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精品资料§8.3圆的方程1 圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆2 确定一个圆最基本的要素是圆心和半径3 圆的标准方程(xa)2(yb)2r2(r>0)，其中(a，b)为圆心，r为半径4 圆的一般方程x2y2DxEyF0表示圆的充要条件是D2E24F>0，其中圆心为，半径r.5 确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程6 点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0a)2(y0b)2r2；(2)点在圆外：(x0a)2(y0b)2>r2；(3)点在圆内：(x0a)2(y0b)2<r2.1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.()(3)方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆心为(，a)，半径为的圆(×)(4)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是AC0，B0，D2E24AF>0.()2 若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是()A1<a<1 B0<a<1Ca>1或a<1 Da±1答案A解析因为点(1,1)在圆的内部，(1a)2(1a)2<4，1<a<1.3 (2012·辽宁)将圆x2y22x4y10平分的直线是()Axy10 Bxy30Cxy10 Dxy30答案C解析因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.4 圆x2y24x6y0的圆心坐标是()A(2,3) B(2,3)C(2，3) D(2，3)答案D解析圆x2y24x6y0的圆心坐标为，即(2，3)5 已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为_答案(x2)2y210解析设圆心坐标为(a,0)，易知，解得a2，圆心为(2,0)，半径为，圆C的方程为(x2)2y210.题型一求圆的方程例1根据下列条件，求圆的方程：(1)经过P(2,4)、Q(3，1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；(2)圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)思维启迪(1)设圆的一般方程，利用待定系数法求解(2)求圆心和半径，确定圆的标准方程解(1)设圆的方程为x2y2DxEyF0，将P、Q两点的坐标分别代入得又令y0，得x2DxF0.设x1，x2是方程的两根，由|x1x2|6有D24F36，由、解得D2，E4，F8，或D6，E8，F0.故所求圆的方程为x2y22x4y80，或x2y26x8y0.(2)方法一如图，设圆心(x0，4x0)，依题意得1，x01，即圆心坐标为(1，4)，半径r2，故圆的方程为(x1)2(y4)28.方法二设所求方程为(xx0)2(yy0)2r2，根据已知条件得解得因此所求圆的方程为(x1)2(y4)28.思维升华求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解与x轴相切，圆心在直线3xy0上，且被直线xy0截得的弦长为2的圆的方程为_答案(x1)2(y3)29或(x1)2(y3)29解析设所求的圆的方程是(xa)2(yb)2r2，则圆心(a，b)到直线xy0的距离为，r2()2()2，即2r2(ab)214.所求的圆与x轴相切，r2b2.又所求圆心在直线3xy0上，3ab0.联立，解得a1，b3，r29或a1，b3，r29.故所求的圆的方程为(x1)2(y3)29或(x1)2(y3)29.题型二与圆有关的最值问题例2已知实数x、y满足方程x2y24x10.求：(1)的最大值和最小值；(2)yx的最小值；(3)x2y2的最大值和最小值思维启迪显然实数x，y所确定的点在圆x2y24x10上运动，而则可看成是圆上的点与原点连线的斜率，yx可以转化为截距，x2y2可以看成是圆上点与原点距离的平方解(1)如图，方程x2y24x10表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆设k，即ykx，则圆心(2,0)到直线ykx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值由，解得k23，kmax，kmin.(也可由平面几何知识，得OC2，CP，POC60°，直线OP的倾斜角为60°，直线OP的倾斜角为120°)(2)设yxb，则yxb，仅当直线yxb与圆切于第四象限时，截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得，即b2±，故(yx)min2.(3)x2y2是圆上点与原点的距离的平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于C，则(x2y2)max|OC|2(2)274，(x2y2)min|OB|2(2)274.思维升华把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化极为常见，要注意熟记：(1)形如m的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如taxby的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题已知两点A(1,0)，B(0,2)，点P是圆(x1)2y21上任意一点，则PAB面积的最大值与最小值分别是()A2，(4) B.