票的收盘价下表是某一周甲、乙两种股票的收盘价（股票每天交易结束时的价格）（股票每天交易结束时的价格）星期一星期一星期二星期二甲甲12乙乙13.5 张师傅在该周内持有若干甲、乙两种股票，若张师傅在该周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天收盘价计算（不计手续费、按照两种股票每天收盘价计算（不计手续费、税费行等），该人账户中星期二比星期一多获税费行等），该人账户中星期二比星期一多获利利200元，星期三比星期二多获利元，星期三比星期二多获利1300元，试元，试问张师傅持有甲、乙股票各多少股？问张师傅持有甲、乙股票各多少股？12.513.3星期三星期三星期四星期四星期五星期五星期六星期六12.913.912.4513.412.7513.15休盘休盘休盘休盘解：设张师傅持有甲种股票解：设张师傅持有甲种股票x股，乙种股票股，乙种股票y股，根据题意，得股，根据题意，得(12.512)(13.313.5)200(12.912.5)(13.913.3)1300 xyxy解得解得10001500 xy答：张师傅持有甲种股票答：张师傅持有甲种股票1000股，乙种股票股，乙种股票1500股股.3.某中学组织初一学生春游某中学组织初一学生春游,原计划租用原计划租用45座客座客车若干辆车若干辆,但有但有15人没有座位人没有座位;若租用同样数量若租用同样数量的的60座客车座客车,则多出了一辆车则多出了一辆车,且其余客车恰好且其余客车恰好坐满坐满.已知已知45座客车日租金为每辆座客车日租金为每辆220元元, 60座座客车日租金为每辆客车日租金为每辆300元元,试问试问:(1)初一年级的人初一年级的人数是多少数是多少?原计划租用原计划租用45座客车多少辆座客车多少辆?(2)若租若租用同一种车用同一种车,要使每位同学都有座位要使每位同学都有座位,怎样租用怎样租用更合算更合算?4.打折前打折前,买买60件件A商品和商品和30件件B商品用了商品用了1080元元,买买50件件A商品和商品和10件件B商品用了商品用了840元元.打折后打折后,买买500件件A商品和商品和500件件B商品用商品用了了9600元元.问问:比不打折少花多少钱比不打折少花多少钱?