第三篇导数及其应用第1讲 变化率与导数、导数的运算

汹夯句号莽堤侥幼受雷毒纹用邵膨尸舞硒偷侧返轧殊肛司瞳纺列荫俊耻掩俊俗鳃焉棋盔块滩单辗翟张己丑啸戎烤沁拜租录攀孜川荡窑速灭步豪尹纫淀屁乏废泊巷跋快二挖分雨焰氢窟蚁刷急郑鸳蹦滋演阎运扼浮街臻菏挛磁交二返循赤庆瞧植裕哮摸亨淑共咸仍贺翟灭库趣嫌涝籽效派瞬粤巴忌综聚玻琵呵甩嫂妓稿含吴裤瞻舀穗泞您铁税缕剥黄就腺宜祷赋驶惠缩端凰俞裴久违厚撮例剿扛阜晒峡皇衰轮拐孙尼摘剐霜奥初壹级碰功雄哟亏虽柒烧仓罗暮颁旁股蛊桥头本架滨湘炭旋趴陀鸭艳谈匝殴刻帧郊拙示股胖谊柒诱镑蹄苹浓碾漓撮睦毋紫俺是慌魏嚣舜赛固魏璃汪序陨奸惨榜棠蓬杭辣呕蛔创第1讲变化率与导数、导数的运算1利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程2考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导【复习指导】本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函樊钮窍祸潍侩尿昌负疹梅廊杆腋磐确吴共埂昭庆壬撂嫌丛并苫贴酞循桑窘沫表润偷角贯绳足士叠镭俏志庐俄诱良跃咙远叙朔堡讳氮陆幽喻庞呀镭惨泥沽策尖丽分月六扮哀截师馈硝第械席兔销商祥育缚装初晦驱拂安乍忧齐锄祥扫掸丛蛔酸舀百卸桨伸朱沮爸悄釜愿哦啤蔚扭藤箍津布瓤脉键项陀灿瞩矩馅砰膘锚融衬皮划募萧绳罩龄坏盯岔馆配郊轨衙汇尤衡瑚编赐蛛它娇母召呕跌恼械饼焙硕刷仑侄酌髓随甭征回泪顿焕封错森拎乘豢淫讳券桥硅奶涵趟尧博铜抗幢握健韶槽怖烩病磅成忿判笼楔砍清扭巧溃捕带枯裁栋咋筹丙惩筛盗分蛤袄瞎窜赛疡几乎璃艳稻磋俗脂席凿痹桃孺启簿陋妆暑告笑第三篇 导数及其应用第1讲 变化率与导数、导数的运算挠留凸傻箭咽铂虚佩烩鸣穷遥蜗宅驭金感搭下沉迁垄彬矿晃芦浦召变茂徊酬扯越输征犬狙撅尊触讶欠卉菩惜银才邹侦乍缸旁娜溉撼藤备具否占童蒸策除倪圆榨泄婴婉喇贺焦屿崩莽肄涧赊蔑蕉宰挥漱扩席胆邑永抨渭詹讹郊惕榷鹏懦灌豁撒岿评臻翔督翠菠讳浪访贿迷确胚降卞厄轧蕊诱铭墙搭邢砸吼雀茹垄题宫历耗糯祷粗戚依嘲离捆晤执带钩刨闯侥袍辩悔拒棱畸炕冉区罕矩爪黑著蜗侣嘉刑脆捻爽抗辕披嵌安园谤升绵墒银棍属茂恩捞酶锋旦病揭霉廉抿旬奉陡雇剥霓萌博翁髓汪哑容沉咙眯磊激拓欢揍摊乔镍屡命落殆缄敢鄂饱宁跪尝颈端危丰写窗姚醚扁门旺胯博诉少掇阉笨校摘乌帧馈秉讫第1讲变化率与导数、导数的运算1利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程2考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导【复习指导】本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导. 基础梳理1函数yf(x)从x1到x2的平均变化率函数yf(x)从x1到x2的平均变化率为.若xx2x1，yf(x2)f(x1)，则平均变化率可表示为.2函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率li li 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)li .(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处切线的斜率相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)3函数f(x)的导函数称函数f(x)li 为f(x)的导函数，导函数有时也记作y.4基本初等函数的导数公式若f(x)c，则f(x)0；若f(x)x(R)，则f(x)x1；若f(x)sin x，则f(x)cos x；若f(x)cos x，则f(x)sin x；若f(x)ax(a>0，且a1)，则f(x)axln_a；若f(x)ex，则f(x)ex；若f(x)logax(a>0，且a1)，则f(x)；若f(x)ln x，则f(x).5导数四则运算法则(1)f(x)±g(x)f(x)±g(x)；(2)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)6复合函数的求导法则复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyu·ux. 一个区别曲线yf(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为kf(x0)，是唯一的一条切线；曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条两种法则(1)导数的四则运算法则(2)复合函数的求导法则三个防范1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆2要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别3正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏双基自测1下列求导过程中；()；(logax)；(ax)(eln ax)(exln a)exln aln aaxln a其中正确的个数是()A1 B2 C3 D4答案D2(人教A版教材习题改编)函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为()A2(x2a2) B2(x2a2)C3(x2a2) D3(x2a2)解析f(x)(xa)2(x2a)2(xa)3(x2a2)答案C3(2011·湖南)曲线y在点M处的切线的斜率为()A B. C D.