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Mitrinovic-Djokovic不等式定理：若, +=1,且,则。证明：（利用拉格郎日乘数法）设则。考虑函数 由于 其中即如果则由显然对于有而当时则由式显然对于，是递增的，因此当时因此，当时，总有，从而，故在中，严格递减。因此，方程有惟一解，考虑方程组：根据上面的讨论，它有惟一解，是的极值点，而当时，因此是其极小值点，故有推广 若，且，则。证明：将原不等式改写为而故只须证明即只须证：当时：因，因此当，即时，有，等号当且仅当时取。若，则显然，当但两者足够接近时上式为负，因此具有最佳性。当时，不妨设，则，于是：考虑数组，将其重排得所以重复上述过程，可得： ，且但 。因此：是关于的单调下降非负数列，并且收敛与，故有等号成立当且仅当，即。贝努利不等式一元N变不等式是初等代数的重要内容之一，其理论是建立在数集的顺序性与运算的单调性质上的。将一元函数不等式推广到多元函数不等式上，就是由单变量向多变量的拓展，体现了数学的发散思维的思想。正是通过对数学内容的拓展，才使得现代数学变得如此繁盛！定理（贝努利不等式），是正整数，则。令 即若，则证明：（数学归纳法）当时，不等式显然成立。 假设当时，命题真，即对因此 所以当时命题也真。综上，原命题得证。推广：若，并且它们或者都是正的，或者都是负的，则：我们想证明这个推广，就需要先证明下面这个引理：引理：若，并且它们或者都是正的，或者都是负的，则证明： 若 ，则即 若，则即下面我们进行推广的证明证明：当时 ，得证假设当时成立，即则当时，有综上可得原命题成立。上面我们将著名的贝努利不等式进行了多元推广。采用的证明方法是数学归纳法。为什么可以用数学归纳法证明呢？这是因为将一元向多元推广，实质上就是将变量的数目增多。而数学归纳法正是证明和自然数有关的一种基本证明方法。所以本文将一元函数不等式推广到多元上有一种通用的证明方法即数学归纳法。下面我们对这一方法进行一下简单介绍：数学上证明与自然数有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，用数学归纳法证明命题的两个步骤：（1）取初始值或时命题成立;（2）假设当时命题成立，利用它证明当时命题也成立。满足这两个条件后，命题对一切的均成立。（一）第一数学归纳法：一般地，证明一个与正整数有关的命题，有如下步骤：（1）证明当取第一个值时命题成立；（2）假设当（的第一个值，为自然数）时命题成立，证明当时命题也成立。（二）第二数学归纳法对于某个与自然数 有关的命题 ，（1）验证时 成立；（2）假设时 成立，并在此基础上，推出 成立。综合（1）（2）对一切自然数 ，命题都成立；（三）倒推归纳法（反向归纳法）：（1）对于无穷多个自然数命题成立；（2）假设成立，并在此基础上推出成立，综合（1）（2），对一切自然数 ,命题都成立；（四）螺旋式归纳法，为两个与自然数有关的命题，假如（1）成立；（2）假设 成立，能推出成立，假设成立，能推出成立；综合（1）（2）,对于一切自然数，都成立；
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