新教材高中数学北师大版选修22教案：第4章 典型例题：定积分的两种非常规用法

（新教材）北师大版精品数学资料例谈定积分的两种非常规用法定积分是新课标的新增内容，它不仅为传统的高中数学注入了新鲜血液，还给学生提供了数学建模的新思路、“用数学”的新意识，通常利用定积分可以求平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体体积、变速直线运动的路程及变力作功等。另外，利用定积分也能求物体所受的力、证明不等式。一、求物体所受的力例1.矩形闸门宽a米，高h米垂直放在水中，上沿与水面平齐，则该闸门所受水的压力F等于 （ ） 其中水的密度为kg/m3，g单位是m/s2， A. B. C. D. 解析：建立如图所示坐标系.取x为积分变量，x0，h，（h，）xx+dxOyx任取子区间x，x+dx0，h，闸门所受水的压力F=ps，其中p为压强，s为受力面积，又p=gx，（x为水的深度.），相应一薄层水对闸门的压力近似为：dF= pds=gxds=gx·a dx，于是整个闸门所受水的压力F为：F=，故选A.点评：闸门所受水的压强p是关于水深x的函数,随着x的变化而变化；且闸门的受力面积s也是关于水深x的函数.所以可用分割、近似代替、求和、取极限的方法,即用定积分的定义来求该闸门所受水的压力F.例2. 矩形闸门上沿与水面平齐，且垂直放在水中，过此闸门的中心作水平线将矩形闸门分为面积相等的上下两部分，设上部所受水的压力为F1，下部所受水的压力为F2，则等于 （ ）A. B. C. D. 与矩形的具体尺寸有关解析：由例1知F1 =，F2=，=. 故选B.二、利用积分证明不等式例3.求证1617.证明：可以考虑函数f（x）=在区间k-1，k（k=2，3，80）上的定积分.由，得=1+1+=1+=1+2（）16.917.同理，由，有=2（）=16. 综上所述，即证得1617.