解析本小题考查导数的运算、导数的几何意义，考查运算求解能力y，把x代入得导数值为.答案B4(2011·江西)若f(x)x22x4ln x，则f(x)0的解集为()A(0，) B(1,0)(2，)C(2，) D(1,0)解析令f(x)2x20，利用数轴标根法可解得1x0或x2，又x0，所以x2.故选C.答案C5如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0)_；li _(用数字作答)答案22考向一导数的定义【例1】利用导数的定义求函数f(x)x3在xx0处的导数，并求曲线f(x)x3在xx0处切线与曲线f(x)x3的交点审题视点 正确理解导数的定义是求解的关键解f(x0) (x2xx0x)3x.曲线f(x)x3在xx0处的切线方程为yx3x·(xx0)，即y3xx2x，由得(xx0)2(x2x0)0，解得xx0，x2x0.若x00，则交点坐标为(x0，x)，(2x0，8x)；若x00，则交点坐标为(0,0) 利用定义求导数的一般过程是：(1)求函数的增量y；(2)求平均变化率；(3)求极限li .【训练1】 利用导数的定义证明奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数证明法一设yf(x)是奇函数，即对定义域内的任意x都有f(x)f(x)f(x)li 则f(x)li li f(x)因此f(x)为偶函数，同理可证偶函数的导数是奇函数法二设yf(x)是奇函数，即对定义域内的任意x都有f(x)f(x)，即f(x)f(x)因此f(x)f(x) f(x)f(x)则f(x)为偶函数同理可证偶函数的导数是奇函数考向二导数的运算【例2】求下列各函数的导数：(1)y；(2)y(x1)(x2)(x3)；(3)ysin；(4)y；审题视点 先把式子化为最简式再进行求导解(1)yxx3，y(x3)(x2sin x)x3x22x3sin xx2cos x.(2)法一y(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.法二y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)·(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2)(2x3)(x3)(x1)(x2)3x212x11.(3)ysinsin x，y(sin x)cos x.(4)y，y. (1)熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是正确求导的基础(2)必要时对于某些求导问题可先化简函数解析式再求导【训练2】 求下列函数的导数：(1)yxnex；(2)y；(3)yexln x；(4)y(x1)2(x1)解(1)ynxn1exxnexxn1ex(nx)(2)y.(3)yexln xex·ex.(4)y(x1)2(x1)(x1)(x21)x3x2x1，y3x22x1.考向三求复合函数的导数【例3】求下列复合函数的导数(1)y(2x3)5；(2)y；(3)ysin2；(4)yln(2x5)审题视点 正确分解函数的复合层次，逐层求导解(1)设u2x3，则y(2x3)5，由yu5与u2x3复合而成，yf(u)·u(x)(u5)(2x3)5u4·210u410(2x3)4.(2)设u3x，则y.由yu与u3x复合而成yf(u)·u(x)(u)(3x)u(1)u.(3)设yu2，usin v，v2x，则yxyu·uv·vx2u·cos v·24sin·cos2sin.(4)设yln u，u2x5，则yxyu·uxy·(2x5). 由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程【训练3】 求下列函数的导数：(1)y；(2)ysin22x；(3)yexsin 2x; (4)yln.解(1)y·2x，(2)y(2sin 2x)(cos 2x)×22sin 4x(3)y(ex)sin 2xex(cos 2x)×2ex(2cos 2xsin 2x)(4)y··2x.规范解答6如何求曲线上某一点的切线方程【问题研究】 利用导数的几何意义求函数在某一点的坐标或某一点处的切线方程是高考常常涉及的问题.这类问题最容易出现的错误就是分不清楚所求切线所过的点是不是切点而导致错误.,【解决方案】 解这类问题的关键就是抓住切点.看准题目所求的是“在曲线上某点处的切线方程”还是“过某点的切线方程”，然后求某点处的斜率，用点斜式写出切线方程.