人教版 高中数学 选修22第二章 推理与证明章末过关检测卷

20192019 年编年编人教版高中数学人教版高中数学高中数学 第二章 推理与证明章末过关检测卷新人教 A 版选修 2-2(测试时间：120 分钟评价分值：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2013开封高二检测)根据偶函数定义可推得“函数f(x)x2在 R 上是偶函数”的推理过程是(C)A归纳推理B类比推理C演绎推理D非以上答案解析：根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选 C.2 余弦函数是偶函数，f(x)cos(x1)是余弦函数， 因此f(x)cos(x1)是偶函数，以上推理(C)A结论正确B大前提不正确C小前提不正确D全不正确解析：f(x)sin(x21)不是正弦函数，所以小前提错误3下面四个推理不是合情推理的是(C)A由圆的性质类比推出球的有关性质B由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是 180，归纳出所有三角形的内角和都是 180C某次考试张军的成绩是 100 分，由此推出全班同学的成绩都是 100 分D蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的解析：A 是类比推理，B、D 是归纳推理，C 不是合情推理4设n为正整数，f(n)112131n，计算得f(2)32，f(4)2，f(6)52，f(8)3，f(10)72，观察上述结果，可推测出一般结论为(C)Af(2n)n22Bf(2n)n22Cf(2n)n22Df(n)n2解析：观察所给不等式，不等式左边是f(2n)，右边是n22，故选 C.5下列推理是归纳推理的是(B)AA，B为定点，动点P满足|PA|PB|2a|AB|，则P点的轨迹为椭圆B由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C由圆x2y2r2的面积pr2，猜想出椭圆x2a2y2b21 的面积SpabD科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以 B 是归纳推理，故应选 B.6对于不等式n2nn1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1 时， 12111，不等式成立；(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即k2kk1，则当nk1 时，（k1）2（k1）k23k2 （k23k2）k2 （k2）2(k1)1，所以nk1 时，不等式成立则上述证法(D)A过程全部正确Bn1 验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1 的推理不正确解析：在nk1 时，没有应用nk时的归纳假设，不是数学归纳法故选 D.7下列推理正确的是(D)A把a(bc)与 loga(xy)类比，则有：loga(xy)logaxlogayB把a(bc)与 sin(xy)类比，则有：sin(xy)sinxsinyC把(ab)n与(ab)n类比，则有：(xy)nxnynD把(ab)c与(xy)z类比，则有：(xy)zx(yz)8用数学归纳法证明 1222(n1)2n2(n1)22212n（2n21）3时，从nk到nk1 时，等式左边应添加的式子是(B)A(k1)22k2B(k1)2k2C(k1)2D.13(k1)2(k1)21解析：nk时，左边1222(k1)2k2(k1)22212，nk1 时，左边1222(k1)2k2(k1)2k2(k1)22212，从nk到nk1，左边应添加的式子为(k1)2k2.9(2015江西省六校高三 3 月联考数学文 11)某同学在纸上画出如下若干个三角形：若依此规律， 得到一系列的三角形， 则在前 2015 个三角形中共有的个数是(C)A64B63C62D61解析：前n个三角形中共有的个数是 123nnn（n3）2，由n（n3）22015，解得n62，选 C.10在ABC中，A、B、C分别为a、b、c边所对的角，若a、b、c成等差数列，则B的范围是(B)A.0，4B.0，3C.0，2D.2，解析：a，b，c成等差数列，ac2b，cosBa2c2b22aca2c2ac222ac3（a2c2）8ac146ac8ac1412.余弦函数在0，2 内单调递减，故 0B3.故选 B.11观察数表：1234第一行2345第二行3456第三行4567第四行第一列第二列第三列第四列根据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为(A)A2n1B2n1Cn21Dn212(2015湖北武汉调研测试)如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字 1 出现在第 1 行；数字 2，3 出现在第 2 行；数字 6，5，4(从左至右)出现在第 3 行；数字 7，8，9，10 出现在第 4 行；依此类推，则按网络运作顺序第n行第 1 个数(如第2 行第 1 个数为 2，第 3 行第 1 个数为 4)是(D)A.n2n12B.n2n12C.n2n22D.n2n22解析：由题意分析可知，第n行总共有n个数字，nN*，第n行中最小的数字为 1(12n1)1n（n1）2n2n22，最大的数字为n2n22n1n2n2，而第n行中第一个出现的数字是行中最小的，即n2n22.