综合法和分析法上课用

高二数学高二数学 选修选修 2-2 第二章第二章 推理与证明推理与证明2021-12-8孝高 蒋志方12.2 2.2 直接证明与间接证明直接证明与间接证明2.2.1 2.2.1 综合法和分析法综合法和分析法演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程重要思维过程. .数学结论、证明思路的发现数学结论、证明思路的发现, ,主要靠合情推主要靠合情推理理. .复习推推 理理合情推理合情推理演绎推理演绎推理归纳归纳(特殊到一般）特殊到一般）类比类比（特殊到特殊）（特殊到特殊）三段论三段论（一般到特殊）（一般到特殊）v合情推理得到的结论是不可靠的，需要证明。数学中证明的方法有哪些呢？间接证明（反证法）分析法综合法直接证明证明的方法例例: :已知已知a0,b0,a0,b0,求证求证a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc4abc因为因为b b2 2+c+c2 2 2bc,a02bc,a0所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2) )2abc.2abc.又因为又因为c c2 2+b+b2 2 2bc,b02bc,b0所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2) ) 2abc.2abc.因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc.4abc.证明证明: :在数学证明中，我们经常从已知条件和某些在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、定理、公理、性质等出发通过推数学定义、定理、公理、性质等出发通过推理导出所要的结论。理导出所要的结论。.综合法综合法由因导果由因导果从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立明的结论成立. (又称顺推证法又称顺推证法)探索求知探索求知注：用注：用P P表示已知条件表示已知条件, ,已有的定义已有的定义, ,定理定理, ,公理等公理等.Q.Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论, ,则综合法可用框图表示为则综合法可用框图表示为: :P Q1Qn QQ2 Q3Q1 Q2探索求知探索求知例：求证不等式：例：求证不等式：.10578.注：从求证的结论出发，逐步寻求使结论成立的条件。证明：证明：要证要证,10578.)105()78(22即证即证.50210556278.5056,502562即故不等式成立故不等式成立.只需证只需证只需证只需证2.分析法分析法探索求知探索求知从证明的结论出发从证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件逐步寻求使它成立的充分条件,直直至最后至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件件(已知已知,定理定理,定义定义,公理等公理等).这种证明的方法叫做分析法这种证明的方法叫做分析法. （又称倒推证法）（又称倒推证法）执果索因执果索因 注：用注：用Q Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论, ,则分析法可用框图表示为则分析法可用框图表示为: :得到一个明显成立的条件Q P1P1 P2P2 P3证法证法1 1: :对于正数对于正数a, ,b, , 有有202022ababababababab （）证法证法2 2: :要证要证只要证只要证只要证只要证只要证只要证2abab 2abab 02aabb20()ab 因为最后一个不等式成因为最后一个不等式成立，故结论成立。立，故结论成立。综合法综合法分析法分析法表达简洁表达简洁!目的性强目的性强,易于探索易于探索!【分析法分析法】 从结论出发，寻找结论成立的充分条件从结论出发，寻找结论成立的充分条件直至最后，把要证明的结论归结为判定一直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件。个明显成立的条件。要证：要证：只要证：只要证：只需证：只需证：显然成立显然成立上述各步均可逆上述各步均可逆所以所以 结论成立结论成立要证：要证：所以所以 结论成立结论成立格格 式式 372 5练习： 求证372 5解解: :要证要证()()22372 5只需证只需证展开展开, ,只需证只需证215只需证只需证 21252125因为因为 21252125成立成立, ,所以所以 成成立立. .372 5例例3 3：在：在中，三个内角、对中，三个内角、对应的边分别为应的边分别为a a、b b、c c，且、成等，且、成等差数列，差数列，a a、b b、c c成等比数列，求证成等比数列，求证为等边三角形为等边三角形分析：把题中的文字语言转化为符号语分析：把题中的文字语言转化为符号语言：言：A+C=2BA+C=2B，b b2 2 =ac=ac由（由（1 1）联想到内角各能得到什么？）联想到内角各能得到什么？由（由（2 2）联想到三角形什么知识？余弦定理，）联想到三角形什么知识？余弦定理，二者联系起来能得到什么结论二者联系起来能得到什么结论证明：证明： 由由A A，B B，C C成等差数列，有成等差数列，有 2B=A+C 2B=A+C CBAABCCBA的内角，所以为，因为由，得由，得3B由啊，由啊，a a，b b，c c成等比数列，有成等比数列，有acb 2由余弦定理及，可得由余弦定理及，可得accaBaccab22222cos2再由，得再由，得0222）即（caacacca因此，因此，a=ca=c从而有从而有 A=CA=C由，得由，得3CBA.为等边三角形所以 ABC2 22 22 22 22 2例例 . . 已已 知知 , , k k + +( (k kZ Z) ), ,且且2 2 s si in n + + c co os s = = 2 2s si in n s si in n c co os s = = s si in n 1 1 - - t ta an n 1 1 - - t ta an n 求求 = =. .1 1 + + t ta an n 2 2( (1 1 + + t ta an n ) )证证:例：例：1PP 21PP PPnmQQ 12QQ QQ 1上述过程可用框图表示上述过程可用框图表示: :直接证明(回顾小结)分析法分析法 解题方向比较明确，解题方向比较明确， 利于寻找解题思路；利于寻找解题思路； 综合法综合法 条理清晰，易于表述。条理清晰，易于表述。通常以通常以分析法分析法寻求寻求思路，再用思路，再用综合法综合法有条理地有条理地表述解题过程表述解题过程分析法分析法综合法综合法概念概念直接证明（综合法和分析法）上述两种证法有什么异同？都是直接证明都是直接证明证法证法1 1综合法：由因导果，形式简洁，易于表述综合法：由因导果，形式简洁，易于表述 ；相同不同不同 证法证法2 2分析法：执果索因，利于思考，易于探路分析法：执果索因，利于思考，易于探路【巩固练习巩固练习】abbaba16)sintan,sintan22cossincos122244 （：求证求证已知已知、求证：、求证：