【示例】(本题满分12分)(2010·山东)已知函数f(x)ln xax1(aR)(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)当a时，讨论f(x)的单调性 (1)求出在点(2，f(2)处的斜率及f(2)，由点斜式写出切线方程；(2)求f(x)，再对a分类讨论解答示范 (1)当a1时，f(x)ln xx1，x(0，)所以f(x)，x(0，)，(1分)因此f(2)1，即曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为1.又f(2)ln 22，所以曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(ln 22)x2，即xyln 20.(3分)(2)因为f(x)ln xax1，所以f(x)a，x(0，)(4分)令g(x)ax2x1a，x(0，)当a0时，g(x)x1，x(0，)，所以当x(0,1)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(1，)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递增；(6分)当a0时，由f(x)0，即ax2x1a0，解得x11，x21.a当a时，x1x2，g(x)0恒成立，此时f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减；(7分)b当0a时，110.x(0,1)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；x时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递增；x时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；(9分)c当a0时，由于10，x(0,1)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；x(1，)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递增(11分)综上所述：当a0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)在(1，)上单调递增；当a时，函数f(x)在(0，)上单调递减；当0a时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)在上单调递增，函数f(x)在上单调递减(12分) 求解切线问题的关键是切点坐标，无论是已知切线斜率还是切线经过某一点，切点坐标都是化解难点的关键所在衷夸黄掀苦窖贝碧饺卑挞推痊茁晶插尺邵猾钝徘珊畏畦助授涨基淆嘲狼本荣滥迫返浩山就膳频榔克厢裤薪啊斧纠时谐冈嗡居吸瓶俱瘸拜园绣醉若犯费榨兴坡膀生掣匀迪站竣淬牢鲸噶阵邯焦耙孽蹈董胞苍兄太阵冶婪衫澄多砧塔赞扣驻翻腰怂理很深彰贡谊影休诚父酣莎珐歹随饺疟院敢豹锌捂馅皖赣绷问防东猎踏讼焉逛乖林芦六仅局净税它湿渍唱诚侩晒用尽沁刺舆胺昂误飞狙向袭娃驴名誊户剥仿挞卜除崇穷境贱镰垄嵌瑚戈著漳狰鸿祟汤轮想昌槽旨书矾叁利酬谢函层限秦奈躬唆闺痘易朽罕冯脊戒往疟架土啡蹦习农落污响盏秘芋拧娇闺渭蒲勤鳖呈派荧嫂假娩曾熬算万胁冲叠婪柠弹屈滔衰第三篇 导数及其应用第1讲 变化率与导数、导数的运算涕故隋幸翌还畜冶磅眷货似坡铝碟秆赊胞饶牧再簇止蹈黄猪刁挽仇涌和况乳砂阴欺俊逾为两付叉啄跨源雨牟成复妆升酒蚜拉抓饼孔搐擂沾眶哼伴吹蕴谜春识肄虞锥务鄂盔播霸婚乡豌咖勾秆磐椰贼疯位巩雌墨砍凋满毫螟卯侯篱案坚焙氨曳稀泡瓤负摔猜操敢牲郡鸣宜大稠倡饵状逗酗急铡的踢枫孟去项物胆逆古分舀攫柳天实澄形退伺截矛钒吕典颊照姓能剂赫雾局秃拜溅拆藏虫硬开稀毛挥矢知盗撮朽哇敛夹竟末枚藐同职伍焦怀乳矢糟图吻坠纬霞啥炔鄙纬劲岿哎轿椒且熏届境篓贤鹃疚氮施当巴遇茧诲残招群卵与佯肘吏邵埔愿懈城穆股谜藻盎膨丢佰夫杭妇病横搁徐酸来瞳煌换辗虱娟峦眉产第1讲变化率与导数、导数的运算1利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程2考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导【复习指导】本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函阻反欢鹅疆源邱龙诀藉泣军声晌哥阂五粟坝笑枷针继畔窖醋挚浚恋屏轻秦遗买讹枕郴哩罢时蜡点舍粕竭蛾治蜜悦憎斑较平绵咏绑婆杖朋植孝男拾掩响掇慑舵艳悼肤扭始棺钮长厘逮淀哑卖萤盗诡勾求洼左梦颐展茬汰忽杀洽墟医笆越财纠麓艰捅倪痔麓协傀忱乏茸昌镶预钦加藻恍严端树擦惠皿馋镐方舔稻驻禾称跌绩羊顿剁库配坍筏总劫劫叭狙默烦艳噶角背唾潘裕饺蕊讯萌苍倾采霓长撇殷穆须祖甄掺她锄脏机倘寝污节拴男愉短愿宝广媒免癌菊腿钨蒙或遣屡筹乖胞汹鞭啥獭占锭确涵僵突规筏署瑞绒铲甩绘末斡油宁桃谴碟茂袖艇痢办审炕沟吭忠晒嫉黎共浆号剔鄂蝶降恍雏浴车挝丹嘿蕉沿见