毕业论文微积分在高中数学中的应用

毕业论文题 目 微积分在高中数学中的应用 学 院 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学 研究类型 研究综述 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名： 年 月 日论文指导教师签名： 年 月 日微积分在高中数学中的应用宋安康(天水师范学院 数学与统计学院 甘肃 天水 741000)摘 要 微积分是高等数学中应用最广泛的学科之一，应用微积分能快速解决生活中的实际问题，本文主要研究运用微积分解决高中数学中有关极限、导数、微分、不等式等问题中的应用，系统地分析总结出微积分在高考数学中的简便解题方法.关键词 极限； 微积分；应用；高中数学.Applications of the Calculus in Mathmatics in High SchoolSong Ankang(School of Mathmatics and Statistics, Tianshui Normal University, Gansu, China, 741000)Abstract Calculus is one of the most widely-used subjects in mathematics in high school; the application of calculus can help us quickly solve the practical problems in our daily life. This paper mainly studies the application of calculus in solving mathmatics problems, such as limit, derivative and differential, and inequality, in high school, systematically analysising and summerizing some simple and convenient mathmatics problem-solving methods of calculus in high school.Key words limit, calculus, application, Mathmatics in high school.目 录1引言12 极限12.1 函数的极限12.2函数极限的求法23微分.43.1变化率与导数43.2导数的应用44积分164.1积分的概念165综合应用175.1不等式的综合应用175.2用微分中值定理185.3 微积分在高中数学竞赛中的应用205.4微积分在高考中的应用226小结25参考文献26数学与统计学院2013届毕业论文1引言为了描述现实世界中的运动，变化着的现象，在数学中引入函数.刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念，随着对函数研究的不断深化，产生了微积分，它是数学发展史上继欧式几何后又一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑.微积分的创立与处理四类问题直接相关，一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二是求曲线的切线；三是求函数的最大值与最小值；四是求长度，面积，体积和重心等.几百年中，科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰.终于，在17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立的创立了微积分.导数是微积分的核心观念之一，它是研究函数增减，变化快慢，最大（小）值等问题的最一般，最有效的工具，因而也是解决诸如运动速度，物种繁殖率，绿化面积增长率，以及用料最省，利润最大，效率最高等实际问题的最有力的工具，定积分也是微积分核心观念之一，与导数相比，定积分的起源要早的多，它的思想萌芽甚至可以追溯到两千多年前，自然科学和生产实践中的许多问题，如一般平面图形的面积，变速直线运的路程，变力所做的功等都可以归结为定积分的问题，实际上，微积分在物理，化学，生物，天文，地理以及经济各种科学领域中都有非常广泛的应用.在本文中，我们将利用丰富的背景与大量实例，学习导数和定积分的基本概念与思想方法；通过应用导数研究函数性质，解决生活中的最优化问题等实践活动，通过应用定积分解决一些简单的几何和物理问题，初步感受导数和定积分在解决数学问题与时间问题中的作用；通过微积分基本定理的学习，初步体会导数与定积分之间的内在联系，最好的解决了高考中的考点问题.2 极限 极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值（极限值）.2.1 函数的极限定义 设是一个定义在实数上的函数. 是一个给定的实数.是一个数，并且函数在的某个去心邻域上有定义.如果对任意的正实数都存在一个正实数使得对任意的实数只要在点处有定义，并且在的某个一个去心领域中即），就有，那么就称是函数在趋于时的极限.2.2函数极限的求法本节论述几种函数极限的求法.2.2.1约去零因子求极限例1 求极限【说明】表明无限接近，但，所以这一零因子可以约去.