二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分；将正确答案填在题中的横线上)13已知x，yR，且xy2，则x，y中至多有一个大于 1，在用反证法证明时，假设应为_解析：“至多有一个大于 1”包括“都不大于 1 和有且仅有一个大于 1”，故其对立面为“x，y都大于 1”答案：x，y都大于 114.223223，338338，44154415，若6ab6ab(a，b均为实数)，请推测a_，b_解析：由 223，338，4415可以求出 3221，8321，15421，所以在 6ab中，a6，ba2162135.答案：63515如图，对大于或等于 2 的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：仿此，52的“分裂”中最大的数是_，53的“分裂”中最小的数是_解析：依题意推知：因此 52的“分裂”中最大的数为 9，53的“分裂”中最小的数为 21.答案：92116设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，_，_，T16T12成等比数列解析：由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关， 因此当等差数列依次每 4 项之和仍成等差数列时， 类比到等比数列为依次每 4 项的积的商成等比数列即T4，T8T4，T12T8，T16T12成等比数列答案：T8T4T12T8三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17(本小题满分 11 分)如图所示，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直证明：假设AC平面SOB，因为直线SO在平面SOB内，所以SOAC，因为SO底面圆O，所以SOAB，因为ABACA，所以SO平面SAB.所以平面SAB底面圆O，这显然与平面SAB与底面圆O相交矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直18(本小题满分 11 分)已知：A，B都是锐角，且AB90，(1tanA)(1tanB)2.求证：AB45.证明：(1tanA)(1tanB)2，展开化简为 tanAtanB1tanAtanB.AB90，tan(AB)tanAtanB1tanAtanB1.又A，B都是锐角，0AB180.AB45.19 (本小题满分 12 分)已知a0，b0， 2cab， 求证：cc2abacc2ab.证明：要证cc2abacc2ab，只需证c2abacc2ab，即证|ac|c2ab，只需证(ac)2(c2ab)2，只需证a22acc2c2ab，即证 2aca2ab，因为a0，所以只需证 2cab.因为 2cab成立所以原不等式成立20(本小题满分 12 分)已知ABC的三边长都是有理数，求证：(1)cosA是有理数；(2)对任意正整数n,cosnA和 sinAsinnA是有理数证明：(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知cosAAB2AC2BC22ABAC是有理数(2)用数学归纳法证明 cosnA和 sinAsinnA都是有理数当n1 时，由(1)知 cosA是有理数，从而有 sinAsinnA1cos2A也是有理数假设当nk(1)时，coskA和 sinAsinkA都是有理数当nk1 时，由 cos(k1)AcosAcoskAsinAsinkA，sinAsin(k1)AsinA(sinAcoskAcosAsinkA)(sinAsinA)coskA(sinAsinkA)cosA，由和归纳假设，知 cos(k1)A和 sinAsin(k1)A都是有理数即当nk1 时，结论成立综合可知，对任意正整数n，cosnA，sinAsinnA是有理数21(本小题满分 12 分)已知a、bR，求证：|a|b|1|a|b|ab|1|ab|.证明： 设f(x)x1x，x0， ) 设x1、x2是0， )上的任意两个实数， 且 0 x1x10，所以f(x2)f(x1)所以f(x)x1x在0，)上是增函数(大前提)由|a|b|ab|0(小前提)知f(|a|b|)f(|ab|)即|a|b|1|a|b|ab|1|ab|成立22(本小题满分 12 分)已知数列an的前n项和Sn满足：Snan21an1，且an0，nN*.(1)求a1，a2，a3；(2)猜想an的通项公式，并用数学归纳法证明解析：(1)a1S1a121a11，即a212a120，an0，a1 31.S2a1a2a221a21，即a222 3a220，a2 5 3.S3a1a2a3a321a31，即 2a232 5a320，a3 7 5.(2)由(1)猜想an 2n1 2n1，nN*.下面用数学归纳法证明：当n1 时，由(1)知a1 31 成立假设nk(kN*)时，ak 2k1 2k1成立当nk1 时，ak1Sk1Skak121ak11ak21ak1ak121ak1 2k1.a2k12 2k1ak120.ak1 2（k1）1 2（k1）1.即当nk1 时猜想也成立综上可知，猜想对一切nN*都成立