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北师大版2019-2020学年数学精品资料导数的几何意义在解题中的应用导数是研究函数增减、函数变化快慢、作曲线切线问题和求函数最值问题的最一般、最有效的工具.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率.下面我们运用导数的几何意义解决具体的函数问题.例1. 已知函数f(x)=x3-3x2+ax,xR,且曲线y=f(x)的切线的斜率的最小值为-1.(1)求a的值；(2)求f(x)在x=1处的切线方程；(3)若直线l过原点，且与曲线y= f(x)相切，求直线l的斜率k的值【思路点拨】首先由“斜率的最小值为-1”求出解析式，再根据切线方程的求法列方程，求出k的值【解】(1)3(x-1)2+a-3切线斜率的最小值为(1)=a-3=-1，a=2,(2)(x)=3x2-6x+2，曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为(1)-1，切线方程为y=-1(x-1)+13-312+21，即y=-x+1.(3)y=x3-3x2+2x，=3x2-6x2直线和曲线均过原点，当原点是切点时，切线斜率k=2,当原点不是切点时，设切点为P(x0,y0)，其中x00,则切线的斜率k=综上所述,k=2或【方法技巧】(1)需要准确理解在已知曲线上某点处的切线的两层含义：一是该点的导数值等于切线的斜率；二是该点坐标满足已知曲线的方程（2)当某点不在曲线上求过此点的切线问题时，要先设出切点坐标，利用导数几何意义表示出切线方程，再把已知点代入切线方程，从而得出所求方程(3)当不能确定曲线上的点(x0,f(x0)是否为切点时，要注意分(x0,f(x0) 是切点和不是切点两种情况进行讨论例2已知函数f(x)=lnx,g(x)=x2+a(a为常数),直线与函数f(x)、g(x)的图象都相切,且与函数f(x)图象的切点的横坐标为1.求直线的方程及a的值.【思路点拨】由直线与函数f(x)切点的横坐标为1,可利用导数求出函数f(x)在该点切线的斜率,利用点斜式求出直线的方程;因为直线与函数g(x)的图象相切,所以与g(x)有且只有一个公共点,此时可将直线代入g(x),通过=0,求出a的值.【解】由f(x)|x=1=1,知kl=1,切点为(1,f(1),即(1,0),所以直线的方程为y=x-1. 直线与y=g(x)的图象相切,等价于方程组只有一解,即方程x2-x+(1+a)=0有两个相等的实根, =1-4(1+a)=0.a=-.【方法技巧】本题通过利用导数来求函数的切线、利用方程的思想判断函数图象与直线的交点问题,考查了学生的应用能力及分析问题、解决问题的能力.
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