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精品资料8.1直线的方程1 直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.倾斜角的范围为0，180)(2)直线的斜率定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即ktan_，倾斜角是90的直线斜率不存在过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1x2)的直线的斜率公式为k.2 直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含垂直于x轴的直线斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1 (x1x2)和直线yy1 (y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用3 过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程(1)若x1x2，且y1y2时，直线垂直于x轴，方程为xx1；(2)若x1x2，且y1y2时，直线垂直于y轴，方程为yy1；(3)若x1x20，且y1y2时，直线即为y轴，方程为x0；(4)若x1x2，且y1y20时，直线即为x轴，方程为y0.4 线段的中点坐标公式若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则，此公式为线段P1P2的中点坐标公式1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率()(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大()(4)直线的斜率为tan ，则其倾斜角为.()(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等()(6)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程ykxb表示()(7)不经过原点的直线都可以用1表示()(8)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()2 如果AC0，且BC0，在y轴上的截距0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限3 若直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为_答案45或135解析由|k|tan |1，知：ktan 1或ktan 1.又倾斜角0，180)，45或135.4 直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(mR)两点则直线l的倾斜角的取值范围为_答案解析直线l的斜率k1m21.若l的倾斜角为，则tan 1.又0，)，.5 过点M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_答案xy10或4x3y0解析若直线过原点，则k，yx，即4x3y0.若直线不过原点设1，即xya.a3(4)1，xy10.题型一直线的倾斜角与斜率例1经过P(0，1)作直线l，若直线l与连接A(1，2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角的取值范围分别为_，_.思维启迪本题考查斜率求解公式以及k与的函数关系，解题关键是在求倾斜角时要对其分锐角、钝角的讨论答案1,10，)解析如图所示，结合图形：为使l与线段AB总有公共点，则kPAkkPB，而kPB0，kPA0，故k0时，为锐角又kPA1，kPB1，1k1.又当0k1时，0；当1k0时，.故倾斜角的取值范围为0，)思维升华直线倾斜角的范围是0，)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论由正切函数图象可以看出当时，斜率k0，)；当时，斜率不存在；当时，斜率k(，0)(1)若直线l与直线y1，x7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为()A. BC D.(2)直线xcos y20的倾斜角的范围是()A. B.C. D.答案(1)B(2)B解析(1)依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有，解得a5，b3，从而可知直线l的斜率为.(2)由xcos y20得直线斜率kcos .1cos 1，k.设直线的倾斜角为，则tan .结合正切函数在上的图象可知，0或.题型二求直线的方程例2根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.思维启迪本题考查直线方程的三种形式，解题关键在于设出正确的方程形式解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin (00，b0)，点P(3,2)代入得12 ，得ab24，从而SAOBab12，当且仅当时等号成立，这时k，从而所求直线方程为2x3y120.方法二依题意知，直线l的斜率k存在且k0.则直线l的方程为y2k(x3) (k0；当k0时，直线为y1，符合题意，故k0.(3)解由l的方程，得A，B(0,12k)依题意得解得k0.S|OA|OB|12k|(224)4，“”成立的条件是k0且4k，即k，Smin4，此时直线l的方程为x2y40.分类讨论思想在求直线方程中的应用典例：(4分)与点M(4,3)的距离为5，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_思维启迪解答本题应抓住直线在两坐标轴上的截距相等，分类设出直线的方程求解规范解答解析当截距不为0时，设所求直线方程为1，即xya0，点M(4,3)与所求直线的距离为5，5，a75.所求直线方程为xy750或xy750.当截距为0时，设所求直线方程为ykx，即kxy0.同理可得5，k.所求直线方程为yx，即4x3y0.综上所述，所求直线方程为xy750或xy750或4x3y0.答案xy750或xy750或4x3y0温馨提醒在选用直线方程时常易忽视的情况有(1)选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况；(2)选用截距式时，忽视截距为零的情况；(3)选用两点式时忽视与坐标轴垂直的情况.方法与技巧1 要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：k，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x1x2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率当x1x2，y1y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90.2 求斜率可用ktan (90)，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”3 求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法失误与防范1 求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率2 根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性3 利用一般式方程AxByC0求它的方向向量为(B，A)不可记错，但同时注意方向向量是不唯一的A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1 如图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则()Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k2答案D解析直线l1的倾斜角1是钝角，故k13，所以0k3k2，因此k1k31或者0即可，解得1a或者a0.综上可知，实数a的取值范围是(，)(0，)8 若ab0，且A(a,0)、B(0，b)、C(2，2)三点共线，则ab的最小值为_答案16解析根据A(a,0)、B(0，b)确定直线的方程为1，又C(2，2)在该直线上，故1，所以2(ab)ab.又ab0，故a0，b0，b0)，将(1,4)代入得1，ab(ab)()5()9，当且仅当b2a，即a3，b6时，截距之和最小，直线方程为1，即2xy60.4 已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是_答案3解析直线AB的方程为1，设P(x，y)，则x3y，xy3yy2(y24y)(y2)243.即当P点坐标为时，xy取最大值3.5 设点A(1,0)，B(1,0)，直线2xyb0与线段AB相交，则b的取值范围是_答案2,2解析b为直线y2xb在y轴上的截距，如图，当直线y2xb过点A(1，0)和点B(1,0)时b分别取得最小值和最大值b的取值范围是2,26 直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正方向和y轴的正方向于A、B两点(1)当|PA|PB|最小时，求l的方程；(2)当|OA|OB|最小时，求l的方程解依题意，l的斜率存在，且斜率为负设l：y4k(x1)(k0)令y0，可得A(1，0)；令x0，可得B(0,4k)(1)|PA|PB| (1k2)4(k)8.(注意k0)当且仅当k且k0即k1时，|PA|PB|取最小值这时l的方程为xy50.(2)|OA|OB|(1)(4k)5(k)9.当且仅当k且k0，即k2时，|OA|OB|取最小值这时l的方程为2xy60.
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