解 (传统法) =4. （洛必达）=.2.2.2 分子分母同除求极限 例2 求极限【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求. 解 .【注】(1) 一般分子分母同除的最高次方； (2) 2.2.3 分子(母)有理化求极限例3 求极限 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式.解 .例4 求极限解 .【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键.2.2.4 用洛必达法则求极限例5 求极限说明 或型的极限,可通过洛必达法则来求.解 例6 求解（方法一）= = =0 （方法二） =0（洛必达法则）3微分.3.1变化率与导数一般地，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作=|,即=例7（2009海南）曲线在处的切线方程解 ，则+ 所以|故在点处的切线方程为,即.例8求函数在,+内的平均变化率.解 + = + （+） =4+2所以 =4+2=4+2.3.2导数的应用为了方便，今后我们直接使用下面的基本初等函数的导数公式.3.2.1基本初等函数的导数公式1 若c(c为常数)，则；2 若(Q),则 ;3 若, 则 ;4 若, 则;5 若,则;6 若,则;7 若, 则 ;8 若 , 则 ;3.2.2导数运算法则1 =.2 =g(x).3 = .4 例9 求)的导函数;解 = = =.3.2.3 导数在函数的应用函数是描述描述客观世界规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减，增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的，通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解，科学家们对数量的变化规律进行长期的研究，导致了微积分的创立.1单调性与导数 一般地，函数的单调性与导函数的正负有关. 在某区间内，如果，那么函数在这个区间上单调递增；如果, 那么函数在这个区间上单调递减.求函数单调区间的步骤. (1)确定函数的定义域. (2)求导数 . (3)由（）解出相应的的取值范围，当时，(4)在相应的区间上是减函数；当时，在相应的区间上是增函数2 函数的最值与导数. 利用导数求极值可分为三步.(1)求导数；(2)求方程的根； (3)检验在方程的根的左右两边的符号，确定极值例10 求函数，的极值，最值解 因为，令，得又因为由表中可知，为函数的极小值点，当时，所以在区间上最大值为，最小值为.例11（2007年全国卷）设，其中为正实数. 当时，求的极值点； 若为上的单调函数，求的取值范围.解 对求导得.当时，若，则，解得,可知+0_0+极大值极小值所以，是极小值点，是极大值点.若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合与条件，知 ,在R上恒成立，因此，由此并结合，知.例12（2009江苏文科） 已知是实数，和是函数的两个极值点 求和的值；设函数的导函数，求的极值点；解 由，得,因为和是函数的两个极值点，所以 ，解得. 由得， ，解得. 当时，；当时，, 是的极值点.当或时，所以 不是的极值点. 的极值点是. 【规律方法】在高考中，关于函数极值问题比较常见的题型是已知函数的极值确定字母的取值范围或值例13（2008四川卷理）已知是函数的一个极值点，求解 因为，所以，因此3.2.4导数在方程解的问题上的应用 利用导数判定单调性，可研究方程根的个数问题. 例14（ 2011年湖南理科）已知函数() =，()=+,求函数()=()-()的零点个数，并说明理由；解析由知，而，且，则为的一个零点，且在内有零点，因此至少有两个零点.解 因为，记，则. 当时，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点.又因为，则在内有零点，所以在内有且只有一个零点.记此零点为，则当时，；当时，,所以当时，单调递减，而，则在内无零点；当时，单调递增，则在内至多只有一个零点；从而在内至多只有一个零点.综上所述，有且只有两个零点.例15（2009天津文21）设函数 （2）求函数的单调区间与极值. （3）已知函数有三个互不相同的零点且.若对任意的恒成立，求的取值范围.解（2），令，得到因为，当变化时，的变化情况如下表0 0极小值极大值.函数处取得极大值，且.取得极小值,. (3)由题设,所以方程由两个相异的实根，故，且，解得,因为.若，而，不合题意.,，所以函数的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得.综上，的取值范围是.3.2.5导数在数列中的应用例16 求数列的和(其中)分析 这道题可以用错位相减法求和，但若用导数方法运算会使问题更加简明解 注意到的导数，即，可先求数列的前和当时.， 然后等式两边同时对求导，有.例17已知首项与公差都是正整数的等差数列满足对任意，都有，（1）求数列的前项的和；（2）求数列的最小项分析 这道题第2问可以把数列看成函数，求导得极小值即是所求的项解 因，而 对恒成立，所以,则,故.（2）设,.当1n5时，当时， ，故.3.2.6导数在代数式中的应用用微积分知识证明恒等式的实质是将等式问题转化成函数问题，进而求导证明恒等关系，依据 例18 证明 证 设 .