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高考数学精品复习资料 2019.5 专题一专题一 三角函数与平面向量三角函数与平面向量 建知识网络建知识网络 明内在联系明内在联系 扫一扫，各专题近五年全国考点分布扫一扫，各专题近五年全国考点分布 高考点拨 三角函数与平面向量是高考的高频考点， 常以“两小一大”的形式呈现，两小题主要考查三角函数的图象和性质与平面向量内容，一大题常考查解三角形内容，有时平面向量还与圆锥曲线、线性规划等知识相交汇本专题按照“三角函数问题”“解三角形”“平面向量”三条主线分门别类进行备考 突破点突破点 1 三角函数问题三角函数问题 提炼 1 三角函数的图象问题 (1)函数 yAsin(x)解析式的确定： 利用函数图象的最高点和最低点确定 A，利用周期确定 ，利用图象的某一已知点坐标确定 . (2)三角函数图象的两种常见变换 ysin xysin(x)ysin(x)yAsin(x)ysin xysin(x) 提炼 2 三角函数奇偶性与对称性 (1)yAsin(x)，当 k(kZ)时为奇函数；当 k2(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由 xk2(kZ)求得，对称中心的横坐标可由 xk，(kZ)解得 (2)yAcos(x)，当 k2(kZ)时为奇函数；当 k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由 xk(kZ)求得，对称中心的横坐标可由 xk2(kZ)解得 yAtan(x)，当 k(kZ)时为奇函数；对称中心的横坐标可由 xk2(kZ)解得，无对称轴 提炼 3 三角变换常用技巧 (1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin2cos2tan 45 等 (2)项的分拆与角的配凑：如 sin22cos2(sin2cos2)cos2，() 等 (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次 (4)弦、切互化：一般是切化弦 提炼 4 三角函数最值问题 (1)yasin xbcos xc 型函数的最值：可将 y 转化为 y a2b2sin(x)c其中tan ba的形式，这样通过引入辅助角 可将此类函数的最值问题转化为 y a2b2sin(x)c 的最值问题，然后利用三角函数的图象和性质求解 (2)yasin2xbsin xcos xccos2x 型函数的最值：可利用降幂公式 sin2x1cos 2x2，sin xcos xsin 2x2，cos2x1cos 2x2，将 yasin2xbsin xcos xccos2x转化整理为 yAsin 2xBcos 2xC，这样就可将其转化为(1)的类型来求最值 回访 1 三角函数的图象问题 1(20 xx 全国甲卷)函数 yAsin(x)的部分图象如图 1- 1 所示，则( ) 图 1- 1 Ay2sin2x6 By2sin2x3 C.y2sinx6 Dy2sinx3 A 由图象知T2362，故 T，因此 22.又图象的一个最高点坐标为3，2 ，所以 A2，且 232k2(kZ)，故 2k6(kZ)，结合选项可知 y2sin2x6.故选 A. 2(20 xx 全国乙卷)将函数 y2sin2x6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) Ay2sin2x4 B.y2sin2x3 C.y2sin2x4 D.y2sin2x3 D 函数 y2sin2x6的周期为 ， 将函数 y2sin2x6的图象向右平移14个周期即4个单位长度，所得图象对应的函数为 y2sin2x462sin2x3，故选 D. 回访 2 三角函数的性质问题 3(20 xx 全国甲卷)函数 f(x)cos 2x6cos2x 的最大值为( ) A4 B.5 C.6 D.7 B f(x)cos 2x6cos2x cos 2x6sin x 12sin2x6sin x2sin x322112， 又 sin x1,1，当 sin x1 时，f(x)取得最大值 5.故选 B. 4(20 xx 全国卷)在函数ycos |2x|，y|cos x|，ycos2x6，ytan2x4中，最小正周期为 的所有函数为( ) A B. C. D. C ycos |2x|cos 2x，最小正周期为 ；由图象知 y|cos x|的最小正周期为 ；ycos 2x6的最小正周期 T22；ytan2x4的最小正周期 T2. 5 (20 xx 全国卷)函数 f(x)cos(x)的部分图象如图 1- 2 所示，则 f(x)的单调递减区间为( ) 图 1- 2 A.k14，k34，kZ B.2k14，2k34，kZ C.k14，k34，kZ D.2k14，2k34，kZ D 由图象知，周期 T254142， 22，. 