资源描述
直线和平面复习（一）教学目标1配合系统复习，进一步培养空间想象力；2借助平面几何中，三角形的重心、垂心、内心、外心等知识，解决立体几何问题教学重点和难点1空间想象力的培养；2分析问题能力与综合运用知识能力的培养教学设计过程师：同学们已经很好地完成了知识总结的作业，有些同学还将知识的内在联系用图表展示出来 也有的同学将各种位置关系用图形语言和符号语言进行归纳和整理 在此一并提出表扬我们将把这些总结用展板展示，请同学们互相学习师：本节课我们将通过一组问题来进行复习复习的目的之一是进一步培养同学们的空间想象力关于空间想象力的问题，在高一年级刚开始时，单纯的想象占主导地位，随着一个学期的学习， 关于线面的各种位置关系及性质研究的深入， 单纯的想象力就转化为： 在线面各 种位置关系的定义、性质定理指导下的想象请先看下面一组题目：填空题：1空间三个平面可能将空间分成部分2正方体各个面所在的平面将空间分成 部分3与空间四个点距离相等的平面有个*4. A, B, C, D是空间不共面的四点.它们到平面a的距离比（依次）为：2： 1 ： 1 ：1,满足条件的平面a有一个.生：第 1 题空间三个平面可能将空间分成4 或 6 或 7 或 8 部分师：请你画图说明你的观点生：（作图）用心爱心专心62图4师：很女?,图1、图2、图3、图4依次表示三个平面将空间分成 4, 6, 7, 8部分.生：第2题答案是27.师：你给同学们解释一下,答案为什么是 27.生：（手拿一个粉笔盒）这个粉笔盒近似看成一个正方体，它的上底面与下底之间被分成9部分.同样，上底面上边与下底面下面也各被分成9部分.总计正方体各个面所在的平面将空间分成27部分.师：对于第 平面a上，则点3小题，需要先证明下面的命题：线段 AB与平面a相交，若AB中点 A、点B到平面a的距离相等.生A:本题的答案为4,因为经过有公共顶点的三条棱的中点作截面，根据老师刚介绍的引B图5理，可以证明这样的截面符合条件.（如图5）生B:还有一种情况.刚才生A所作平面使已知四个点中有三个在平面的同一侧,一个点在另一侧.我想所作平面两侧各有 点在平面同侧；V, B两点在平面同侧；2个点.如图6.这类平面共有3个，即 V, C两点在平面同侧.V,另外A两图6师：刚才两名同学讲的都很好，相互补充，符合条件的平面共有7个.同学们有不同意见吗？师：刚才两名同学都认为已知四个点不共面，事实上，当这四个点共面时，符合题目 要求的平面有无数个.只要与四点所在平面平行的平面都符合要求.生：老师，如果这四个点共线呢？这：当四个点共线时，只要与这条直线平行的平面均符合条件，这个题目的正确答案 应该是7个或无数个.分类讨论的方法不仅在代数课上使用，几何学中也经常使用， 此题就是按照图形的不同位置关系进行分类讨论.我们继续讨论第4题.生：我认为仿照第 3小题的解答，可提出下面引理：若点A、点B在平面d异侧，AB与口交于点C,=则点4点B到平面口的距EC n离之比为上. n师：他的猜测是正确的.这个命题的正确性请同学们课下论证.下面我们讨论第4小题的解法.生 A:分别延长 AB, AC, AD至 Bi, Ci, Di,使 BB=AB, CC=AC DD=AQ 如图 7,则平 面a就是平面BiGD.生B:分另1J在AB, AG AD上取点B , C , D,使得：AR/ AC; AD ;2亲=治=/ =；则平面也是一个符合条件的平B B L C D D i面.图T图8师：分别取BG CD DA的中点E, F, G.那么经过EG的任何一个平面都满足：它与 B, C, D三点的距离相等，在这些平面中，经过点B或经过 C D（因为C D / CD/ GE的平面符合题目要求.（图 8）经过EG有两个平面符合题意.同样，经过EF, FG各有两个平面符合题意，综合以上分析共有8个平面符合题目要求.师：问题5.是否存在一个四面体，它的每个面都是直角三角形？请同学们思考.生A:我找到一个几何体，它的三个面都是直角三角形.