五年高考真题高考数学复习 第八章 第二节 空间几何体的表面积和体积 理全国通用

高考数学精品复习资料 2019.5 第二节第二节 空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积 考点一 几何体的表面积 1(20 xx陕西，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A3 B4 C24 D34 解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为 1，高为 2，则表面积为： S212121221222 2434. 答案 D 2.(20 xx安徽，7)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( ) A1 3 B2 3 C12 2 D2 2 解析 由空间几何体的三视图可得 该空间几何体的直观图，如图，该四面体的表面积为S表21221234( 2)22 3，故选 B. 答案 B 3(20 xx新课标全国，9)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为 36，则球O的表面积为( ) A36 B64 C144 D256 解析 如图，要使三棱锥OABC即COAB的体积最大，当且仅当点C到平面OAB的距离，即三棱锥COAB底面OAB上的高最大，其最大值为球O的半径R，则VOABC最大VCOAB最大1312SOABR1312R2R16R336，所以R6，得S球O4R2462144，选 C. 答案 C 4(20 xx重庆，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A54 B60 C66 D72 解析 该几何体的直观图如图所示，易知该几何体的表面是由两个直角三角形，两个直角梯形和一个矩形组成的，则其表面积S12341235252525243560.选 B. 答案 B 5(20 xx浙江，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( ) A90 cm2 B129 cm2 C132 cm2 D138 cm2 解析 由三视图可知该几何体由一个直三棱柱与一个长方体组合而成(如图)，其表面积为S3521243433324324636138(cm2) 答案 D 6(20 xx大纲全国，8)正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为( ) A.814 B16 C9 D.274 解析 设球的半径为R，由题意可得(4R)2( 2)2R2，解得R94，所以该球的表面积为 4R2814.故选 A. 答案 A 7(20 xx安徽，7)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( ) A21 3 B18 3 C21 D18 解析 根据题意作出直观图如图，该多面体是由正方体切去两个角而得到的，根据三视图可知其表面积为 6(221211)234( 2)2672 321 3.故选 A. 答案 A 8(20 xx安徽，12)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是_ 解析 由三视图可知，该几何体为底面是直角梯形且侧棱垂直于底面的棱柱，故该几何体的表面积为S212(25)4254 42（52）2492. 答案 92 考点二 几何体的体积 1(20 xx山东，7)在梯形ABCD中，ABC2，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.23 B.43 C.53 D2 解析 如图，由题意，得BC2，ADAB1.绕AD所在直线旋转一周后所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥的组合体 所求体积V1221312153. 答案 C 2(20 xx重庆，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.13 B.23 C.132 D.232 解析 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V12122131212 113，选 A. 答案 A 3(20 xx新课标全国，6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A.18 B.17 C.16 D.15 解析 如图，由题意知，该几何体是正方体ABCDA1B1C1D1被过三点A、B1、D1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥AA1B1D1，设正方体的棱长为 1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为1 111 11A A B DB C DABCDVV1 111 1 111 11A A B DA B C DABCDA A B DVVV 131212113131212115，选 D. 答案 D 4(20 xx湖南，10)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率新工件的体积原工件的体积)( ) A.89 B.169 C.4（ 21）3 D.12（ 21）3 解析 易知原工件为一圆锥，V113r2h23，设内接长方体长、宽、高为a、b、c，欲令体积最大，则ab.由截面图的相似关系知，ca2b22，即c 2a2， V长方体abca2ca2(2 2a)， 设g(a)2a2 2a3，则g(a)4a3 2a0，令g(a)0，解得a43 2，所以令a43 2时，V长方体最大为1627， V长方体V116272389.故选 A. 答案 A 5(20 xx陕西，5)已知底面边长为 1，侧棱长为 2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( ) A.323 B4 C2 D.43 解析 如图为正四棱柱AC1.根据题意得AC 2，对角面ACC1A1为正方形，外接球直径 2RA1C2，R1，V球43，故选 D. 答案 D 6(20 xx湖北，8)算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为 3.那么，近似公式V275L2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为( ) A.227 B.258 C.15750 D.355113 解析 圆锥的体积V13r2h13L22hL2h12，由题意得12752，近似取为258，故选 B. 答案 B 7(20 xx新课标全国，6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3 cm，高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) A.1727 B.59 C.1027 D.13 解析 由三视图知该零件是两个圆柱的组合体一个圆柱的底面半径为 2 cm，高为 4 cm；另一个圆柱的底面半径为 3 cm，高为 2 cm.则零件的体积V122432234(cm3)而毛坯的体积V32654(cm3)，因此切削掉部分的体积V2VV1543420(cm3)，所以V2V20541027.故选 C. 答案 C 8(20 xx新课标全国，11)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上， ABC是边长为 1 的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为( ) A.26 B.36 C.23 D.22 解析 如图，H为ABC的外接圆圆心，则BHC120，设ABC的外接圆半径为r， 则 1BC2HC2HB22HCHBcos 1203r2， r33. 连接OH，根据球的截面性质知， OH平面ABC， OHOC2CH211363. O为SC的中点， S到平面ABC的距离为 2OH2 63， VSABC13SABC2 6313342 6326. 答案 A 9(20 xx江苏，9)现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为8 的圆柱各一个若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为_ 解析 设新的底面半径为r，由题意得13r24r2813524228，解得r 7. 答案 7 10(20 xx江苏，8)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且S1S294，则V1V2的值是_ 解析 设圆柱甲的底面半径为r1，高为h1，圆柱乙的底面半径为r2，高为h2. 由题意得S1S2r21r2294，r1r232. 又S甲侧S乙侧，即 2r1h12r2h2， h1h2r2r123， 故V1V2S1h1S2h2S1S2h1h2942332. 答案 32 11.(20 xx江苏，8)如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1V2_. 解析 由题意可知点F到面ABC的距离与点A1到面ABC的距离之比为12，SADESABC14. 因此V1V213AFSAED2AFSABC124. 答案 124 12(20 xx天津，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3. 解析 由几何体的三视图可知该几何体的顶部是长、宽、高分别为 6 m，3 m，1 m 的长方体，底部为两个直径为 3 m 的球故该几何体的体积为V631243323189(m3) 答案 189 13(20 xx湖南，18)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90，E是CD的中点 (1)证明：CD平面PAE； (2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥PABCD的体积 解 如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设PAh，则相关各点的坐标为：A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，3，0)，D(0，5，0)，E(2，4，0)，P(0，0，h) (1)证明 易知CD(4，2，0)， AE(2，4，0)，AP(0，0，h) 因为CDAE8800，CDAP0， 所以CDAE，CDAP，而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD平面PAE. (2)由题设和(1)知，CD，PA分别是平面PAE，平面ABCD的法向量 而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等， 所以|cosCD，PB|cosPA，PB|， 即CDPB|CD|PB|PAPB|PA|PB|. 由(1)知，CD(4，2，0)， PA(0，0，h)又PB(4，0，h)， 故16002 5 16h200h2h 16h2 解得h8 55. 又梯形ABCD的面积为S12(53)416，所以四棱锥PABCD的体积为 V13SPA 13168 55128 515.