由 1422k，kZ，不妨取 4， f(x)cosx4. 由 2kx42k，kZ，得 2k14x2k34，kZ， f(x)的单调递减区间为2k14，2k34，kZ.故选 D. 回访 3 三角恒等变换 6(20 xx 全国卷)已知 sin 223，则 cos24( ) A.16 B.13 C.12 D.23 A sin 223，cos241cos2 221sin 22123216. 7(20 xx 全国乙卷)已知 是第四象限角，且 sin435，则 tan4_. 43 由题意知 sin435， 是第四象限角，所以 cos40，所以cos41sin2445. tan4tan42 1tan4 cos4sin4453543. 热点题型 1 三角函数的图象问题 题型分析：高考对该热点的考查方式主要体现在以下两方面：一是考查三角函数解析式的求法；二是考查三角函数图象的平移变换，常以选择、填空题的形式考查，难度较低 (1)(20 xx 山西四校联考)将函数 y 3cos xsin x(xR)的图象向左平移 m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是( ) A.6 B.12 C.3 D.56 (2)(20 xx 衡水中学四调)已知 A， B， C， D 是函数 ysin(x)0，02一个周期内的图象上的四个点，如图 1- 3 所示，A6，0 ，B 为 y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该图象的一个对称中心，B 与 D 关于点 E 对称，CD在 x 轴上的投影为12，则( ) 图 1- 3 A2，3 B.2，6 C.12，3 D.12，6 (1)A (2)A (1)设 f(x) 3cos xsin x232cos x12sin x 2sin3x ，向左平移 m 个单位长度得 g(x)2sinxm3.g(x)的图象关于 y 轴对称，g(x)为偶函数，3m2k(kZ)， m6k(kZ)，又 m0，m 的最小值为6. (2)由题意可知T46124，T，22.又 sin26 0,02，3，故选 A. 1函数 yAsin(x)的解析式的确定 (1)A 由最值确定，A最大值最小值2； (2) 由周期确定； (3) 由图象上的特殊点确定 提醒：根据“五点法”中的零点求 时，一般先依据图象的升降分清零点的类型 2在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量 x 而言的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向 变式训练 1 (1)为了得到函数 ysin2x6的图象，可以将函数 ycos 2x 的图象( ) 【导学号：859520 xx】 A向右平移6个单位长度 B向右平移3个单位长度 C.向左平移6个单位长度 D向左平移3个单位长度 (2)(20 xx 江西八校联考)函数 f(x)Asin x(A0，0)的部分图象如图 1- 4 所示，则 f(1)f(2)f(3)f(2 016)的值为( ) 图 1- 4 A0 B.3 2 C.6 2 D. 2 (1)B (2)A (1)ycos 2xsin2x2， ycos 2x 的图象向右平移3个单位长度， 得 ysin2x32sin2x6的图象 故选 B. (2)由题图可得，A2，T8，28，4， f(x)2sin4x. f(1) 2，f(2)2，f(3) 2，f(4)0，f(5) 2，f(6)2，f(7) 2，f(8)0， 而 2 0168252， f(1)f(2)f(2 016)0. 热点题型 2 三角函数的性质问题 题型分析：三角函数的性质涉及周期性、单调性以及最值、对称性等，是高考的重要命题点之一，常与三角恒等变换交汇命题，难度中等 (20 xx 天津高考)已知函数 f(x)4tan x sin2x cosx3 3. (1)求 f(x)的定义域与最小正周期； (2)讨论 f(x)在区间4，4上的单调性 解 (1)f(x)的定义域为x x2k，kZ.1 分 f(x)4tan xcos xcosx3 3 4sin xcosx3 3 4sin x12cos x32sin x 3 2sin xcos x2 3sin2x 3 sin 2x 3(1cos 2x) 3 sin 2x 3cos 2x2sin2x3.4 分 所以 f(x)的最小正周期 T22.6 分 (2)令 z2x3，则函数 y2sin z 的单调递增区间是22k，22k ，kZ. 