一元二次方程的应用——面积问题

一元二次方程的应用教学设计一、教材分析：一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要的地位，其中一元二次方程的应用在初中数学应用问题中极具代表性，它是一元一次方程应用的继续，又是函数学习的基础，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型.二、学情分析现代心理学的研究表明，学生解应用题最常见的困难是不会将实际问题提炼成数学问题 . 本节课对象是初三学生， 他们具有一定的认知能力， 比较缺乏社会生活经历，搜集信息、处理信息的能力较弱，鉴于此，本节课从具体的问题情境中抽象出数学问题，建立数学关系式，获得合理的解答，通过自主探索和合作交流这样有意义的探索过程，理解并掌握相应的数学知识与技能， 产生积极的情感体验， 进而创造性地解决问题 . 它具有明显的问题性、 实践性、开放性和创造性等特点，有效地发展了学生的思维能力 .三、教学目标（一）知识与技能1. 以一元二次方程解决的实际问题为载体，使学生初步掌握数学建模的基本方法 .2. 能根据实际问题正确列出一元二次方程解应用题 .3. 能够发现，归纳出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决问题 .4. 提高分析问题，解决问题的能力。（二）过程与方法通过自主探索、合作交流，使学生经历动手实践、展示讲解、探究讨论 等活动，发展学生数学思维，培养学生合作学习意识、动手、动脑习惯，激 发学生学习热情。（三）情感态度与价值观本节课通过数学建模的分析、思考过程，激发学生学数学的兴趣，体会 做数学的快乐，培养应用数学的意识.技术准备多媒体计算机、实物投影仪、剪刀、纸板、铁丝、展板教学过程四、教学环节（1）、创设情境引入新课1.请学生用课桌上的一块长方形纸板和一把剪刀动手制作一个没盖的长方 体包装盒。（事先准备用具）2问：若纸板长为80cm,宽60cm,做成的长方体盒子底面积为1500cmi。同学们想一想怎样求剪去的小正方形的边长。3把无盖长方体盒重新展开，又会得到原来的长方形纸板，帮助学生从实际 问题中提炼出数学问题4 .这个问题是用一元二次方程来解决的，这正是我们这节课要讲的内容- 一元二次方程的应用5 .请学生回答列方程解应用题的一般步骤(2)、启发探究，建立模型如图，某小区内有一块长、宽比为1 : 2的矩形空地，计划在该空地上建筑两条宽均为2m的互相垂直的小路，余下的四块小矩形 空地铺成草坪。如果四块草坪的面积之和为 321m2, 请求出原来矩形空地的长和宽。1.学生观察、相互讨论得出 等量关系:(1)大矩形的面积一两条小路的面积=四个小矩形的面积之和;(2)四个小矩形的面积之和=长和宽都比大矩形的长和宽少1m的矩形的面积 2、学生讨论，合作交流，请学生板演讲解.让学生经历从具体情境中抽象出一元二次方程的模型的过程，探索具体问题 中的数量关系和变化规律，既起到了深化例题的作用，又复习了根的判别式 的知识.(3)、课堂练习巩固运用邻居张老汉养了一群鸡，现在要建一面积是 150平方米的长方形鸡场，鸡场 的一边靠墙(墙长18米)，墙对面有一个2米宽的门，另三边(门除外)用 竹篱笆围成，篱笆总长33米.请同学计算一下鸡场的长和宽各多少米？根据情境学生一面思考解决问题的思路，一面动手计心;1窈窣兹兹兹威应密粉匆奏旗绚发算并讨论两个根的取舍，请学生展示讲解解题过程联系生活实际，增强学生应用数学的意识并且要结12米1合实际，正确决定一元二次方程两个根的取舍（ 4） 、 探索实践 应用拓展 我事先给学生布置了一项美化校园设计任务，准备在长32ml宽20m的长方形场地上， 修筑同样宽的若干条道路， 余下部分作草坪， 要求草坪总面积为540m2并计算一下设计方案中道路的宽 . （并注意设计的美观性和合理性） 分组进行。1. 让学生课上互相讨论、交流设计心得体会2请学生展示设计方案（部分见附图）3 将各组设计方案依次粘贴在展板上， 请学生讨论各组设计方案的优势与不足4 . 问：“道路面积与道路的位置有关吗？教师充分肯定学生的整体思想，对于理解有些困难的学生，课件动画演示让学生发现道路的面积只与道路的形状有关，而跟道路的位置无关. 为了研究问题的方便，我们可以把道路移动到场地的边缘，对学生渗透化归思想.1 .学生事先已经分组合作设计了方案， 课上互相讨论、 交流设计心得体会，2. 学生各组选派代表依次展示设计方案3. 启发学生发现：无论道路的位置在哪里，我们可以把分割开的草坪看成一个整体。 这个环节创设了具有实践性、 开放性的问题情境， 通过学生自主探索、合作交流，产生了积极的情感体验，充分发挥了学生的主体地位，有效地培养了学生的创新精神 .（ 5）归纳总结通过这节课的学习，请试着谈一谈.你学到了什么你的发现是什么你的收获是什么学生小结：两个含有未知数的一次式的乘积等于一个常数，这是我们这节课抽象出的一元二次方程的模型.（ 6）布置作业1、继续完善道路的设计方案2、 做一次社会调查， 自己编一道实际生活中有关一元二次方程的问题并给予解决，注意结合实际编排合理的数据记作业 希望学生能够把学到的知识应用到实际中去（ 7）板书设计12.6 一元二次方程的应用例 解：设大矩形空地的宽为xm ，则长为 2xm ，则（2x 2） （ x 2 ） =312解得 x1=14， x2= 11（舍去） 。2x=28所以长为28m,宽为14m。解：设需要剪去的小正方形边长为 x cm，则盒底面长方形的长为（802x） cm,宽为（60 2x） cm,据题意：（ 80 2x） （ 60 2x ） =1500 整理后，得 70x 十 825=0，解得 x1=15， x2=55当x=55时，802x=30 （不合题意，舍去.）答：截取的小正方形边长应为15cm,可制成符合要求的无盖盒子.（ 8）一元二次方程应用教学反思这节课是 “列一元二次方程解应用题 ”，讲授在几何问题中以学生熟悉的现实生活为问题的背景，让学生从具体的问题情境中抽象出数量关系，归纳出变化规律，并能用数学符号表示，最终解决实际问题。体会数学在现实生活中的作用。通过本节课的教学 ,总体感觉调动了学生的积极性，能够充分发挥学生的主体作用，以现实生活情境问题入手，激发了学生思维的火花。一、本节课第一个例题，是面积问题中的一个典型例题，我在引导学生解决此题之后，总结了解一元二次应用题的步骤。不仅关注结果更关注过程，让学生养成良好的解题习惯。二、练习 1 是例题 1 的变式与提高，练习 2 是例题 2 的变式与提高。 通过变式训练，让学生由浅入深，由易到难，也让学生解决问题的能力逐级上升，这是这节课中的一大亮点。在讲完例题的基础上，将更多教学时间留给学生，这样学生感到成功机会增加，从而有一种积极的学习态度，同时学生在学习中相互交流、相互学习，共同提高。三、在课堂中始终贯彻数学源于生活又用于生活的数学观念，同时用方程来解决问题，使学生树立一种数学建模的思想。四、课堂上多给学生展示的机会，比如我所设计练习题可用不同方法去求解，让学生走上讲台，向同学们展示自己的聪明才智。同时在这个过程中，更有利于发现学生分析问题与解决问题独到见解及思维误区，以便指导今后教学。总之，通过各种启发、激励的教学手段，帮助学生形成积极主动求知态度，课堂收效大。6