资源描述
1已知点A是抛物线C:x22py(p0)上一点,O为坐标原点,若以点M(0,8)为圆心,|OA|的长为半径的圆交抛物线C于A,B两点,且ABO为等边三角形,则p的值是()A.38B2C6D.23【答案】D【解析】由题意知|MA|OA|,所以点A的纵坐标为 4,又ABO为等边三角形,所以点A的横坐标为4 33,又点A是抛物线C上一点,所以1632p4,解得p23.2已知焦点在x轴上的椭圆方程为x24ay2a211,随着a的增大该椭圆的形状()A越接近于圆B越扁C先接近于圆后越扁D先越扁后接近于圆【答案】 D 【解析】 由题意知4aa21且a0, 解得2 3a2 3, 又e21b2a21a214a114a1a.因此当a(2 3,1)时,e越来越大,当a (1,2 3)时,e越来越小,故选 D.3 已知F1,F2分别是双曲线x2a2y2b21(a0,b0)的左、 右焦点, 对于左支上任意一点P都有|PF2|28a|PF1|(a为实半轴),则此双曲线的离心率e的取值范围是()A(1,)B(2,3C(1,3D(1,24抛物线y22px(p0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足AFB120.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则|MN|AB|的最大值为()A.33B1C.2 33D2【答案】A【解析】设AFa,BFb,由余弦定理得|AB|2a2b22abcos 120a2b2ab(ab)2ab(ab)2ab2234(ab)2.abAFBF2MN,|AB|234|2MN|2,|MN|AB|33.5过点A(0,1)作直线,与双曲线x2y291 有且只有一个公共点,则符合条件的直线的条数为()A0B2C4D无数【答案】C【解析】过点A(0,1)和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点,这样的直线有两条,过点A(0,1)和双曲线相切的直线只有一个公共点,这样的直线也有两条,故共四条直线与双曲线有且只有一个公共点6椭圆y2x2m21(0m1)上存在点P使得PF1PF2,则m的取值范围是()A.22,1B0,22C.12,1D.0,12【答案】B【解析】当点P是短轴的顶点时F1PF2最大,因此若椭圆上存在点P使得PF1PF2,则F1PF290,所以F2PO45(O是原点),从而ca22,即 1m212,又 0m1,所以 0m22.7设点P是椭圆x2a2y2b21(ab0)上一点,F1,F2分别是椭圆的左,右焦点,I为PF1F2的内心,若SIPF1SIPF22SIF1F2,则该椭圆的离心率为()A.12B22C.32D.3128已知椭圆C:x2a2y2b21(ab0)的离心率为32.双曲线x2y21 的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆C的方程为()A.x28y221Bx212y261C.x216y241D.x220y251【答案】D【解析】椭圆的离心率ecaa2b2a32,所以a2b.所以椭圆方程为x24y24b2.因为双曲线x2y21 的渐近线方程为xy0,所以渐近线xy0 与椭圆x24y24b2在第一象限的交点为2 55b,2 55b,所以由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为2 55b2 55b4,所以b25,所以a24b220.所以椭圆C的方程为x220y251.故选 D.9双曲线M:x2y2b21 的左、右焦点分别为F1,F2,记|F1F2|2c,以坐标原点O为圆心,c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P,若|PF1|c2,则P点的横坐标为_【答案】312【解析】根据双曲线的定义知|PF1|PF2|2,又|PF1|c2,所以|PF2|c,由勾股定理得(c2)2c24c2,即c22c20,解得c 31,根据OPF2是等边三角形得P点的横坐标为312.10已知F1,F2为x2a2y2161 的左、右焦点,M为椭圆上一点,则MF1F2内切圆的周长等于 3,若满足条件的点M恰好有 2 个,则a2_.11如图 141,F1,F2是双曲线x2a2y2b21(a0,b0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点B,A.若ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为_图 141【答案】 7【解析】因为ABF2为等边三角形,由点A是双曲线上的一点知,|F1A|F2A|F1A|AB|F1B|2a,由点B是双曲线上一点知,|BF2|BF1|2a,从而|BF2|4a,由ABF260得F1BF2120,在F1BF2中应用余弦定理得 4c24a216a222a4acos 120,整理得c27a2,则e27,从而e 7.12 设F1,F2是椭圆x2y2b21(0b1)的左、 右焦点, 过F1的直线l交椭圆于A,B两点, 若|AF1|3|F1B|,且AF2x轴,则b2_.