新编高中数学北师大版选修22教案：第4章 拓展资料：微积分基本定理运用的几点注意

新编数学北师大版精品资料微积分基本定理运用的几点注意用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F(x)=f(x)的函数F(x)，即找到被积函数的原函数，利用求导运算与求原函数运算是互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F(x)。但在求原函数时会遇到困难或计算复杂，下面介绍几种简化求解的方法，供参考。一、先化简，再积分。例1 计算dx解析：=(+2xlnx)|=ln2点评：若被积函数f（x）比较复杂时，应先进行化简，以方便找到被积函数的原函数，再用基本定理求积分。二、先分段，再积分。例2 计算(|x+1|+|1x|)dx解析：由于y=|x+1|+|1x|=原式=+=(x2)|+(2x)|+(x2)|=20点评：这类积分不能直接求解，需要变换被积函数，去掉被积函数的绝对值，应用定积分的可加性，对积分区间分类讨论。三、抓住几何意义例3 计算dx分析：若直接求被积函数y=的原函数比较困难，但由定积分的几何意义知，本题中即求半个单位的面积，故而dx=点评：充分挖掘被积函数的几何事实，正确理解定积分的几何意义，也是解决定积分问题的重要手段之一。四、换元转化例4 计算解析：由于d(sinx)=cosxdx，故而令sinx=t，当x：0时，t：01，则=(t+1)dt=(t2+t)|=。-24点评：通过换元转化，可将复杂的定积分问题转化简单熟悉的问题，达到简化、优化解题的目的。五、改变积分变量例5 求抛物线y2=2x与直线y=x4围成的平面图形的面积。解析：解由y2=2x及y=x4联立所得的方程组得两曲线的交点为(2,2)、(8,4)，若取横坐标x为积分变量，则应对图中阴影部分进行分割，变为两部分面积之和，S=2+=18.若以y为积分变量，则图中阴影部分的面积可根据积分公式求得，即S=(+4yy3)|=18点评：由此可见，在求平面图形面积时，要注意选择适当的积分变量，使计算简便。