(4)，(4)C.，4 D.(2)，(2)答案B解析如图，圆心(1,0)到直线AB：2xy20的距离为d，故圆上的点P到直线AB的距离的最大值是1，最小值是1，又|AB|，故PAB面积的最大值和最小值分别是2，2.题型三与圆有关的轨迹问题例3设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹思维启迪结合图形寻求点P和点M坐标的关系，用相关点法(代入法)解决解如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，故，.从而.N(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24.因此所求轨迹为圆：(x3)2(y4)24，但应除去两点和(点P在直线OM上的情况)思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：直接法：直接根据题目提供的条件列出方程定义法：根据圆、直线等定义列方程几何法：利用圆的几何性质列方程代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等(2013·山东调研)如图所示，已知P(4,0)是圆x2y236内的一点，A，B是圆上两动点，且满足APB90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程解设AB的中点为R，坐标为(x，y)，连接OR，PR，则在RtABP中，|AR|PR|.又R是弦AB的中点，所以在RtOAR中，|AR|2|AO|2|OR|236(x2y2)又|AR|PR|，所以有(x4)2y236(x2y2)，即x2y24x100.因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，点Q即在所求的轨迹上运动设Q(x，y)，R(x1，y1)，因为R是PQ的中点，所以x1，y1，代入方程x2y24x100，得()2()24×100，整理得x2y256，此即为所求顶点Q的轨迹方程利用方程思想求解圆的问题典例：(14分)已知圆x2y2x6ym0和直线x2y30交于P，Q两点，且OPOQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径思维启迪(1)求圆心及半径，关键是求m.(2)利用OPOQ，建立关于m的方程求解(3)利用x1x2y1y20和根与系数的关系或利用圆的几何性质规范解答解方法一将x32y，代入方程x2y2x6ym0，得5y220y12m0.2分设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1、y2满足条件：y1y24，y1y2.4分OPOQ，x1x2y1y20.而x132y1，x232y2.x1x296(y1y2)4y1y2.8分故0，解得m3，12分此时>0，圆心坐标为，半径r.14分方法二如图所示，设弦PQ中点为M，O1MPQ，kO1M2.2分O1M的方程为y32，即y2x4.5分由方程组.解得M的坐标为(1,2)8分则以PQ为直径的圆可设为(x1)2(y2)2r2.OPOQ，点O在以PQ为直径的圆上(01)2(02)2r2，即r25，|MQ|2r2.在RtO1MQ中，|O1Q|2|O1M|2|MQ|2.2(32)25.m3.12分半径为，圆心坐标为.14分方法三设过P、Q的圆系方程为x2y2x6ym(x2y3)0.2分由OPOQ知，点O(0,0)在圆上m30，即m3.5分圆系方程可化为x2y2x6y3x2y30.即x2(1)xy22(3)y0.8分圆心M，又圆心在PQ上2(3)30，1，m3.12分圆心坐标为，半径为.14分温馨提醒(1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算(2)本题中三种解法都是用方程思想求m值，即三种解法围绕“列出m的方程”求m值(3)本题的易错点：不能正确构建关于m的方程，找不到解决问题的突破口，或计算错误.方法与技巧1 确定一个圆的方程，需要三个独立条件“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数2 解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算失误与防范1 求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程2 过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1 设圆的方程是x2y22ax2y(a1)20，若0<a<1，则原点与圆的位置关系是()A原点在圆上 B原点在圆外C原点在圆内 D不确定答案B解析将圆的一般方程化成标准方程为(xa)2(y1)22a，因为0<a<1，所以(0a)2(01)22a(a1)2>0，即>，所以原点在圆外2 若圆x2y22ax3by0的圆心位于第三象限，那么直线xayb0一定不经过()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限答案D解析圆x2y22ax3by0的圆心为，则a<0，b>0.