最小二乘曲线拟合及MATLAB实现测绘专业本科毕业论文

内蒙古科技大学本科生毕业设计说明书（毕业论文）题 目：最小二乘曲线拟合及MATLAB 实现专 业：测绘工程班 级：2009 测绘 2 班内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）I最小二乘曲线拟合及最小二乘曲线拟合及 MATLABMATLAB 实现实现摘摘 要要介绍曲线拟合的基本理论，对最小二乘原理进行了全方位的理论阐述，同时也阐述了曲线拟合的基本原理及多项式曲线拟合模型的建立。详细的解答了曲线拟合中的最小二乘法，并介绍了部分的正交最小二乘法理论。重点讲解多项式拟合的具体步骤，同时也介绍了非线性方程的最小二乘拟合，在建立理论的基础上对最小二乘曲线拟合法的 MATLAB 实现方法进行研究，利用 MATLAB2012b 的平台对测量数据进行最小二乘曲线拟合，介绍 MATLAB 的具体构造和曲线拟合工具。利用 MATLAB 中的ployfit 函数对实测数据进行多项式曲线拟合，并给出曲线拟合 MATLAB 实现的源程序，给出拟合曲线，并评定拟合的精度证明该方法是行之有效的。关键词：关键词：最小二乘法，曲线拟合，MATLAB，测量数据内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）IICurve Fitting in Least-Square Methodand Its Realization with MatlabAbstract To introduce the basic theory of curve fitting and discuss the least squares principle in this paper, whats more, we also discuss the basic principle of curve fitting and the establishment of polynomial curve fitting model. Meanwhile, we also introduce the least-square method of curve fitting in detail and part of the theory of orthogonal least square method. We mainly discuss the specific steps of polynomial fitting, and also introduces the nonlinear equation of the least squares fitting at the same time, which established on the theory of least squares curve fitting in MATLAB in order to realize the method to do research. Using MATLAB2012b platform to achieve the goal of measuring data and introducing the special structure of MATLAB and curve fitting tool. We can use ployfit function in MATLAB to polynomial curve fitting of experimental data, and get the MATLAB source program about curve fitting and the fitting curve. Finally, we need to prove the method of assessing the precision of the fitting is effective.Key words: least square method; curve fitting; MATLAB, metrical data内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）III最小二乘曲线拟合及最小二乘曲线拟合及 MATLABMATLAB 实现实现.I摘摘 要要.ICURVE FITTING IN LEAST-SQUARE METHOD AND ITS REALIZATION WITH MATLAB.IIABSTRACT.II第一章第一章 引引 言言.11.1 研究背景研究背景.11.1.1 历史理论原理历史理论原理.11.1.2 现代研究现代研究.11.2 问题定义问题定义.21.2.1 曲线拟合的思想曲线拟合的思想.21.2.2 多项式拟合多项式拟合.31.2.3 利用利用 Matlab 的的 polyfit 函数进行多项式拟合函数进行多项式拟合.31.3 论文结构论文结构.3第二章第二章 数据曲线拟合数据曲线拟合.42.1 测量数据测量数据.42.2 拟合模型拟合模型.42.3 最小二乘原理最小二乘原理.52.3.1 最小二乘法最小二乘法.52.3.2 最小二乘估计与极大似然估计最小二乘估计与极大似然估计.7内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）IV2.4 数据拟合数据拟合.92.4.1 曲线拟合理论曲线拟合理论.92.4.2 最小二乘法线性拟合原理最小二乘法线性拟合原理.102.4.3 最小二乘非线性拟合最小二乘非线性拟合.122.4.4 正交多项式正交多项式.132.4.5 正交最小二乘曲线拟合正交最小二乘曲线拟合.152.5 曲线拟合精度评定曲线拟合精度评定.17第三章第三章 MATLAB.193.1MATLAB 概述概述.193.1.1MATLAB 简介简介.193.1.2MATLAB 的主要组成部分的主要组成部分.213.2MATLAB2012B的运行简介的运行简介.233.2.1 启动和退出启动和退出 MATLAB2012b.233.2.2MATLAB2012b 桌面系统桌面系统.243.2.3MATLAB 函数调用系统函数调用系统.263.2.4MATLAB2012b 