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精品资料压轴题目突破练平面解析几何A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1 已知两条直线l1：yx，l2：axy0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在内变动时，a的取值范围是()A(0,1) B.C.(1，) D(1，)答案C解析直线l1的倾斜角为，依题意l2的倾斜角的取值范围为，即，从而l2的斜率a的取值范围为(1，)2 若圆(x3)2(y5)2r2上有且只有两个点到直线4x3y20的距离等于1，则半径r的取值范围是()A(4,6) B4,6) C(4,6 D4,6答案A解析因为圆心(3，5)到直线4x3y20的距离为5，所以当半径r4时，圆上有1个点到直线4x3y20的距离等于1，当半径r6时，圆上有3个点到直线4x3y20的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x3y20的距离等于1时，4<r<6.3 已知双曲线1 (a>0，b>0)与抛物线y28x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|5，则双曲线的渐近线方程为()Ay±x By±xCy±x Dy±x答案A解析设点P(x0，y0)依题意得，焦点F(2,0)，于是有x03，y24；由此解得a21，b23，因此该双曲线的渐近线方程是y±x±x.4 已知抛物线y28x的焦点F到双曲线C：1(a>0，b>0)渐近线的距离为，点P是抛物线y28x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1(0，c)的距离与到直线x2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为()A.1 By21C.x21 D.1答案C解析由题意得，抛物线y28x的焦点F(2,0)，双曲线C：1(a>0，b>0)的一条渐近线的方程为axby0，抛物线y28x的焦点F到双曲线C：1(a>0，b>0)渐近线的距离为，a2b.P到双曲线C的上焦点F1(0，c)的距离与到直线x2的距离之和的最小值为3，|FF1|3，c249，c，c2a2b2，a2b，a2，b1.双曲线的方程为x21，故选C.5 已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点，若PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为()A. B. C. D.答案A解析由题意可知，F1PF2是直角，且tanPF1F22，2，又|PF1|PF2|2a，|PF1|，|PF2|.根据勾股定理得22(2c)2，所以离心率e.二、填空题6 如果1表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是_答案(1，)解析将原方程化成标准方程为1.由题意知k1>0且k2>0，解得k>2.又a2k1，b2k2，所以c2a2b22k3>1，所以c>1，故半焦距c的取值范围是(1，)7 若点(3,1)是抛物线y22px一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p_.答案2解析设弦两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则，两式相减得，2.又y1y22，p2.8 已知抛物线x24y的焦点为F，经过F的直线与抛物线相交于A，B两点，则以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是_答案2解析由抛物线定义得以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，利用直角三角形中勾股定理得到弦长的解析式，再求弦长的最小值设以AB为直径的圆的半径为r，则|AB|2r4，r2，且圆心到x轴的距离是r1，所以在x轴上所截得的弦长为222，即弦长的最小值是2.三、解答题9 已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴顶点为(0,2)，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于异于椭圆顶点的两点A，B，且2.(1)求椭圆的方程；(2)求m的取值范围解(1)由题意，知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为1(a>b>0)，由题意，知a2，bc，又a2b2c2，则b，所以椭圆方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知直线l的斜率存在，设其方程为ykxm，与椭圆方程联立，即消去y，得(2k2)x22mkxm240，(2mk)24(2k2)(m24)>0，由根与系数的关系，知又2，即有(x1，my1)2(x2，y2m)，所以x12x2.则所以22.整理，得(9m24)k282m2，又9m240时等式不成立，所以k2>0，得<m2<4，此时>0.所以m的取值范围为.10已知中心在原点的椭圆C：1的一个焦点为F1(0,3)，M(x,4)(x>0)为椭圆C上一点，MOF1的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解(1)因为椭圆C的一个焦点为F1(0,3)，所以c3，b2a29，则椭圆C的方程为1，因为x>0，所以SOMF1×3×x，解得x1.故点M的坐标为(1,4)因为点M(1,4)在椭圆上，所以1，得a48a290，解得a29或a21(不合题意，舍去)，则b29918，所以椭圆C的方程为1.(2)假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，其方程为y4xm(因为直线OM的斜率k4)，由消去y化简，得18x28mxm2180.进而得到x1x2，x1·x2.因为直线l与椭圆C相交于A，B两点，所以(8m)24×18×(m218)>0，化简得m2<162，解得9<m<9.因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点，所以·0，所以x1x2y1y20.又y1y2(4x1m)(4x2m)16x1x24m(x1x2)m2，x1x2y1y217x1x24m(x1x2)m2m20.解得m±.由于±(9，9)，所以符合题意的直线l存在，且所求的直线l的方程为y4x或y4x.B组专项能力提升(时间：25分钟)1 由直线yx1上的一点向圆(x3)2y21引切线，则切线长的最小值为()A1 B2 C. D3答案C解析如图所示，设直线上一点P，切点为Q，圆心为M，则|PQ|即为切线长，MQ为圆M的半径，长度为1，|PQ|，要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线yx1上的点到圆心M的最小距离，设圆心到直线yx1的距离为d，则d2.所以|PM|的最小值为2.所以|PQ|.2 在抛物线yx2ax5(a0)上取横坐标为x14，x22的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x25y236相切，则抛物线顶点的坐标为()A(2，9) B(0，5)C(2，9) D(1，6)答案A解析当x14时，y1114a；当x22时，y22a1，所以割线的斜率ka2.设直线与抛物线的切点横坐标为x0，由y2xa得切线斜率为2x0a，2x0aa2，x01.直线与抛物线的切点坐标为(1，a4)，切线方程为ya4(a2)(x1)，即(a2)xy60.圆5x25y236的圆心到切线的距离d.由题意得，即(a2)215.又a0，a4，此时，yx24x5(x2)29，顶点坐标为(2，9)3 过椭圆1(a>b>0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若|AM|MB|，则该椭圆的离心率为_答案解析由题意知A点的坐标为(a,0)，设直线的方程为yxa，B点的坐标为(0，a)，故M点的坐标为，代入椭圆方程得a23b2，2a23c2，e.4 设抛物线y22x的焦点为F，过F的直线交该抛物线于A，B两点，则|AF|4|BF|的最小值为_答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由抛物线定义可得|AF|4|BF|x14x14x14x2，设直线AB的方程为kyx，联立抛物线方程得方程组消元整理得y22ky10，由根与系数的关系可得y1y21，又A，B在抛物线上，代入方程得yy2x1·2x24x1x21，即x1x2，因此根据基本不等式|AF|4|BF|x14x222，当且仅当x14x2时取得最小值.5 已知抛物线C的方程为y2px(p>0)，直线l：xym与x轴的交点在抛物线C准线的右侧(1)求证：直线l与抛物线C恒有两个不同交点；(2)已知定点A(1,0)，若直线l与抛物线的交点为Q，R，满足·0，是否存在实数m，使得原点O到直线l的距离不大于，若存在，求出正实数p的取值范围；若不存在，请说明理由(1)证明由题意知m>，联立，消去x可得y2pypm0.(*)p>0且m>，p24pm>0.直线与抛物线C恒有两个不同的交点(2)解设点Q(x1，y1)，R(x2，y2)，由(*)可得y1y2p，y1y2pm.故·(x11，y1)·(x21，y2)(x11)(x21)y1y2(m1y1)(m1y2)y1y22y1y2(1m)(y1y2)(m1)2p(m1)(m1)20.由题意知m1>0，pm14.又由原点O到直线l的距离不大于，则有，m.由(1)有m>，即m>·，结合m，化简该不等式得5m22m1>0，恒成立，m.令tm1，则t.而函数pt4在上单调递减，p.存在m且m，实数p的取值范围为.
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