直线yx，k>0，>0，直线不经过第四象限3 圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()Ax2(y2)21 Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21 Dx2(y3)21答案A解析设圆心坐标为(0，b)，则由题意知1，解得b2，故圆的方程为x2(y2)21.4 点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24D(x2)2(y1)21答案A解析设圆上任一点坐标为(x0，y0)，xy4，连线中点坐标为(x，y)，则，代入xy4中得(x2)2(y1)21.5 若直线ax2by20(a>0，b>0)始终平分圆x2y24x2y80的周长，则的最小值为()A1 B5 C4 D32答案D解析由题意知圆心C(2,1)在直线ax2by20上，2a2b20，整理得ab1，()(ab)332 32，当且仅当，即b2，a1时，等号成立的最小值为32.二、填空题6 如果直线l将圆C：(x2)2(y3)213平分，那么坐标原点O到直线l的最大距离为_答案解析由题意，知直线l过圆心C(2，3)，当直线OCl时，坐标原点到直线l的距离最大，|OC|.7 若方程x2y22x2my2m26m90表示圆，则m的取值范围是_；当半径最大时，圆的方程为_答案2<m<4(x1)2(y3)21解析原方程可化为(x1)2(ym)2m26m8，r2m26m8(m2)(m4)>0，2<m<4.当m3时，r最大为1，圆的方程为(x1)2(y3)21.8 已知圆x2y22x4ya0关于直线y2xb成轴对称，则ab的取值范围是_答案(，1)解析圆的方程可化为(x1)2(y2)25a，其圆心为(1,2)，且5a>0，即a<5.又圆关于直线y2xb成轴对称，22b，b4.aba4<1.三、解答题9 一圆经过A(4,2)，B(1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程解设所求圆的方程为x2y2DxEyF0.令y0，得x2DxF0，所以x1x2D.令x0，得y2EyF0，所以y1y2E.由题意知DE2，即DE20.又因为圆过点A、B，所以1644D2EF0.19D3EF0.解组成的方程组得D2，E0，F12.故所求圆的方程为x2y22x120.10已知圆C和直线x6y100相切于点(4，1)，且经过点(9,6)，求圆C的方程解因为圆C和直线x6y100相切于点(4，1)，所以过点(4，1)的直径所在直线的斜率为6，其方程为y16(x4)，即y6x23.又因为圆心在以(4，1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y(x)，即5x7y500上，由解得圆心为(3,5)，所以半径为，故所求圆的方程为(x3)2(y5)237.B组专项能力提升(时间：30分钟)1 (2012·湖北)过点P(1,1)的直线，将圆形区域(x，y)|x2y24分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()Axy20 By10Cxy0 Dx3y40答案A解析当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件圆心O与P点连线的斜率k1，过点P垂直于OP的直线方程为xy20.2 光线从A(1,1)出发，经y轴反射到圆C：x2y210x14y700的最短路程为_答案62解析圆心坐标为C(5,7)，半径为2，A(1,1)关于y轴的对称点为A1(1,1)，最短路程为|A1C|262.3 设P为直线3x4y30上的动点，过点P作圆C：x2y22x2y10的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为_答案解析依题意，圆C：(x1)2(y1)21的圆心是点C(1,1)，半径是1，易知|PC|的最小值等于圆心C(1,1)到直线3x4y30的距离，即2，而四边形PACB的面积等于2SPAC2×(|PA|·|AC|)|PA|·|AC|PA|，因此四边形PACB的面积的最小值是.4 已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆x2y24在区域D内的弧长为_答案解析作出可行域D及圆x2y24，如图所示，图中阴影部分所在圆心角所对的弧长即为所求易知图中两直线的斜率分别为、，得tan ，tan ，tan tan()1，得，得弧长l·R×2(R为圆的半径)5 (2013·课标全国)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的距离为，求圆P的方程解(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.则y22r2，x23r2.y22x23，即y2x21.P点的轨迹方程为y2x21.(2)设P的坐标为(x0，y0)，则，即|x0y0|1.y0x0±1，即y0x0±1.当y0x01时，由yx1得(x01)2x1.r23.圆P的方程为x2(y1)23.当y0x01时，由yx1得(x01)2x1.r23.圆P的方程为x2(y1)23.综上所述，圆P的方程为x2(y±1)23.6 在以O为原点的直角坐标系中，点A(4，3)为OAB的直角顶点，已知|AB|2|OA|，且点B的纵坐标大于0.(1)求的坐标；(2)求圆x26xy22y0关于直线OB对称的圆的方程解(1)设(x，y)，由|AB|2|OA|，·0，得解得或若(6，8)，则yB11与yB>0矛盾所以舍去即(6,8)(2)圆x26xy22y0，即(x3)2(y1)2()2，其圆心为C(3，1)，半径r，(4，3)(6,8)(10,5)，直线OB的方程为yx.设圆心C(3，1)关于直线yx的对称点的坐标为(a，b)，则解得所求的圆的方程为(x1)2(y3)210.
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