精编高中数学北师大版选修22教案：第2章 拓展资料：导数学习需注意的几个关系

精编北师大版数学资料导数学习需注意的几个关系导数是研究函数的有利工具，是高考的重要内容。在导数的学习中理解好下几个关系，将对导数概念的和本质的掌握有极其重要的作用。1、“过某点”和“在某点处“的关系例1过点（-1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为（ ）A 2x+y+2=0 B 3x-y+3=0 C x+y+1=0 D x-y+1=0错解：=2x+1 所以切线的斜率K=故切线方程为即x+y+1=0 点评“在某点处”的切线表明此点是切点，而“过某点”的切线不一定是切点。这里就忽视了二者的区别。正解：设切点坐标是，则切线斜率为k=2x0+1因为切线过点（-1，0）所以即所以所以切点坐标为（0，1）或(-2,3)故切线方程为xy+1=0或3x+y12=0所以应选D2、的关系例2 已知f(x)=,求。错解：因为f(x)=所以f(2)=故=0点评：是导函数，是函数的一个函数值，所以要求应先求正解：因为f(x)=，所以故=3、（）与函数单调性的关系例3（05年湖北）已知向量a=(，x+1)，b= (1-x，t)若函数=ab在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围错解：依定义，若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设0的图象是开口向下的抛物线，当且仅当，且时，在（-1，1）上满足0，即在（-1，1）上是增函数故t的取值范围是t5点评：若0，则在R上是增函数反之不成立。如在R上单调递增，但0所以0是为增函数的充分不必要条件。若为增函数，则0，反之不成立。因为0，即0或=0。当函数在某区间内恒有=0时，为常数，函数不具有单调性。所以，0是为增函数的必要不充分条件。一般地，使=0的离散的点不影响函数在该区上的单调性。如=x+sinx.正解：依定义，若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设0的图象是开口向下的抛物线，当且仅当，且时，在（-1，1）上满足0，即在（-1，1）上是增函数故t的取值范围是t54、与极值点的关系例4 已知函数f(x)=x(xc)2在x=2处有极大值。求c的值。错解：由题意所以=因为函数f(x)=x(xc)2在x=2处有极大值，所以所以c=2或c=6故c的值为2或6。点评：是为极值的必要但不充分条件。判断是不是极值点需要检查根两侧 的符号。如果左正右负，那么是函数的一个极大值；如果左负右正，那么是函数的一个极小值；如果符号相同，那么不是函数的极值。正解：由题意所以=当即或时函数f(x)=x(xc)2可能有极值。当x=2时函数f(x)=x(xc)2有极大值，所以c0.故所以时 0，当时0。所以当时，函数f(x)=x(xc)2有极大值，所以即c=6.5、极值与最值的关系例5 求函数f(x)=sin2xx在上的最大值和最小值。错解：=，令，得=0。解得或当时，0,所以f(x)在是减函数；当时0，所以f(x)是增函数；当时0，所以f(x)是减函数。所以当时，f(x)取最大值；当时，f(x)取最小值。点评：极值是比较极值点附近函数值得出的，并不意味着它在函数的某个区间上最大（小）。因此，同一函数在某一点的极大（小）值，可以比另一点的极小（大）值小（大）；而最值是指闭区间上所有函数值的比较，所以极大（小）值不一定是最大（小）值，最值也不一定是极值。对闭区间上的连续函数，如果在相应的开区间内可导求上最值可简化过程。即直接将极值点与端点的函数值比较，就可判定最大（或最小）的函数值就是最大（或最小）值。正解：=，令，得=0。解得或所以， 又，所以函数f(x) 在上的最大值和最小值分别为。