资源描述
1已知点A是抛物线C：x22py(p0)上一点，O为坐标原点，若以点M(0,8)为圆心，|OA|的长为半径的圆交抛物线C于A，B两点，且ABO为等边三角形，则p的值是()A.38B2C6D.23【答案】D【解析】由题意知|MA|OA|，所以点A的纵坐标为 4，又ABO为等边三角形，所以点A的横坐标为4 33，又点A是抛物线C上一点，所以1632p4，解得p23.2已知焦点在x轴上的椭圆方程为x24ay2a211，随着a的增大该椭圆的形状()A越接近于圆B越扁C先接近于圆后越扁D先越扁后接近于圆【答案】 D 【解析】 由题意知4aa21且a0， 解得2 3a2 3， 又e21b2a21a214a114a1a.因此当a(2 3，1)时，e越来越大，当a (1,2 3)时，e越来越小，故选 D.3 已知F1，F2分别是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、 右焦点， 对于左支上任意一点P都有|PF2|28a|PF1|(a为实半轴)，则此双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，)B(2,3C(1,3D(1,24抛物线y22px(p0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足AFB120.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则|MN|AB|的最大值为()A.33B1C.2 33D2【答案】A【解析】设AFa，BFb，由余弦定理得|AB|2a2b22abcos 120a2b2ab(ab)2ab(ab)2ab2234(ab)2.abAFBF2MN，|AB|234|2MN|2，|MN|AB|33.5过点A(0,1)作直线，与双曲线x2y291 有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为()A0B2C4D无数【答案】C【解析】过点A(0,1)和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点，这样的直线有两条，过点A(0,1)和双曲线相切的直线只有一个公共点，这样的直线也有两条，故共四条直线与双曲线有且只有一个公共点6椭圆y2x2m21(0m1)上存在点P使得PF1PF2，则m的取值范围是()A.22，1B0，22C.12，1D.0，12【答案】B【解析】当点P是短轴的顶点时F1PF2最大，因此若椭圆上存在点P使得PF1PF2，则F1PF290，所以F2PO45(O是原点)，从而ca22，即 1m212，又 0m1，所以 0m22.7设点P是椭圆x2a2y2b21(ab0)上一点，F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，I为PF1F2的内心，若SIPF1SIPF22SIF1F2，则该椭圆的离心率为()A.12B22C.32D.3128已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32.双曲线x2y21 的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆C的方程为()A.x28y221Bx212y261C.x216y241D.x220y251【答案】D【解析】椭圆的离心率ecaa2b2a32，所以a2b.所以椭圆方程为x24y24b2.因为双曲线x2y21 的渐近线方程为xy0，所以渐近线xy0 与椭圆x24y24b2在第一象限的交点为2 55b，2 55b，所以由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为2 55b2 55b4，所以b25，所以a24b220.所以椭圆C的方程为x220y251.故选 D.9双曲线M：x2y2b21 的左、右焦点分别为F1，F2，记|F1F2|2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|c2，则P点的横坐标为_【答案】312【解析】根据双曲线的定义知|PF1|PF2|2，又|PF1|c2，所以|PF2|c，由勾股定理得(c2)2c24c2，即c22c20，解得c 31，根据OPF2是等边三角形得P点的横坐标为312.10已知F1，F2为x2a2y2161 的左、右焦点，M为椭圆上一点，则MF1F2内切圆的周长等于 3，若满足条件的点M恰好有 2 个，则a2_.11如图 141，F1，F2是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点B，A.若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为_图 141【答案】 7【解析】因为ABF2为等边三角形，由点A是双曲线上的一点知，|F1A|F2A|F1A|AB|F1B|2a，由点B是双曲线上一点知，|BF2|BF1|2a，从而|BF2|4a，由ABF260得F1BF2120，在F1BF2中应用余弦定理得 4c24a216a222a4acos 120，整理得c27a2，则e27，从而e 7.12 设F1，F2是椭圆x2y2b21(0b1)的左、 右焦点， 过F1的直线l交椭圆于A，B两点， 若|AF1|3|F1B|，且AF2x轴，则b2_.【答案】2313 过抛物线y24x焦点F的直线交其于A，B两点，O为坐标原点 若|AF|3， 则AOB的面积为_【答案】3 22【解析】设直线AB的倾斜角为(0)及|BF|m，|AF|3，点A到准线l：x1 的距离为 3，23cos3，即 cos13，则 sin2 23.m2mcos()，m21cos32，AOB的面积为S12|OF|AB|sin121332 2 233 22.14 如图 142， 椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为F， 右顶点、 上顶点分别为点A，B， 且|AB|52|BF|.图 142(1)求椭圆C的离心率；(2)若点M1617，217 在椭圆C内部，过点M的直线l交椭圆C于P，Q两点，M为线段PQ的中点，且OPOQ.求直线l的方程及椭圆C的方程解(1)由已知|AB|52|BF|，即a2b252a，2 分4a24b25a2,4a24(a2c2)5a2，eca32.4 分(2)由(1)知a24b2，椭圆C：x24b2y2b21.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由x214b2y21b21，x224b2y22b21，可得x21x224b2y21y22b20，即x1x2x1x24b2y1y2y1y2b20，即3217x1x24417(y1y2)0，从而kPQy1y2x1x22，6 分直线l的方程为y2172x1617，即 2xy20.8 分由2xy20，x24b2y2b21x24(2x2)24b20，即 17x232x164b20，9 分3221617(b24)0b2 1717，x1x23217，x1x2164b217.OPOQ，OPOQ0，即x1x2y1y20，x1x2(2x12)(2x22)0,5x1x24(x1x2)40，11 分从而5164b2171281740，解得b1，椭圆C的方程为x24y21.12 分15在ABC中，A(1,0)，B(1,0)，若ABC的重心G和垂心H满足GH平行于x轴(G，H不重合)(1)求动点C的轨迹方程；(2)已知O为坐标原点，若直线AC与以O为圆心，以|OH|为半径的圆相切，求此时直线AC的方程依题意可得k21k292k2k496k2k4，10 分即 7k42k290，解得k21，即k1 或1，故所求直线AC的方程为yx1 或yx1.12 分16已知椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，右焦点为F(1，0)(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OMON，求直线l的方程17已知椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，点P1，32 在椭圆E上(1)求椭圆E的方程；(2)过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q(xQ，yQ)(点Q异于点P)，若 0 xQ1，求直线l斜率k的取值范围18已知抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，直线 2xy20 交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)D是抛物线C上的动点，点E(1，3)，若直线AB过焦点F，求|DF|DE|的最小值；(2)是否存在实数p，使|2QAQB|2QAQB|？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由解：(1)因为直线 2xy20 与y轴的交点为(0，2)，所以F(0，2)，则抛物线C的方程为x28y，准线l：y2.设过D作DGl于G，则|DF|DE|DG|DE|，当E，D，G三点共线时，|DF|DE|取最小值为 235.(2)假设存在实数p，满足条件等式成立联立x22py与 2xy20，消去y，得x24px4p0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24p，x1x24p，所以Q(2p，2p)因为|2QAQB|2QAQB|，所以QAQB，则QAQB0.因此(x12p)(x22p)(y12p)(y22p)0.(x12p)(x22p)(2x122p)(2x222p)0，5x1x2(46p)(x1x2)8p28p40，把x1x24p，x1x24p代入得 4p23p10，解得p14或p1(舍去)因此存在实数p14，使得|2QAQB|2QAQB|成立19已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，点Qb，ab在椭圆上，O为坐标原点(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值
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