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习题9-1多元函数的基本概念1 .求下列各函数的定义域：x z ln(y x)+22 ;1 x yKi，*) 6一 工 。，工 0,H? + J V 1.z u arccos ,22x y(zijFfc) lx* +y* x*0,l2 +必 K Oh2 .求下列各极限：(1) lim 2 不；(x,y) (0,0) xylim2-S4 = lim 4 /+力-(J,蔺-Xy-*O.Q)( 2 +yj;y + 4 )-1 1mom 2+ 44(2)(xJG)xy2=exy124lim 一斗= lim 1 (/2+1) =1*2 = ZRaio.g/Z 2 11 - limta.(x,y) (2,0) ylim型g=lim里区也r=1 * 2 = 2.(4)lim(xy22x y )e/ 22、(x y )令ux2 y2 ,原式uimA 1 uimeu令t & y2 ,则原式limt 0t sintt3limt 01 cost3t21 2 - xlimt 0 3t2习题9-2偏导数1 .求下列函数的偏导数：2 ,、(1) z sin(xy) cos (xy)；斐 =3?cos(jty) + 2cos(空) 一 ) y ox=yco 式功)-sin(2到)1T =tcos(j) + 2cos(j ) sin(中),工 dy工cos(qy) sin(2jry). z (1 xy)y；=y(i +巧尸，=如F = a+q)叫a+科+痒手.u arctan(x y)z.弛ax包心西az式h -y尸1 + (上一次产 江工一；y)i_ + Q_y 声， 二3产。0: 1 _y)2(4)设z L xy ,其中3xu可导，证明 x + (x - 1y产 222.求下列函数的 一z , -z和 x y x y - y2 xy - xy_ zyz 2y解 一一7 y xy ,x xyx3x2y 3x左边 x2 xy 222 y4、4一 x y xy y xy x xy 右边33xy32z“、，y(1) z arctan；慧=能(一/一2xyJa/ (xz +y )z*匹=一办1 +i(f1 _ H工 x2 +y2t dy2fc=(-+?)=-(塔士/) - V _ /一/*=y4n ?，找二旷 1口句，dxd工= k 俳=hT)尸，y)=广| (1 +Hn y).Xdy dy习题9-3全微分1.求下列函数的全微分:y(1) z e%dz3工丁1 jtp_r . pj/ dy 工djr =于(jdx 一 工dy).yzX)因为券=产工1=包K1n3*哭=A* &1.du =翌dr +票* + 架d% =产r尸心:+ 辽尹 In xdy +In 工dw.dj dy dz(3)y yzx sin e2dudx(4)1,- y1 -cos21 cos 2yz zezedytan . x2 y2 z2xsec、x, x2yz u yz，yeyzye dz,所求的全微分为22y z2z2222y sec .x y z222，x y zduz2.-2sec x2 -222zsec x y z2y z22y z xdx ydy zdz22y z2 .求函数z 丫，当x 2, y 1, x 0.1 , y 0.2时的全增量和全微分。 x解 Ah = ?1y 3,d=一4 &r+ 工十ir XTI全增量八 一 1 + (- 0.2)工-2 + (X1y =一 0. 1191全微分加=1 O. l +5 (-0.2) =-0. 125. j1z3.设 f x, y, z求df1,1,11,1,11,1,1故 dfzyx ln y1 2 z1,1,11,1,1 dxdy习题9-4多元复合函数的求导法则1.设2xulnv,而u ,v 3x 2yy翌=”萼+”%=2而口工+23 dx 3u dx dv dxy v= 2y) +dz3z du 3-v * *- -4-,dydu 3y 3v dy(一 2)2.设=一号In(阻一 2八一z arcsin(x y),而 x 3t , y 4t3,求一. dtU Ar = 0, I, Ay =。. 2 时1解女=店电十善卡dia 工出 2y dt=1_ 3 %1),2八一(金一犷 /-O-W=2(1。)一/1一(37一 3?5reax( y z)du3 .设 u 2r-，而 y a sin x , z cos x ,求一.a2 1dx但也二包+包*!*西,亚dz dx By c?z dr=口片!工 i ，+ * a cos x + (- 1) , _ sin 上)/ +1 a2 +11 + 1nr+= ,-(/ sin 工 一 acos x 十 a cos x + sin jr)a3 + 1=esin .4 .