如图9. /AVB=/ BVChCVA=90 .生B:我曾经证过生 A所给的图中， ABC是锐角三角形.师：根据两名同学的发言，给我们以下启示：三个面是直角三角形的几个体已经找到； 三个直角顶点不能是同一个点！构造/ VAB土 VAC=90 ,且/ BAO 90 .再构造/ ACB=90,同学们不难证明/ VCB=90 .生：是根据三垂线定理.师：空间想象力在不同时期有不同要求.上面这个问题如果是高一第一学期开始让同 学们作，那就只有想象或动手制做模型.现在解决它，可以借助我们所学的线面位置关系去寻找解决问题的方法，并且在想象结束时，论证想象的合理性.师；如图11,正方体 ABCD-ABGD, P, Q, R分别在CiD, CC, AB上.画出截面 PQR 与正方体各面的交线.Tl . TA R 图11由公理知：PQ仁面DG.因为面AB/面DG,截面与它们相交，交线必平行（根据面面平行的性质定理）.过点 R在面AB中作PQ平行线交AA于S. PQ交DC于T, TR交BC于 E,连结EQ过S作SF/ EQ交AD于F,连FP,则多边形 PQERS的边就是截面 PQRW正方 体各面的交线.师：同学们请看下面一组题：6 .从平面外一点向平面引垂线和斜线，若斜线与平面所成的角都相等，垂足是斜足多 边形的 心.7 .直角三角形 ABC中，/C是直角，AC=q BC=3 4ABC所在平面外一点 P, PA=PB=PC=13 点P到 ABC所在平面白距离为 .生：垂足是斜足多边形的外心，因为从平面外一点向平面引斜线.它们与平面所成角 相等，可以得到它们的长相等，它们在平面内的射影长也相等.师：同学们还可以进一步思考，满足什么条件时，垂足是斜足多边形的内心？垂足有 没有可能成为斜足多边形的重心？垂心？做完一道题目之后，不要满足于题目的本身，能够将条件、结论变换后的有关命题进 行研究，可达到事半功倍，提高能力的效果.师：根据已知条件，第7小题中，点P在 ABC所在平面上的射影恰为 ABC的外心.由 于 ABC是直角三角形，所以由点P引平面ABC的垂线，垂足恰为 ABC斜边AB的中点，你 们知道了解题思路吗？生：作 PDL面 ABC于 D,由 PA=PB=PC导 DA=DB=DCD是 ABC外心.又因为/ ACB=90 , 由平面几何知识，得出 D为AB的中点.PA=13, AD=5, PD=12即点P到平面ABC的距离为 12.师：三角形的垂心、内心、外心、重心的知识在立体几何中经常使用.有一些题目本 身没有明确给出，如第 7小题，恰到好处地运用四心有关的知识，可简化解题过程.下面一道题目也是与三角形的“心”有关的问题.8 .如图13,正 ABC边长为a,。为外心，POL面ABC PA=PB=PC=b D, E分别为 AC, AB的中点，且 PA/面DEFG求：四边形DEFG的面积.A击KC图13由题设我们能得到哪些有用的结论？生A:因为PA/面EFGD由线面平行的性质可得：EF/ PA GD/ PA所以EF/ DG由D, E分别是 AB, AC的中点，DE/ BC,所以BC/面DEFG进一步得出 BC/ FG.综上DEFG平行四边形.曲：不难求出DE = %, EF=：b,只要求出DE与EF所成的角，就能求出平行四边形 DEFG勺面积.师：到目前为止，已知条件中还有两条没有发挥作用.等边a ABCO为4ABC的外心，生C:当。为等边三角形外心时， 它也是等边 ABC的垂心.即BC AQ又POL面ABG 由三垂线定理知：BC PA已经证明了 EF/ PA, BC/ DEL,得出EFL DE, EFGM一矩形，它 的面积效：有效地利用“心”的有关概念，较好地解决一些立体几何问题.本节课重点讨论了两个方面的问题；1 .关于空间想象力的进一步培养问题.不是空象，要注意有意识地利用各种线面位置2 .通过问题，适当复习了平面几何中的“四心”问题，进一步掌握利用“四心”的知 识解决的方法.下面布置作业：（略）爱心7
展开阅读全文