高中数学北师大版选修22教案：第1章 反证法的应用例题解析

2019年北师大版精品数学资料反证法的应用例题解析反证法是一种间接证明的方法，其基本思路是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立。运用反证法的关键是“寻找矛盾”，可以与已知的公理、定义、定理矛盾；与题目的已知条件矛盾；与临时假设矛盾或推出两个互相矛盾的命题。下面结合解题实际,谈一谈什么时侯宜用反证法。一、证明否定型命题时常用反证法例1如果是不全相等的实数，若成等差数列，求证：不成等差数列。证明：假设成等差数列，则由于成等差数列，得那么，即由、得与是不全相等的实数矛盾。故不成等差数列。点评：本题是否定型命题，对于否定型命题的常规论证方法也是用反证法，从否定结论开始，在成等差数列的条件下进行推理，得到又成等比数列，因此，与已知矛盾，从而结论成立。二、正面证明困难时宜用反证法例2求证：方程的解是惟一的.证明：确定方程的解：由对数的定义易得是这个方程的一个解. 证明惟一性：假设这个方程的不是惟一的，它还有另解，则， 又，则，即.， 由假设，得，从而，当时，；当时，.显然，、都与矛盾，这说明假设不成立，方程的解是惟一的.点评：当原命题从证明下手证明较困难时，可不时时机地选择从它的反面证明，有时会起到事半功倍的效果.三、当问题中出现“至多”“至少”时： 例3已知都是正数，试证：关于的三个方程，至少有一个方程有两个不相等的实根。证明：假设三个方程均无不相等的实根，则与都是正数矛盾故三个方程中至少有一个方程有两个不相等的实根点评：“至少”、“至多”型问题的常规证法是反证法；本题首先否定结论，利用方程的根与判别式之间的关系进行推理，最终推出与已知矛盾的结果，从而肯定命题的正确性。借助反证法，整个推理过程顺理成章，试想一下如果不用反证会将如何？四、解决存在型问题时有时可用反证法 例4 已知数列中，a为正实数，（1）若，试求a的取值范围。（2）是否存在正实数a，使对任意恒成立。解（1），（2）不存在正实数a，使对任意恒成立。下面用反证法加以证明。假设存在正实数a，对任意，使恒成立，则，恒成立。 又即故取，即，有，则与矛盾，因此，不存在正实数a，使，对，恒成立。点评：“存在”就是有，证明有或者可以找出一个也行。“不存在”就是没有，找不到。这类问题常用反证法加以认证。“是否存在”的问题，结论有两种：如果存在，找出一个来；如果不存在，需说明理由，这时，通常用反证法。