故,又时，从而，因此原题得证3.2.7导数在不等式中的应用利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点其主要思想是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式例19（07年全国一卷理科）设函数证明 的导数；若对所有都有，求的取值范围解 的导数,由于，故（当且仅当时，等号成立）.令，则 . 若，当时，故在上为增函数，所以，时，即 若，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数所以，时，即，与题设相矛盾综上，满足条件的的取值范围是3.2.8生活优化问题举例例20 用长为，宽为的长方形铁皮做一个无盖容器，先在四角分别截取一个小正方形，后把四边翻转度角，在焊接而成，问该容器的为多时 ，容器的容积最大？最大容积是多少？ 解析 利用导数求最值时，建立函数关系式.把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，注意自变量的取值范围.解 设容器高为容器的容积为，则 求导数，得 令,得（舍去） 当时，那么为增函数.当时，那么为减函数. 因此，在定义域内，函数只有当取得时有最大值，其最大值为 . 答 当容器的高为时，容器的容积最大，最大容积为.例21（2011年山东卷）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为千元，半球形部分每平方米建造费用为千元.设该容器的建造费用为千元. 写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；求该容器的建造费用最小值时的. 解 设容器的容积为. 由题意知 ，又，故 由于 ， 因此 .所以建造费用 . 因此 由得，. 由于 ，所以 ，当 时，,令 ，则 , 所以 . 当即时，当时，; 当时，;当时，.所以 c=是函数的极小值点，也是最小值点. 当即,当时，函数单调递减， 所以，是函数的最小值点.综上所述，当时，建造费用最小时.当时，建造费用最小时.【规律方法】再求实际问题中的最大值或最小值时，确定自变量，因变量，建立数关系式，并确定.3.2.9恒成立性问题的应用例22 (2007安徽卷) 设， 令，讨论在内的单调性并求极值. 求证 当时，恒有.解根据求导法则得故于是列表如下0+极小值故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值. 证明 由于是由上表知，对一切从而当所以当 故 ,当例 23（2010浙江卷文科）设函数， 求的单调区间.求所有实数，使对恒成立 解 （1）因为,所以,由于，所以的增区间为，减区间为证明 由题意得，.由知内单调递增， 要使恒成立，只要 , 解得例24（2008安徽文20/22）设函数为实数.若对任意都成立，求实数的取值范围.解 （方法一变量转换，最值控制法） 对任意都成立.即对任意都成立.设，则对任意，为单调递增函数,所以对任意，恒成立的充分必要条件是.即 ，所以， 于是的取值范围是. (方法二变量分离法） 由题设知 对任意都成立.即对任意都成立.于是对任意都成立，即.解得的取值范围是.【点评】 变量分离法可以任何一个变量分离出来，例如本题也可以求出二次方程的根，这样就是将变量x分离出来了，但过程较复杂，不宜在此处选用.4积分微积分的两大部分微分与积分.微分实际上是函数的微小的增量，函数在某一点的导数值乘以自变量以这点为起点的增量，得到的就是函数的微分；它近似等于函数的实际增量（这里主要是针对一元函数而言).而积分是已知一函数的导数，求这一函数.所以，微分与积分互为逆运算.4.1积分的概念设是定义在上的一个函数，是一个确定的实数若对任何给的正数总存在某一正数，使得对的任何分割，以及在其上任意选取的点集，只要，就有.则称函数在区间上可积或黎曼可积；数称为在上的定积分或黎曼积分，记作.其中，称为被积函数，称为积分变量，称为积分区间，、分别称为这个定积分的下限和上限4.2积分简单几何应用连续曲线，轴二直线所围成的曲边梯形的面积例25 求由两条曲线与围成的平面区域的面积。如图解 两条曲线的交点是与，则此区域的面积【规律方法】定积分还可以用来求曲线的弧长、求旋转体的体积，虽然教材不作为教学内容，但可以向学生渗透一些思想5综合应用微积分在求解函数的极值、最值、单调区间等方面都有重要应用，下面来通过几道例题探究5.1不等式的综合应用 例26 设+已知证明证 （方法一）因为由已知, , 即导数的定义是微积分的基础，此题还可运用两个重要极限及变形进行证明. （方法二）由得即 .两端同时取x0 时的极限得 .由重要极限及其变形知.证毕.5.2用微分中值定理定理1（罗尔定理）设函数满足条件：在闭区间上连续；在开区间内可导； ；则在内至少存在一个点，使得 .定理2（拉格朗日中值定理）设函数满足条件在闭区间上连续；在开区间内可导；则在内至少存在一个点，使得 .定理3（柯西中值定理）设函数，满足条件在闭区间上连续；在开区间内均可导且；则在内至少存在一个点，使得=或. 例27 已知, 证明.证 设, 它在（）上连续且可导, 又根据微分中值定理的条件, 有,而,因此,即.例28 - 1,证明 .证 f (z)= ，它在上连续且可导,又 ,根据微分中值定理的条件,有=,而,因此.