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精品资料8.5椭圆1 椭圆的概念在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若ac，则集合P为线段；(3)若ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0,1)a，b，c的关系c2a2b21 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(4)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()2 已知椭圆的焦点在y轴上，若椭圆1的离心率为，则m的值是()A. B. C. D.答案D解析由题意知a2m，b22，c2m2.e，m.3 (2013广东)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析由题意知c1，e，所以a2，b2a2c23.故所求椭圆方程为1.4 如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是_答案(0,1)解析将椭圆方程化为1，焦点在y轴上，2，即k0，0kb0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为_答案1解析设过左焦点F1的正三角形的边交椭圆于A，则|AF1|c，|AF2|c，有2a(1)c，e1.题型一椭圆的定义及标准方程例1(1)已知圆(x2)2y236的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为_(3)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)、P2(，)，则椭圆的方程为_思维启迪(1)题主要考虑椭圆的定义；(2)题要分焦点在x轴和y轴上两种情况；(3)可以用待定系数法求解答案(1)B(2)y21或1(3)1解析(1)点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|PN|，又AM是圆的半径，|PM|PN|PM|PA|AM|6|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆(2)若焦点在x轴上，设方程为1(ab0)，椭圆过P(3,0)，1，即a3，又2a32b，b1，方程为y21.若焦点在y轴上，设方程为1(ab0)椭圆过点P(3,0)1，即b3.又2a32b，a9，方程为1.所求椭圆的方程为y21或1.(3)设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0且mn)椭圆经过P1、P2点，P1、P2点坐标适合椭圆方程则、两式联立，解得所求椭圆方程为1.思维升华(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a|F1F2|这一条件(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2ny21 (m0，n0，mn)的形式(1)过点(，)，且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程为_(2)已知P是椭圆1上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若F1PF260，则PF1F2的面积为_答案(1)1(2)12解析(1)方法一椭圆1的焦点为(0，4)，(0,4)，即c4.由椭圆的定义知，2a，解得a2.由c2a2b2可得b24.所以所求椭圆的标准方程为1.方法二因为所求椭圆与椭圆1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c225916.设它的标准方程为1(ab0)因为c216，且c2a2b2，故a2b216.又点(，)在所求椭圆上，所以1，即1.由得b24，a220，所以所求椭圆的标准方程为1.(2)根据椭圆的定义，得|PF1|PF2|20，在PF1F2中，由余弦定理，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60256.2得|PF1|PF2|48.SPF1F2|PF1|PF2|sin 6012.题型二椭圆的几何性质例2(1)在RtABC中，ABAC1，如果一个椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，求这个椭圆的离心率(2)如图，焦点在x轴上的椭圆1的离心率e，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，求的最大值和最小值思维启迪本题主要考查椭圆的几何性质及其应用，解题(1)的关键是根据题意求出a，c的值；解题(2)的关键是表示出，根据椭圆的性质确定变量的取值范围解(1)设椭圆的焦半径为c，设另一个焦点为F，如图所示，ABAC1，ABC为直角三角形，114a，则a.设FAx，x，1()24c2，c，e.(2)设P点坐标为(x0，y0)由题意知a2，e，c1，b2a2c23.所求椭圆方程为1.2x02，y0.又F(1,0)，A(2,0)，(1x0，y0)，(2x0，y0)，xx02yxx01(x02)2.当x02时，取得最小值0，当x02时，取得最大值4.思维升华(1)求椭圆的离心率的方法直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解通过取特殊值或特殊位置，求出离心率(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如，axa，byb,0eb0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e，直线l交椭圆于M，N两点(1)若直线l的方程为yx4，求弦MN的长(2)如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式思维启迪直线与圆锥曲线的关系问题，一般可以直接联立方程，把方程组转化成关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求解解(1)由已知得b4，且，即，解得a220，椭圆方程为1.则4x25y280与yx4联立，消去y得9x240x0，x10，x2，所求弦长|MN|x2x1|.(2)椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，设线段MN的中点为Q(x0，y0)，由三角形重心的性质知2，又B(0,4)，(2，4)2(x02，y0)，故得x03，y02，即得Q的坐标为(3，2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x26，y1y24，且1，1，以上两式相减得0，kMN，故直线MN的方程为y2(x3)，即6x5y280.思维升华(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| (k为直线斜率)提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式已知椭圆G：1(ab0)的离心率为，右焦点为(2，0)斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3,2)(1)求椭圆G的方程；(2)求PAB的面积解(1)由已知得c2，解得a2.又b2a2c24，所以椭圆G的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm，由消去y得4x26mx3m2120.设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1b0)的左焦点为F1，上顶点为B2，右顶点为A2，过点A2作x轴的垂线交直线F1B2于点P，若|PA2|3b，则椭圆C的离心率为_(2)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0)、F2(c,0)，若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为_思维启迪椭圆的离心率利用方程思想，只需利用题目条件得到a，b，c的一个关系式即可若得到的关系式含b，可利用a2b2c2转化为只含a，c的关系式答案(1)(2)(1,1)解析(1)由题设知，e.