求函数u f (x, xy, xyz)的一阶偏导数(其中 f具有一阶连续偏导数)dutadu石包az将中间变量处巧，到之依次编为】，2,3号，则= /；】 + ；+/；、/=/；+”；+ 广f；，=fz -工+ f； - a=Hf；+W；,=f; ,4=孙、一一 y, 一一一 一 、一 z z5 .设z xy xF(u),而u ，F(u)为可导函数，证明 x y一 z xy . xx y证H装+靖=T + F(n)+xF)阳+如+卡3嚼=+ F(&) Ff (u) + y_x + F ()=工、十工F(v)+工y = z + j：y, 故等式成立.2226 .设z f (x2 y2),其中f具有二阶导数，求 一2, , -2 .x x y y解令=/ 则 2 = /（u）.记，=，（我3, = /Xu）=r（u）g = 2xA奇=八哨= 2”，/=2尸+2息=2/ + 4八最=24噌=5,募=2, + 2/嚼=2/ + 4/A习题9-5隐函数的求导公式1 .设 ln x2 y2 arctan,求 x dx解 设网上,=ln/?TF rmn，则一阶偏导数分别为F = _2红L , /_）= 工 + 一* /+/ 2/?+7 + （） 川/ +尸F = 一. J* & 1. =3 +/2/x2+y+（工工工+产当F,声。时，有击=一及二一工 + / y - M =工_士 dr Fy j；z +y/x2 A-y2- yxzz 一 z2 .设一ln ,求及一.zyx y解 令F(H*wa：) =匹 In三,则 * y3 .设 (u,v)具有连续偏导数，证明由方程(cx az,cy bz) 0所确定白函数z f(x,y)满足a b c.x y证 令 M -农,0=。一屋则内=我,龟=由卵+共*患 =_ afu 阳”故当屯r。时，有窘=一衰血1f + 6 中 u于是+ = a -1-6 -近 3y 口虱十方中v 也6十8丸4 .求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数:(1)x y z 0 dx dy222) 刁 ).x y z 1 dz dz所给方程组确定两个一元隐函数：工=工（切和y=5（w），将所给方程的 两端分别对之求导并移项，得也+或=_ 1.d七 d之卜会+ 2理一 2z.当D=；=2（y1）力。时*解方程组得一1 1dx _ I - 2，2* 2y + 2 jyj- zdz D 2（y xy 工一1 1dy _ 2工一2生.2+_2再 _ 工jrdzD2（* 工）jc y2uvx0uuvv，求,uvy0xyxy解方程组两边分别对x, y求偏导数得2uv2v 0U 2vv,x 1 4uv x11 4uv2uu 1 v 2uv2v 1, y 1 4uv y 1 4uv习题9-6多元函数微分学的几何应用1 .求曲线r f（t） （t sint）i （1 cost） j （4sin ；）k在与b 万相应的点处的切线及 法平面方程。解 与无=相应的点为（3一 1J,2）,曲线在该点处的切向量为T*Z（）=（bh72），于是所求切线方程为工一（3-1） =. =.2 丁 t 1法平面方程为1 （盅一m +1）+1（）1）+花（胃2遮）=o,即1 + 3 +涯惠=年+ 4.222.求曲线y 2mx , z m x在点（刈，y0, Z0）处的切线及法平面万程。解 设曲线的参数方程中的参数为了,将方程丁 =2加和两端 分别对m求导，得与器=2m,2第二一 1，即会=?老=一七所以曲线在点（通.州，说）的切向量为T= （1募一总于是在点,加，知）处的切线方程为法平面方程为（工一工0）+,（y 一找）一上（? 沏） = 0.2x3 .求曲线2x2y3y5z3x 0,在点（1,1,1）处的切线及法平面方程。4 0解法一为了求案今，在所给方程两端分别对H求导，得笈+ 2沙半+设牛一3 = 0,dx 业12-3唉+5半=0.I dr dz2? % + 2零M=-2工 + 33半一 5半=2.J： QI当D= 了 * =-10j-6e0时解方程组得3-o 1d y _ 工 | 2工 + 3dr D |2dz _ 1 2-2工+ 3 = j： + 4, 9dr ) 32- I0y 6z *ua.i卷副 =一上于是在点（1,1,1）处的切线方程为工一1 一y 1 _ 工19T .16161 _ y1 = ? 116 一 9 - T法平面方程为即(工一_)+* 1) 9L 1)=0,io1016工 + 9y 一工一24 0.解法二所求曲线的切线，也就是曲面7 +/ +/ 3=。在点（1J*1）处 的切平面与平面氏一3y+5胃=4的交线，利用曲面的切平面方程得所求切线为一(工一l)+2(y - 1)+2(上一1) = 0t 2工一3y+ 5耳=4.即J -工+ 2*+2/=3,12x 3y + 5? = 4.这切线的方向向量为16,9,1),于是所求法平面方程为16(工一1) + 9(j?- 1) (X 1 = 0, 即16工 + 9y =-24 = 0*2224.