人教版 高中数学 选修221.3.4函数与导数综合问题学案

20192019 年编年编人教版高中数学人教版高中数学13.4函数与导数综合问题1能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间2会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值基础梳理1 导数的几何意义： 函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率 也就是说， 曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率是f(x0)，相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2导数与函数的单调性：一般地，设函数yf(x)在某个区间可导，如果f(x)0，则yf(x)为增函数；如果f(x)0，则yf(x)为减函数；如果在某区间内恒有f(x)0，则yf(x)为常函数3 导数与函数的极值点及极值： 曲线在极值点处切线的斜率为 0， 极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正4导数与函数的最值：一般地，在区间a，b上连续的函数yf(x)在a，b上必有最大值与最小值自测自评1曲线yx(3lnx1)在点(1，1)处的切线方程为 4xy302函数y13xx3有(D)A极小值1，极大值 1B极小值 1，极大值 3C极小值2，极大值 2D极小值1，极大值 33设ab，函数y(xa)2(xb)的图象可能是(C)解析：y(xa)(3xa2b)，由y0，得xa或xa2b3，当xa时，y取极大值 0；当xa2b3时，y取极小值且极小值为负当xb时，y0；当xb时，y0，选 C.基础巩固1曲线yx311 在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(C)A9B3C9D15解析：y3x2，y|x13，切线方程为y123(x1)，即y3x9，令x0，得y9.故选 C.2方程 2x36x270 在区间(0，2)内根的个数为(B)A0 个B1 个C2 个D3 个解析：设f(x)2x36x27，则f(x)6x212x，当x(0，2)时，f(x)0，函数f(x)在(0，2)内单调递减又f(0)7，f(2)1，方程在(0，2)内只有 1 个根3若f(x)4x32，则f(x)可能是(C)Af(x)4x42Bf(x)x42Cf(x)x42x1Df(x)4x42x4函数f(x)sinxcosx在x2，2 时，函数的最大值、最小值分别是_解析：f(x)cosxsinx，x2，2 ，令f(x)0，得x4， 又f4 2，f2 1，f2 1，即最大值为 2，最小值为1.答案： 2，1能力提升5若f(x)ax3bx2cxd(a0)在 R 上为减函数，则(D)Ab24ac0Bb0，c0Cb0，c0Db23ac06f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0 对任意正数a、b，若ab，则必有(C)Aaf(a)f(b)Bbf(b)f(a)Caf(b)bf(a)Dbf(a)af(b)解析：设g(x)xf(x)，则由g(x)xf(x)f(x)0，知g(x)在(0，)上递减又 0ab，f(x)0，bf(b)af(a)，af(b)bf(b)af(a)bf(a)当f(x)0 时，f(b)f(a)0，af(b)bf(a)故选 C.7若函数f(x)ax24x3 在0，2上有最大值f(2)，则a的取值范围是_解析：f(x)2ax4，f(x)在0，2上有最大值f(2)，则要求f(x)在0，2上单调递增，则 2ax40 在0，2上恒成立当a0 时，2ax40 恒成立当a0 时，要求4a40 恒成立，即a1，所以a的取值范围是1，)答案：1，)8曲线ye2x1 在点(0，2)处的切线与直线y0 和yx围成的三角形面积是_解析：y2e2x，y|x02，切线方程为y2x2.所围成的三角形的三个顶点为(0，0)，(1，0)，23，23 .S1212313.答案：139函数f(x)x2aln(1x)有两个极值点x1，x2，且x1x2，求a的取值范围为解析：f(x)的定义域为(1，)，f(x)2xa1x(1x)2xa1x2x22xa1x(x1)，由题意知 2x22xa0 在(1，)上有两个不等实根x1，x2且x1x2，令g(x)2x22xa(x1)，故需g120，解之得 0a12.10设函数f(x)exax2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a1，k为整数，且当x0 时，(xk)f(x)x10，求k的最大值解析：(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)exa.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(，)上单调递增若a0，则当x(，lna)时，f(x)0；当x(lna，)时，f(x)0，所以，f(x)在(，lna)上单调递减，在(lna，)上单调递增(2)由于a1，所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故当x0 时，(xk)f(x)x10 等价于kx1ex1x(x0)令g(x)x1ex1x，则g(x)xex1（ex1）21ex（exx2）（ex1）2.由(1)知，函数h(x)exx2 在(0，)上单调递增而h(1)0，h(2)0，所以h(x)在(0，)上存在唯一的零点，故g(x)在(0，)上存在唯一的零点设此零点为a，则a(1，2)当x(0，a)时，g(x)0；当x(a，)时，g(x)0.所以g(x)在(0，)上的最小值为g(a)又由g(a)0，可得 eaa2，所以g(a)a1(2，3)由于式等价于kg(a)，故整数k的最大值为 2.