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精品资料8.6双曲线1 双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|2c0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a0，c0：(1)当ac时，P点不存在2 双曲线的标准方程和几何性质标准方程1 (a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2a2b2 (ca0，cb0)1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()(2)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)()2 若双曲线1 (a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A. B5 C. D2答案A解析焦点(c,0)到渐近线yx的距离为2a，解得b2a，又a2b2c2，5a2c2，离心率e.3 (2013福建)双曲线y21的顶点到其渐近线的距离等于()A. B.C. D.答案C解析双曲线的顶点(2,0)到渐近线yx的距离d.4 (2012天津)已知双曲线C1：1(a0，b0)与双曲线C2：1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a_，b_.答案12解析与双曲线1有共同渐近线的双曲线的方程可设为，即1.由题意知c，则4165，则a21，b24.又a0，b0，故a1，b2.5 已知双曲线1(a0，b0)，A，B是双曲线的两个顶点，P是双曲线上的一点，且与点B在双曲线的同一支上，P关于y轴的对称点是Q，若直线AP，BQ的斜率分别是k1，k2，且k1k2，则双曲线的离心率是()A. B. C. D.答案C解析如图，设P(x0，y0)，则Q(x0，y0)，A(0，a)，B(0，a)，1，1，k1k2，5a24(c2a2)，e.题型一双曲线的定义及标准方程例1(1)已知双曲线1 (a0，b0)和椭圆1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_(2)与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)的双曲线方程为_(3)已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_思维启迪设双曲线方程为1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程；也可根据双曲线的定义直接确定a、b、c；根据双曲线的定义求轨迹方程(注意条件)答案(1)1(2)1(3)x21(x1)解析(1)椭圆1的焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，离心率为e.由于双曲线1与椭圆1有相同的焦点，因此a2b27.又双曲线的离心率e，所以，所以a2，b2c2a23，故双曲线的方程为1.(2)设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2k，将点(2，2)代入得k(2)22.双曲线的标准方程为1.(3)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|，因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点M的轨迹方程为x21(x1)思维升华求双曲线的标准方程的基本方法是定义法和待定系数法待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为 (0)，再由条件求出的值即可利用定义时，要特别注意条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支(1)(2012湖南)已知双曲线C：1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案(1)A(2)A解析(1)根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解1的焦距为10，c5.又双曲线渐近线方程为yx，且P(2,1)在渐近线上，1，即a2b.由解得a2，b，则C的方程为1，故应选A.(2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则|PF1|PF2|8.由双曲线的定义知：a4，b3.故曲线C2的标准方程为1.题型二双曲线的几何性质例2(1)(2013浙江)如图，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是 ()A. B. C. D.(2)若点O和点F(2,0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为()A32，) B32，)C，) D，)思维启迪(1)求圆锥曲线的离心率e，可以求出a，c的关系式，进而求出e.(2)在圆锥曲线中求某一量的值或范围，一定要注意圆锥曲线本身的x，y的取值范围答案(1)D(2)B解析(1)|F1F2|2.设双曲线的方程为1.|AF2|AF1|4，|AF2|AF1|2a，|AF2|2a，|AF1|2a.在RtF1AF2中，F1AF290，|AF1|2|AF2|2|F1F2|2，即(2a)2(2a)2(2)2，a，e.故选D.(2)由条件知a21224，a23，双曲线方程为y21，设P点坐标为(x，y)，则(x，y)，(x2，y)，y21，x22xy2x22x1x22x1(x)2.又x(P为右支上任意一点)，32.故选B.思维升华在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多由于e是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式，利用b2c2a2消去b，然后变形求e，并且需注意e1.同时注意双曲线方程中x，y的范围问题(1)(2013课标全国)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx(2)过双曲线1(a0，b0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若2，则此双曲线的离心率为()A. B. C2 D.答案(1)C(2)C解析(1)由e知，a2k，ck(kR)，由b2c2a2k2知bk.所以.即渐近线方程为yx.故选C.(2)如图，2，A为线段BF的中点，23.又12，260，tan 60，e21()24，e2.题型三双曲线的综合应用例3已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围思维启迪(1)利用待定参数法求C的方程；(2)联立直线l和双曲线C的方程，利用判别式和根与系数的关系求k的范围；(3)求出P点坐标，代入l0，得到m关于k的关系式，求出m的取值范围解(1)设双曲线C的方程为1(a0，b0)由已知得：a，c2，再由a2b2c2，得b21，双曲线C的方程为y21.(2)设A(xA，yA)、B(xB，yB)，将ykx代入y21，得，(13k2)x26kx90.由题意知解得k1.当k1时，l与双曲线左支有两个交点(3)由(2)得：xAxB，yAyB(kxA)(kxB)k(xAxB)2.AB的中点P的坐标为(，)设直线l0的方程为：yxm，将P点坐标代入直线l0的方程，得m.k1，213k20.m0，b0)，根据定义2a|4，故a2.又b232a25，故所求双曲线方程为1.方法二设双曲线方程为1(2736)，由于曲线过点(，4)，故1，解得132，20(舍去)故所求双曲线方程为1.(2)由双曲线的方程得a，b，c3，F1(3,0)，F2(3,0)直线AB的方程为y(x3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得5x26x270.x1x2，x1x2.|AB|x1x2|.直线AB的方程变形为x3y30.原点O到直线AB的距离为d.SAOB|AB|d.