(2)依题意及正弦定理，得(注意到P不与F1F2共线)，即，1，1，即e1，(e1)22.又0e1，因此1eb0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1 已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为()A9 B1C1或9 D以上都不对答案C解析，解得a5，b3，c4.椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为ac9或ac1.2 设F1、F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|3，则P点到椭圆左焦点的距离为()A4 B3 C2 D5答案A解析由题意知|OM|PF2|3，|PF2|6，|PF1|2564.3 已知椭圆1的焦距为4，则m等于()A4 B8 C4或8 D以上均不对答案C解析由，得2mb0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()A. B. C. D.2答案B解析由题意知|AF1|ac，|F1F2|2c，|F1B|ac，且三者成等比数列，则|F1F2|2|AF1|F1B|，即4c2a2c2，a25c2，所以e2，所以e.5 已知圆M：x2y22mx30(m0)的半径为2，椭圆C：1的左焦点为F(c,0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为()A. B1 C2 D4答案C解析圆M的方程可化为(xm)2y23m2，则由题意得m234，即m21(mb0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_答案1解析由直线方程为y(xc)，知MF1F260，又MF1F22MF2F1，所以MF2F130，MF1MF2，所以|MF1|c，|MF2|c所以|MF1|MF2|cc2a.即e1.7 已知椭圆1 (ab0)的离心率等于，其焦点分别为A、B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在ABC中，的值等于_答案3解析在ABC中，由正弦定理得，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA|CB|2a，而|AB|2c，所以3.8 椭圆y21的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是_答案(，)解析设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，则(x，y)，(x，y)F1PF2为钝角，0，即x23y20，y21，代入得x2310，x22，x2.解得xb0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF260.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知AF1B的面积为40，求a，b的值解(1)由题意可知，AF1F2为等边三角形，a2c，所以e.(2)方法一a24c2，b23c2，直线AB的方程为y(xc)，将其代入椭圆方程3x24y212c2，得B，所以|AB|c.由SAF1B|AF1|AB|sinF1ABaca240，解得a10，b5.方法二设|AB|t.因为|AF2|a，所以|BF2|ta.由椭圆定义|BF1|BF2|2a可知，|BF1|3at，再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60可得，ta.由SAF1Baaa240 知，a10，b5.10设椭圆1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2.点P(a，b)满足|PF2|F1F2|.(1)求椭圆的离心率e.(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点若直线PF2与圆(x1)2(y)216相交于M，N两点，且|MN|AB|，求椭圆的方程解(1)设F1(c,0)，F2(c,0)(c0)，因为|PF2|F1F2|，所以2c.整理得2()210，解得1(舍)，或.所以e.(2)由(1)知a2c，bc，可得椭圆方程为3x24y212c2，直线PF2的方程为y(xc)A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x28cx0.解得x10，x2c.得方程组的解不妨设A(c，c)，B(0，c)，所以|AB| c.于是|MN|AB|2c.圆心(1，)到直线PF2的距离d.因为d2()242，所以(2c)2c216.整理得7c212c520，得c(舍)，或c2.所以椭圆方程为1.B组专项能力提升(时间：25分钟)1 (2013四川)从椭圆1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A. B. C. D.答案C解析由题意可设P(c，y0)(c为半焦距)，kOP，kAB，由于OPAB，y0，把P代入椭圆方程得1，而2，e.选C.2 设P(x，y)是曲线 1上的任意一点，F1(，0)，F2(，0)，则|PF1|PF2|的值()A小于8 B大于8C不小于8 D不大于8答案D解析如图所示，长半轴长为4，短半轴长为3的椭圆，其方程为1.将曲线 1的方程化简，即|1，其表示的是椭圆内部的四条线段，即点P是椭圆1内部一点，根据椭圆的定义，|PF1|PF2|2a8.3 在椭圆1内，通过点M(1,1)，且被这点平分的弦所在的直线方程为()Ax4y50 Bx4y50C4xy50 D4xy50答案A解析设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由，得0，因所以，所以所求直线方程为y1(x1)，即x4y50.4 点P是椭圆1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为_答案解析|PF1|PF2|10，|F1F2|6，SPF1F2(|PF1|PF2|F1F2|)18|F1F2|yP3yP.所以yP.5 设F1、F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|PF1|的最大值为_答案15解析|PF1|PF2|10，|PF1|10|PF2|，|PM|PF1|10|PM|PF2|，易知M点在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于P点，此时|PM|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|PF1|的最大值为10|MF2|1015.6 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M(1，)(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足2？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由解(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，由题意得解得a24，b23.故椭圆C的方程为1.(2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为yk1(x2)1，代入椭圆C的方程得，(34k)x28k1(2k11)x16k16k180.因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，所以8k1(2k11)24(34k)(16k16k18)32(6k13)0，所以k1.又x1x2，x1x2，因为2，即(x12)(x22)(y11)(y21)，所以(x12)(x22)(1k).即x1x22(x1x2)4(1k).所以24(1k)，解得k1.因为k1，所以k1.于是存在直线l1满足条件，其方程为yx.
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