【规律方法】如果要证明的不等式或将要证明的不等式简单变形后,与微分中值公式的结构有相似性,就可以利用微分中值定理来证明,采用这种方法要注意的是构造一个辅助函数,然后利用公式证明.例29 当 时,证明不等式.证 令函数 ,因为当 时, =, 且 ,所以函数在(0 , + ) 内单调增加,因此0, 即; 设,类似可证明 在区间(0 , + ) 内从开始单调减少,因此当时,有,即. 综上所述,可知 .例30 证明不等式).证构造函数,则 ,.因此,函数在.上是凹函数,由凹函数的定义有 即 ,所以.利用函数的凹凸性来证明不等式就是根据函数凹凸性定义中的不等式关系,即或,构造一个凸函数或凹函数来证明.5.3 微积分在高中数学竞赛中的应用 例31 (浙江省竞赛题)已知函数在（0，1）上是增函数. 求实数a的取值集合A. 当a取A中最小值时，定义数列满足：，且为常数），试比较的大小. 在的条件下，问是否存在正实数C，使对一切恒成立？解 设由题意知 ，且.因故. （解法2 恒成立，求出）. 当a=3时，由题意 以下用数学归纳法证明恒成立.当时，成立；假设n=k时，成立，那么当时，由知.在（0，1）上单调递增，由知对一切都有,而 若存在正实数c，使恒成立.令在上是减函数，故增大而减小，又为递增数列，所以要使恒成立，只须.例32 (全国竞赛题)已知在区间1，1上是增函数. 求实数a的值所组成的集合A. 设关于x的方程的两根为,，试问 是否存在实数m，使得不等式对任意恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由 解 是是增函数 恒成立.设. 是连续函数，且只有当，以及当.由 ,是方程的两实根, 从而 ,要使不等式对任意恒成立，当且仅当恒成立，即对任意恒成立.设则有. 故存在，其范围为.5.4微积分在高考中的应用 例33 已知函数 - .讨论的单调性.求出然后按的取值范围分类，讨论的单调性. 解 的定义域是, 设= ，次方程的判别式.当时，即时对一切，有此时在上是增函数.当，即时，仅对和,对其余的都此时在定义域上也是增函数. 当时，即,方程有两个不同的实根( 0 ) （，） （，） 0 0 单调递增极大单调递减极小单调递增例 34（2008海南、宁夏卷理）由直线，曲线及轴所围图形的面积是（ ）AB C D 解 则此区域的面积，故选D【规律方法】如果平面区域是区间上的两条连续曲线与（相交）及直线所围成的，它的面积为.例35 （09重庆）设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线求的值；若函数，讨论的单调性解 因, 又在处取得极限值，故从而. 由曲线y=在处的切线与直线相互垂直可知,该切线斜率为，即.有,从而,.由知， ,令. 当即当时，在R上恒成立，. 当时，在R上为增函数.当即时，方程有两个不相等实根,.当函数. 当时，故上为减函数,时，故上为增函数.例36（2006年全国卷） 已知函数 设，讨论的单调性； 若对意恒有，求a的取值范围.解的定义域为求导数得.当时，和均大于0，所以为增函数.当在，为增函数.当令,当x变化时，的变化情况如下表+为增函数,为减函数. 当时，由知：对任意恒有 当时，取，则由知 当时，对任意，恒有，得 综上当且仅当时，对任意 恒有6小结微积分在解决数学问题中有更广泛的用途，本文主要归纳了微积分在在解救高中数学那个的几种方法，也需要更全面地探索应用方法高中阶段微积分的应用是体现了数学的价值，既给学生提供了一种新的方法，又给学生提供了一种重要的思想，也为今后进一步学好微积分打下基础相对于对代数和几何等经典内容已经臻于完善的教学研究，微积分的教学研究还不成熟，处于摸索的阶段但也正因为如此，探讨微积分的教学才更有价值和意义.参考文献1 刘绍学，钱佩玲，章建跃等.普通高等课程标准实验教科书数学选修M.北京：人民教育出版社，2005.2 崔树敬.立体设计数学选修M.兰州：甘肃教育出版社，20113 任志鸿，齐玉娟，李波等. 十年高考M. 南方出版社， 2012.4 华东师范大学数学编. 数学分析（第三版上）M. 北京: 高等教育出版社, 20015 陈少真.高等数学基础M.北京:科学出版社,20086 颜松远.微积分学M.北京:清华大学出版社,20087 孙淑玲.应用数学与计算M.北京:清华大学出版社,20048 陈鲁生,沈世镒.五年制高等职业教育教材数学M.北京:科学出版社,2002致谢在经过将近半年的努力后,本毕业论文即将告以尾声,本文从选题到资料的收集以及撰写过程都经过精心地考虑、仔细地查阅和细心的修改.在此,我首先要感谢我的指导教师谢保利老师,不管是论文的选题还是撰写,以及资料的查阅等方面,他都给了我莫大的帮助与启发,尤其是在论文的几次修改过程中,谢老师以他广博的学识、严谨的治学精神和耐心的指导态度才使我的论文顺利完成.再次谨向谢老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.同时,我要对编撰本论文参考文献的所有学术专家和老师致以真挚的谢意,是他们出版的书籍与发表的学术论文给了我很大的启示与指导,才将论文完成.其次,我在即将毕业之前要感谢数学与统计学院所有的老师四年来对我的细心教育与培养,让我在四年的学习生涯中不仅学到了扎实的专业知识,而且他们的言传身教使我受益非浅,他们严谨的治学态度和耐心教导学生的精神也是我永远学习的榜样,并将积极影响着我今后的学习和工作.最后我还要感谢我的学校天水师范学院四年来对我的栽培.27