【答案】2313 过抛物线y24x焦点F的直线交其于A,B两点,O为坐标原点 若|AF|3, 则AOB的面积为_【答案】3 22【解析】设直线AB的倾斜角为(0)及|BF|m,|AF|3,点A到准线l:x1 的距离为 3,23cos3,即 cos13,则 sin2 23.m2mcos(),m21cos32,AOB的面积为S12|OF|AB|sin121332 2 233 22.14 如图 142, 椭圆C:x2a2y2b21(ab0)的右焦点为F, 右顶点、 上顶点分别为点A,B, 且|AB|52|BF|.图 142(1)求椭圆C的离心率;(2)若点M1617,217 在椭圆C内部,过点M的直线l交椭圆C于P,Q两点,M为线段PQ的中点,且OPOQ.求直线l的方程及椭圆C的方程解(1)由已知|AB|52|BF|,即a2b252a,2 分4a24b25a2,4a24(a2c2)5a2,eca32.4 分(2)由(1)知a24b2,椭圆C:x24b2y2b21.设P(x1,y1),Q(x2,y2),由x214b2y21b21,x224b2y22b21,可得x21x224b2y21y22b20,即x1x2x1x24b2y1y2y1y2b20,即3217x1x24417(y1y2)0,从而kPQy1y2x1x22,6 分直线l的方程为y2172x1617,即 2xy20.8 分由2xy20,x24b2y2b21x24(2x2)24b20,即 17x232x164b20,9 分3221617(b24)0b2 1717,x1x23217,x1x2164b217.OPOQ,OPOQ0,即x1x2y1y20,x1x2(2x12)(2x22)0,5x1x24(x1x2)40,11 分从而5164b2171281740,解得b1,椭圆C的方程为x24y21.12 分15在ABC中,A(1,0),B(1,0),若ABC的重心G和垂心H满足GH平行于x轴(G,H不重合)(1)求动点C的轨迹方程;(2)已知O为坐标原点,若直线AC与以O为圆心,以|OH|为半径的圆相切,求此时直线AC的方程依题意可得k21k292k2k496k2k4,10 分即 7k42k290,解得k21,即k1 或1,故所求直线AC的方程为yx1 或yx1.12 分16已知椭圆E:x2a2y2b21(ab0)的离心率为22,右焦点为F(1,0)(1)求椭圆E的标准方程;(2)设点O为坐标原点,过点F作直线l与椭圆E交于M,N两点,若OMON,求直线l的方程17已知椭圆E:x2a2y2b21(ab0)的离心率为32,点P1,32 在椭圆E上(1)求椭圆E的方程;(2)过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q(xQ,yQ)(点Q异于点P),若 0 xQ1,求直线l斜率k的取值范围18已知抛物线C:x22py(p0)的焦点为F,直线 2xy20 交抛物线C于A,B两点,P是线段AB的中点,过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)D是抛物线C上的动点,点E(1,3),若直线AB过焦点F,求|DF|DE|的最小值;(2)是否存在实数p,使|2QAQB|2QAQB|?若存在,求出p的值;若不存在,说明理由解:(1)因为直线 2xy20 与y轴的交点为(0,2),所以F(0,2),则抛物线C的方程为x28y,准线l:y2.设过D作DGl于G,则|DF|DE|DG|DE|,当E,D,G三点共线时,|DF|DE|取最小值为 235.(2)假设存在实数p,满足条件等式成立联立x22py与 2xy20,消去y,得x24px4p0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x24p,x1x24p,所以Q(2p,2p)因为|2QAQB|2QAQB|,所以QAQB,则QAQB0.因此(x12p)(x22p)(y12p)(y22p)0.(x12p)(x22p)(2x122p)(2x222p)0,5x1x2(46p)(x1x2)8p28p40,把x1x24p,x1x24p代入得 4p23p10,解得p14或p1(舍去)因此存在实数p14,使得|2QAQB|2QAQB|成立19已知椭圆C:x2a2y2b21(ab0)的离心率为22,点Qb,ab在椭圆上,O为坐标原点(1)求椭圆C的方程;(2)已知点P,M,N为椭圆C上的三点,若四边形OPMN为平行四边形,证明四边形OPMN的面积S为定值,并求该定值
展开阅读全文