由22k2x322k， 得12kx512k，kZ.8 分 设 A4，4，Bx12kx512k，kZ ，易知 AB12，4.10 分 所以当 x4，4时， f(x)在区间12，4上单调递增， 在区间4，12上单调递减.12 分 研究函数 yAsin(x)的性质的“两种”意识 1转化意识：利用三角恒等变换把待求函数化成 yAsin(x)B 的形式 2整体意识：类比于研究 ysin x 的性质，只需将 yAsin(x)中的“x”看成 ysin x 中的“x”代入求解便可 变式训练 2 (1)(名师押题)已知函数 f(x)2sin2x6，把函数 f(x)的图象沿 x轴向左平移6个单位， 得到函数 g(x)的图象 关于函数 g(x)， 下列说法正确的是( ) A在4，2上是增函数 B其图象关于直线 x4对称 C.函数 g(x)是奇函数 D当 x6，23 时，函数 g(x)的值域是2,1 (2)已知函数 f(x)2sin(2x)(|)， 若5，58是 f(x)的一个单调递增区间，则 的取值范围为( ) 【导学号：859520 xx】 A.310，910 B.910，44 C.10，4 D.，1034， (1)D (2)C (1)因为 f(x)2sin2x6，把函数 f(x)的图象沿 x 轴向左平移6个单位，得 g(x)fx62sin2x662sin2x22cos 2x. 对于 A，由 x4，2可知 2x2， ，故 g(x)在4，2上是减函数，故 A 错；又 g42cos20， 故 x4不是 g(x)的对称轴， 故 B 错； 又 g(x)2cos 2xg(x)，故 C 错；又当 x6，23时，2x3，43，故 g(x)的值域为2,1，D 正确 (2)令 2k22x2k32，kZ， 所以 k42xk342，kZ， 所以函数 f(x)在k42，k342上单调递增 因为5，58是 f(x)的一个单调递增区间， 所以58k342，且 k425，kZ， 解得 2k102k4，kZ，又|，所以104.故选 C. 热点题型 3 三角恒等变换 题型分析：高考对该热点的考查方式主要体现在以下两个方面：一是直接利用和、差、倍、半角公式对三角函数式化简求值；二是以三角恒等变换为载体，考查yAsin(x)的有关性质 (1)(20 xx 江西八校联考)如图 1- 5，圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A，点C，B 在圆 O 上，且点 C 位于第一象限，点 B 的坐标为1213，513，AOC，若|BC|1，则 3cos22sin2cos 232的值为_ 图 1- 5 (2)已知函数 f(x)sin25x6cos25x62 3sin5x6 cos5x6 的图象经过点4，0 ，则函数 f(x)在区间0，310上的最大值为_ (1)513 (2) 3 2 (1)由题意可知|OB|BC|1，OBC 为正三角形 由三角函数的定义可知，sinAOBsin3 513， 3cos22sin2cos23231cos 2sin 23232cos 12sin sin3 513. (2)f(x)sin25x6cos25x62 3sin5x6 cos 5x6cos5x3 3sin5x32sin5x36. 由 f(x)的图象过点4，0 ， 得 2sin53462sin4 2，故 f(x)2sin53x6 2. 因为 0 x310，所以65x363. 因为 ysin x 在6，3上单调递增， 所以 f(x)的最大值为 f3102sin3 2 3 2. 1解决三角函数式的化简求值要坚持“三看”原则：一看“角”，通过看角之间的差别与联系， 把角进行合理的拆分； 二是“函数名称”， 是需进行“切化弦”还是“弦化切”等，从而确定使用的公式；三看“结构特征”，了解变式或化简的方向 2在研究形如 f(x)asin xbcos x 的函数的性质时，通常利用辅助角公式asin xbcos xa2b2 sin(x)把函数 f(x)化为 Asin(x)的形式， 通过对函数 yAsin(x)性质的研究得到 f(x)asin xbcos x 的性质 变式训练 3 (1)(20 xx 全国卷)设 0，2，0，2，且 tan 1sin cos ，则( ) A32 B.22 C.32 D.22 (2)已知 sin3sin 4 35，20，则 cos23等于( ) A45 B.35 C.45 D.35 (1)B (2)C (1)法一： 由 tan 1sin cos 得sin cos 1sin cos ， 即 sin cos cos cos sin ， sin()cos sin2 . 0，2，0，2， 2，2，20，2， 由 sin()sin2 ，得 2， 22. 法二：tan 1sin cos 1cos2sin2 2cos2422sin42cos42 cot42 tan242 tan42， k42，kZ， 22k2，kZ. 当 k0 时，满足 22， 故选 B. (2)sin3sin 4 35，20， 32sin 32cos 4 35， 32sin 12cos 45， cos23cos cos 23sin sin 23 12cos 32sin 45.
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