高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布第4讲离散型随机变量及其分布列练习理北师大版

1 第第 4 4 讲讲 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列 一、选择题 1.某射手射击所得环数X的分布列为 X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 则此射手“射击一次命中环数大于 7”的概率为( ) A.0.28 B.0.88 C.0.79 D.0.51 解析 P(X7)P(X8)P(X9)P(X10) 0.280.290.220.79. 答案 C 2.设X是一个离散型随机变量，其分布列为： X 1 0 1 P 13 23q q2 则q的值为( ) A.1 B.32336 C.32336 D.32336 解析 由分布列的性质知23q0，q20，1323qq21， 解得q32336. 答案 C 3.设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量X去描述 1 次试验的成功次数，则P(X0)等于( ) A.0 B.12 C.13 D.23 解析 由已知得X的所有可能取值为 0，1， 且P(X1)2P(X0)，由P(X1)P(X0)1， 得P(X0)13. 答案 C 4.袋中装有 10 个红球、5 个黑球.每次随机抽取 1 个球后，若取得黑球则另换 1 个红球放回 2 袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为，则表示“放回 5 个红球”事件的是( ) A.4 B.5 C.6 D.5 解析 “放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故6. 答案 C 5.从装有 3 个白球、4 个红球的箱子中，随机取出了 3 个球，恰好是 2 个白球、1 个红球的概率是( ) A.435 B.635 C.1235 D.36343 解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为PC23C14C371235. 答案 C 二、填空题 6.设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 M 若随机变量Y|X2|，则P(Y2)_. 解析 由分布列的性质，知 0.20.10.10.3m1，m0.3. 由Y2，即|X2|2，得X4 或X0， P(Y2)P(X4 或X0) P(X4)P(X0) 0.30.20.5. 答案 0.5 7. (2017九江调研)袋中有 4 只红球 3 只黑球，从袋中任取 4 只球，取到 1 只红球得 1 分，取到 1 只黑球得 3 分，设得分为随机变量X，则P(X6)_. 解析 P(X6)P(取到 3 只红球 1 只黑球)P(取到 4 只红球)C34C13C47C44C471335. 答案 1335 8.在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数的分布列为_. 解析 的所有可能值为 0，1，2. 3 P(0)C11C11C12C1214， P(1)C11C112C12C1212， P(2)C11C11C12C1214. 的分布列为 0 1 2 P 14 12 14 答案 0 1 2 P 14 12 14 三、解答题 9.(2017合肥模拟)某高校一专业在一次自主招生中，对 20 名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表： 由于部分数据丢失，只知道从这 20 名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25. (1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取 2 名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率； (2)从参加测试的 20 名学生中任意抽取 2 名， 设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X，求随机变量X的分布列. 解 (1)用A表示“从这 20 名参加测试的学生中随机抽取一人， 抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”， 语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有(6n)名， P(A)6n2025，解得n2，m4， 4 用B表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取 2 名， 其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生”， P(B)1C26C29712. (2)随机变量X的可能取值为 0，1，2. 20 名学生中，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数共有 8 名， P(X0)C212C2203395， P(X1)C18C112C2204895， P(X2)C28C2201495， X的分布列为 X 0 1 2 P 3395 4895 1495 10.某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满 300 元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下： 奖盒中放有除颜色外完全相同的 1 个红球，1 个黄球，1 个白球和 1 个黑球.顾客不放回地每次摸出 1 个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励 10 元，摸到白球或黄球奖励 5 元，摸到黑球不奖励. (1)求 1 名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率； (2)记X为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额，随机变量X的分布列. 解 (1)设“1 名顾客摸球 3 次停止摸奖”为事件A， 则P(A)A23A3414， 故 1 名顾客摸球 3 次停止摸球的概率为14. (2)随机变量X的所有取值为 0，5，10，15，20. P(X0)14，P(X5)2A2416，P(X10)1A24A22A3416，P(X15)C12A22A3416， P(X20)A33A4414. 所以，随机变量X的分布列为 X 0 5 10 15 20 P 14 16 16 16 14 5 11.随机变量X的分布列如下： X 1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列，则P(|X|1)等于( ) A.16 B.13 C.12 D.23 解析 a，b，c成等差数列，2bac.又abc1，b13， P(|X|1)ac23. 答案 D 12.若随机变量X的分布列为 X 2 1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当P(Xa)0.8 时，实数a的取值范围是( ) A.(，2 B.1，2 C.(1，2 D.(1，2) 解析 由随机变量X的分布列知：P(X1)0.1，P(X0)0.3，P(X1)0.5，P(X2)0.8，则当P(Xa)0.8 时，实数a的取值范围是(1，2. 答案 C 13.(2017石家庄调研)为检测某产品的质量，现抽取 5 件产品，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)，测量数据如下： 编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y 75 80 77 70 81 如果产品中的微量元素x，y满足x175 且y75 时，该产品为优等品. 现从上述 5 件产品中， 随机抽取 2 件， 则抽取的 2 件产品中优等品数X的分布列为_. 解析 5 件抽测品中有 2 件优等品，则X的可能取值为 0，1，2.P(X0)C23C250.3， P(X1)C13C12C250.6， P(X2)C22C250.1. 优等品数X的分布列为 X 0 1 2 6 P 0.3 0.6 0.1 答案 X 0 1 2 P 0.3 0.6 0.1 14.盒内有大小相同的 9 个球，其中 2 个红色球，3 个白色球，4 个黑色球.规定取出 1 个红色球得 1 分，取出 1 个白色球得 0 分，取出 1 个黑色球得1 分.现从盒内任取 3 个球. (1)求取出的 3 个球中至少有 1 个红球的概率； (2)求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率； (3)设X为取出的 3 个球中白色球的个数，求X的分布列. 解 (1)P1C37C39712. (2)记“取出 1 个红色球， 2 个白色球”为事件B， “取出 2 个红色球， 1 个黑色球”为事件C，则P(BC)P(B)P(C)C12C23C39C22C14C39542. (3)X可能的取值为 0，1，2，3，X服从超几何分布，所以 P(Xk)Ck3C3k6C39，k0，1，2，3. 故P(X0)C36C39521，P(X1)C13C26C391528， P(X2)C23C16C39314，P(X3)C33C39184. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 521 1528 314 184