忽视“判别式”致误典例：(14分)已知双曲线x21，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点？易错分析由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误规范解答解设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，若直线l的斜率不存在，显然不符合题意2分设经过点P的直线l的方程为y1k(x1)，即ykx1k.3分由得(2k2)x22k(1k)x(1k)220 (2k20)6分x0.由题意，得1，解得k2.9分当k2时，方程成为2x24x30.162480，b0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为t (t0)2 已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程0就是双曲线1 (a0，b0)的两条渐近线方程失误与防范1 区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c大小关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2.2 双曲线的离心率e(1，)，而椭圆的离心率e(0,1)3 双曲线1 (a0，b0)的渐近线方程是yx，1 (a0，b0)的渐近线方程是yx.4 若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况5 直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1 (2013北京)若双曲线1的离心率为，则其渐近线方程为()Ay2x ByxCyx Dyx答案B解析由e，知ca，得ba.渐近线方程为yx，yx.2 (2013湖北)已知00，b0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为l：xc或xc，代入1得y2b2(1)，y，故|AB|，依题意4a，2，e212，e.4 以椭圆1的右焦点为圆心，且与双曲线1的渐近线相切的圆的方程是()Ax2y210x90Bx2y210x90Cx2y210x90Dx2y210x90答案A解析由于右焦点(5,0)到渐近线4x3y0的距离d4，所以所求的圆是圆心坐标为(5,0)，半径为4的圆即圆的方程为x2y210x90.5 已知点F是双曲线1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，) B(1,2)C(1,1) D(2,1)答案B解析由题意易知点F的坐标为(c,0)，A(c，)，B(c，)，E(a,0)，因为ABE是锐角三角形，所以0，即(ca，)(ca，)0，整理得3e22ee4，e(e33e31)0，e(e1)2(e2)1，e(1,2)，故选B.二、填空题6 已知双曲线的渐近线方程为x2y0，且双曲线过点M(4，)，则双曲线的方程为_答案y21解析双曲线过点M(4，)，M在y下方，双曲线焦点在x轴上，设双曲线方程为1，又，因此设a2k，bk(k0)，1，代入M(4，)解得k1，a2，b1，方程为y21.7 已知双曲线1的离心率是，则n_.答案4解析根据双曲线方程得n(12n)0，0n0，b0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|PF2|6a且PF1F2的最小内角为30，则双曲线C的离心率为_答案解析不妨设|PF1|PF2|，则|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，|PF1|4a，|PF2|2a.又在PF1F2中，PF1F230，由正弦定理得，PF2F190，|F1F2|2a，双曲线C的离心率e.三、解答题9 已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2y210相交于点P(3，1)，若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程解切点为P(3，1)的圆x2y210的切线方程是3xy10.双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，两渐近线方程为3xy0.设所求双曲线方程为9x2y2(0)点P(3，1)在双曲线上，代入上式可得80，所求的双曲线方程为1.10已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)在(2)的条件下求F1MF2的面积(1)解离心率e，双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x2y2(0)，则由点(4，)在双曲线上，可得42()26，双曲线方程为x2y26.(2)证明点M(3，m)在双曲线上，32m26，m23，又双曲线x2y26的焦点为F1(2，0)，F2(2，0)，(23，m)(23，m)(3)2(2)2m291230，MF1MF2，点M在以F1F2为直径的圆上(3)解SF1MF24|m|6.B组专项能力提升(时间：25分钟)1 设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A. B. C. D.答案D解析设双曲线方程为1(a0，b0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为yx，而kBF，()1，整理得b2ac.c2a2ac0，两边同除以a2，得e2e10，解得e或e(舍去)，故选D.2 (2013重庆)设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O、所成的角为60的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x轴(或y轴)对称又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30且小于等于60，即tan 30tan 60，3.又e2()21，e24，0，b0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是()A42 B.1 C. D.1答案D解析因为MF1的中点P在双曲线上，|PF2|PF1|2a，MF1F2为正三角形，边长都是2c，所以cc2a，所以e1，故选D.4 (2013辽宁)已知F为双曲线C：1的左焦点，P，Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则PQF的周长为_答案44解析由双曲线C的方程，知a3，b4，c5，点A(5,0)是双曲线C的右焦点，且|PQ|QA|PA|4b16，由双曲线定义，得|PF|PA|6，|QF|QA|6.|PF|QF|12|PA|QA|28，因此PQF的周长为|PF|QF|PQ|281644.5 已知双曲线1 (a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为_答案解析由定义，知|PF1|PF2|2a.又|PF1|4|PF2|，|PF1|a，|PF2|a.在PF1F2中，由余弦定理，得cosF1PF2e2.要求e的最大值，即求cosF1PF2的最小值，当cosF1PF21时，得e，即e的最大值为.6 已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A、B两点，F1为左焦点(1)求双曲线的方程； (2)若F1AB的面积等于6，求直线l的方程解(1)依题意，b，2a1，c2，双曲线的方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知F2(2,0)易验证当直线l斜率不存在时不满足题意，故可设直线l：yk(x2)，由消元得(k23)x24k2x4k230，k时，x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)，F1AB的面积Sc|y1y2|2|k|x1x2|2|k|12|k|6.得k48k290，则k1.所以直线l方程为xy20或xy20.
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