精编高中数学北师大版选修22教案：第2章 拓展资料：用导数求切线方程的四种类型

精编北师大版数学资料用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为下面例析四种常见的类型及解法类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可例1曲线在点处的切线方程为（）解：由则在点处斜率，故所求的切线方程为，即，因而选类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决例2与直线的平行的抛物线的切线方程是（）解：设为切点，则切点的斜率为由此得到切点故切线方程为，即，故选评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为，代入，得，又因为，得，故选类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法例3 求过曲线上的点的切线方程解：设想为切点，则切线的斜率为切线方程为又知切线过点，把它代入上述方程，得解得，或故所求切线方程为，或，即，或评注：可以发现直线并不以为切点，实际上是经过了点且以为切点的直线这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解例4求过点且与曲线相切的直线方程解：设为切点，则切线的斜率为切线方程为，即又已知切线过点，把它代入上述方程，得解得，即评注：点实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性例5已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程解：曲线方程为，点不在曲线上设切点为，则点的坐标满足因，故切线的方程为点在切线上，则有化简得，解得所以，切点为，切线方程为评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点