求椭球面x 2y z 1上平仃于平面x y 2z 0的切平面万程。解 设尸（石了道）=3+2；/+/1,则曲面在点（工,火工）处的一个法向垃 ”=（6,&于1）=（2皿幻,灰）.已知平面的法向盘为（1, - 1.2）,由已知平面与 所求切平面平行，得区=反=在即1=JL =一工之1 -1 2,即2 04 *代人椭球面方程得传）+2（+- = L解得定=士则工=知旨尸=不去信所以切点为（士 JJ，干女/S，士湍，所求切平面方程为-卜干/漏）+2（= 士即工一y + 2t=J.x 3y z 9 0 ,并写出这法线5.在曲面z xy上求一点，使这点处的法线垂直于平面方程.解 设所求点为 030,20，Zx y , Zy x,法向量 n （Zx,Zy, 1） （y0,x0, 1）,由题意知也包二，得x3, y1, Z03131法线方程：1 上 一131习题9-7方向导数与梯度1 .求函数z x2 y2在点（1,2）处沿从点（1,2）到点（2,2 J3）的方向的方向导数。解 按题意，方向1=（1出=（1将）.又靠=2畸=2%乳尸2,乳丁磊故豹仙=2 ,景4写=1 + 2忘2 .求函数u xyZ在点（5,1,2）处沿从点（5,1,2）到点（9,4,14）的方向的方向导数。按题意，方向8（4,3/2）瞰=佶福!|）.3u获=如3u _ du _票 =2,孕 =10,汩 =5,dX (54,3 aydz (S,k2)加 =2* 4-10-+5* =23.求函数u x y z在球面x况俎2*13十 13十 1313”y2 z2 1上点（x0, y0,z0）处，沿球面在该点的外法线方向的方向导数。解 设FG3/）=J+y+/ 一】，则兄=2工,科=2山兄=氏,于是球面 在（金,办，沏）处的外法线方向向量可取为F=（Fh*B，Fh）=（ 2画2m，2的），Ufa岫沟）I的方向余弦为、工；.,cos 8 = cos y = , Zdde +与+谥T + M+舄/曷+式+麻故 冬=律8&方+票COS.+半CQ!i y)3113Hm了Lf 5例，啥=1 .t+1 . _ _ g r + 1 -:+端d+抬+舄二上0+事口+的 熹+一中=6+” +*，2224.设 f(x,y,z) x 2y 3z xy 3x 2y 6z ,求 grad f (0,0,0)及 grad f (1,1,1).解 grad/a,y,k)=/+/J+/rk=(2工+3期+(43+工-2)J +(阮一6)hgrad/(0,0,0) = 3i-2；-6ft,*grd/(l,lfl) = 6/ + 3J.5 .求函数u xy2z在点Po（1, 1,2）处变化最快的方向，并求沿这个方向的方向导数。解V”=毅+即+招k =4舅+红河+工丁匕守以户=2i-4J+k.由方向导数与梯度的关系可知，=G在Po处沿rt=V 尻=2i4j+k 的方向增加最快,其方向导数为刿 =IVlpJ-|2i-V+* 1=5/2113n I p00.沿E =一守I。= 2i+4J Jt方向减少最快,其方向导数为普 | =-72T.u(2,1, 1)的方向导数解：u xPoy yz 1 yz(-)( )x xPo1,Pozd)z1Jx xPo1,Po(v、zy、(-)ln(一)Po0,lo1, .6,1) .62Po( 1).611,61() 6,一 ，y、z, _、，、，6 .求函数u(-)在Fo(1,1,1)沿着方向x习题9-8多元函数的极值及其求法2x .21 .求函数f (x, y) e (x y2y)的极值。解解方程组= *(2+2/+4* + 1) = 0t=/(2 + 2) = %求得驻点(幺-1)*又(十,一1) = 20出=心得,-1) = 0, =启信,AC-B2 = 4e2 0,由判定极值的充分条件知，在点, -1)处，函数取得极小值竹-1)= 一年2 .求函数z xy在适合附加条件x y 1下的极大值。解本题属条件极值问题，易将它化为无条件极值问题.工(1 工)条件工+=1可表示成7=1一工，代入宅=工W则问题化为求道 的极大值.由半=1 2工=0得工=春.CLT又捐1-20.由一元函数取得极值的充分条件知，工=看为极大值点，极大值为U3.在平面xOy上求一点，使它到 x o ,y o及x 2y 16 o三直线的距离平方之和为最小。解 设所求点为3,田，则此点到三直线的距离依次为My I, I工I, |工十浴16|，三距离平方之和为之=炉+ 4 + _(工 + 27 - 6),由，=2x + 卷(h +2y 16) = 0 )=h+y)z，L 0*(e士 + y2)0,3 + * R。， 工工+2* = 0./ 4_/ K Of d +y = o.4 .求下列函数的一阶和二阶偏导数:(1) z ln(x y2)；dz _. 13%13 土+；/3 (x+y )2 * dz= 2y 3%=2(h+*)- 4y =2(工一32)By j: +yz *dy1(+/)*(n+丁2 = 2(_L = _2_.dxdy 办工+1yziGr+丁产 z xy.第=WTE,d2z 旦f而石 3*(/尸)=+y 工厂 In h.4 .设zf （u, x, y） , u xey ,其中f具有二阶连续偏导数，求解老= 生+人=人炉+九,S工oX蕊=点Y+Q =（沙,+九丹方，=（/-茕+/”W+m（/ 嚼+4）=（几之廿+ /中）廿+ /# +/皿*+筛 =工色fg + Wf邓+工近4+ /孙+W九.5 .设 x eu cosv , y eu sin v , z uv ,试求一z 和一z . x y龌 辿=四.匹4-虫 曲= 包_(_ 配rtr L1 - tf l祝1 r .efj?du己工 avd工ax ox分别在工=才8写n,y=钞sin n的两端对工求偏导数，得. 3u B . du ,e cos u e* sin n 3一 =1,己3dxa du u 3vAe sin v 丁+ e cos v = 0.m工dx由以上方程组解得g = e-MSv m.cos =它现n 口.d工从而孕c-Cfoos u 一 乜虱n v).同理3zdz3u 3z0七Bu 3rz- 三一, 十一 v 卜闻丁 dydutJy ovoydy ay分别在工=砂8s vfy=*eusin 口的两端对了求偏导数，得e cos u-61rsin 口%=0,eusin 打孕 +e*cos 8祭=1.dy dy由以上方程组解得知f招从而3工 苏=e-11 (ttoos vd-usin 目).6 .求螺旋线x a cos , y a sin , z b在点（a,0,0）处的切线及法平面方程。解 岩=一聿sin= Q83仇生=b.opOffOff点（区,。,0）所对应的参数。=0,故曲线在给定点的切向髭T = （0 jQtZrX于是切线方程为工一口 =*=三0 a T即X=a，-以之=0.法平面方程为a(y 0) +立(之一0) = 0.ay +te = 0.7.已知（x, y）具有连续偏导数且(xz, y z） 0确定函数z(x, y),试计算 x解：1(1 ) x2(二)x1(y)2(1y)8.已知二元函数u(x, y), v(x,y)在区域D内满足(1)具有连续偏导数;(2)C （ C常数）；证明u(x, y), v(x,y)在区域D内均为常数证当C 0时，u V0,从而u(x, y),v(x, y)均为常数.(2)当C 0时，由u2V2C ,两边关于x, y分别求偏导数得u 2ux2u y2v xv2v一 y又-v xu，则上述方程组变为 x2u x2v y其系数行列式2u2v2v2u4(u2v x2u yV2) 0,所以 xr V0,且一 x从而u(x, y),v(x, y)均为常数.9.某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R (万元)与电台广告费用 Xi (万元)及报纸广告费用 X2 (万元)之间的关系有如下的经验公式：22R(x,y) 15 14x 32y 8xy 2x2 10y2(1)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；(2)若广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略。解：(1)利润函数为L_.、一一一一2一2R(xy)1513x31y8xy2x10y13 8y 4x 031 8x 20y 034，y5 3 5.5 ( 5)为L(x,y)唯一的驻点4 443 5L(-, -) 39.25 (万元) 4 4当电视广告费与报纸广告费分别为0.75万元和1.25万元时，最大利润为39.25万元，此即为最佳广告策略(2)利润函数为L R (x y)215 13x 31y 8xy 2x10y2求广告费用为1.5万元的条件下的最佳广告策略，即为条件：x y 1.5下,L(x,y)的最大值令 F(x,y) L(x,y) (x, y) 15 13x 31y 8xy 2x2 10y2(x y 1.5)Fx 13 8y 4x 0令Fy 31 8x 20y0 x 0,y 1.5,这是唯一的驻点，x y 1.5 0又由题意知L(x, y)一定存在最大值，故 L(0,1.5) 39 (万元)为最大值.10.试证曲面 jx Jy JZ J2上任意点处的切平面在各坐标轴上的截距之和为定值证明：设M 0(汽，y,Z0)为曲面上任意一点令 F (x, y, z) .、. x y 、一 z 2Fx_1_ . f2.x ; Fy_1_12 . y ; Fz 2, z1 ,、1,、1 , 、一切平面方程： （xXo）（vy。）-= （zZo） 0,xoyo、zo切平面在三坐标轴上的截距分别为.2x0,、2y0,、2z0所以截距和为2xo ；2yo2zo 2
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