的帮助系统的帮助系统.273.2.5 附件管理系统附件管理系统.283.2.6 数据交换系统数据交换系统.283.2.7MATLAB 中的其他系统中的其他系统.293.3 最小二乘曲线拟合法的最小二乘曲线拟合法的 MATLAB 实现实现.30第四章第四章 最小二乘法曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的 MATLAB 实现实现.324.1 使用使用POLYFIT函数实现多项式拟合函数实现多项式拟合.32内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）V4.2 二次多项式的曲线拟合二次多项式的曲线拟合.334.3 三次多项式的曲线拟合三次多项式的曲线拟合.344.4 四次多项式曲线拟合四次多项式曲线拟合.354.5 数据处理和精度评定数据处理和精度评定.36第五章第五章 总结总结.40参考文献参考文献.41附录附录 1 1：.43MATLABMATLAB 语言编程源代码语言编程源代码.43附录附录 2：.45各次拟合的拟合曲线方程各次拟合的拟合曲线方程.45致谢致谢.46外文翻译外文翻译.47外文部分外文部分.47翻译部分翻译部分.54内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）1第一章第一章 引引 言言1.1 研究背景研究背景1.1.1 历史理论原理历史理论原理Weierstrass 第一逼近定理第一逼近定理1 对任意函数和任意给定的,都存在 n 次代数多项式，满足 fCa,bx 0 npx (1-1-1) , |maxnxa bf xpxBernstein 多项式（多项式（bernstein polynomial）1前苏联数学家 Bernstein 曾经给出这样的多项式序列： (1-1-2)0( , )(1)nkn knknkBf xfxxkn 在整体上一致逼近，但它的收敛缓慢，要达到一定的精度，则 n 要取很大，计算 f x量大，所以研究如何在给定的精度下，对进行整体逼近，成为逼近论中的一个重 f x要问题。1.1.2 现代研究现代研究曲线拟合问题是诸多试验和工程实际中广泛应用的数据处理方法。试验数据的正确处理，关系到是否能达到试验目的，得出明确结论。传统的数据处理方法，很难得到一条很好适应所有点的曲线，同时也无法估计所得曲线的精度，由此所确定的特征值就可能有较大的误差，且没有建立起由这些点构成曲线的数学模型，直接影响利用数学方法进行解析分析。在进行试验数据的分析时，通常可采用曲线拟合法寻找一条光滑曲线，曲线在某种准则下最佳的拟合数据。测量工作中，通常根据测定的一系列坐标点，选取一定的数学模型拟合直线、二次曲线或者其他高次曲线。拟合的目的是根据测量点寻求曲线的特征，求解曲线的相内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）2关参数，为工程建设管理提供必要的基础信息。如在既有铁路工程、又有公路工程测量中，通常根据一系列的测量点和线路工程的特点求解线路工程的线性特征，为线路维护养护、二线工程建设、行车安全分析等提供必要的基础信息。在 GIS 数据获取中，通常根据一系列的实际测量点或者是地图数字化点拟合道路、水系、等高线、等曲线。这类问题的做法通常是根据线形的特点选取一定的数学模型，以待求的线形参数作为未知参数，以测点的纵坐标或者横坐标为观测值，采用最小二乘法处理。在测量中获取的数据均为随机数据，它们是由一些离散的数据组成，单就获得的原始数据本身来说根本反映不出事物的本质。如何从这些离散的数据中找出观测数据的变化规律？在实际中传统的数据处理方法，很难得到一条很好地适应所有点的曲线，同时也无法估计所得曲线的精度，且没有建立起由这些点构成曲线的数学模型，直接影响到利用数学方法进行解析分析。用 Matlab 进行数据拟合可以形象直观地发现所有数据体现出来的规律性。在进行分析时，通常可采用曲线拟合法，曲线拟合法的目的是寻找一条光滑曲线，即对观测的几个变量进行多次观测从而求出反映变量之间的相对函数关系，它在某种准则下最佳的拟合数据。1.2 问题定义问题定义本文介绍最小二乘曲线拟合法的基本原理，就其 MATLAB 的实现方法进行研究，给出曲线拟合 MATLAB 的实现方法进行研究，给出曲线拟合 MATLAB 实现的源程序，并进行仿真测试，对测试误差进行分析。1.2.1 曲线拟合的思想曲线拟合的思想如果不要求所构造的函数精确的通过所有由离散数据所确定的离散点，而只 g x要求是相对与同一函数类 H 中的其他函数而言达到最优的。即我们希望找到一条 g x曲线，既能反映给定数据的一般趋势又不至于出现局部较大波动。在这种逼近方式下，内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）3只要构造的近似函数与被逼近函数在区间a,b上的偏差满足某种要求即可。 g x f x1.2.2 多项式拟合多项式拟合有时所给的数据点的分布并不一定近似的呈一条直线，这时若仍用直线拟合显然是不合适的，对于这种情况可以考虑用多项式拟合。多项式方程的一般形式是： (1-2-1) 2012mmf xaa xa xa x 解出多项式系数，可得到函数模型。1.2.3 利用利用 Matlab 的的 polyfit 函数进行多项式拟合函数进行多项式拟合在 Matlab 中曲线拟合的形式非常简单，他的形式是：,该拟合函, ,Ppolyfit x y n数的结果将保证在数据点上的拟合值与数据值之差的平方和最小，满足最小二乘法则标准的最小二乘曲线拟合。 1.3 论文结构论文结构 本文主要分为五章，第一章介绍本文的主旨和需要解决的问题的介绍，第二章介绍最小二乘法曲线拟合的基本理论和具体步骤，第三章通过 MATLAB2012b 的平台介绍 MATLAB 实现最小二乘曲线拟合的具体方法和步骤，第四章利用 MATLAB 的ployfit 函数对一组矿山沉陷数据进行多项式曲线拟合，并对多项式拟合的精度进行分析，最后第五章对全文进行一个总结。内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）4第二章第二章 数据曲线拟合数据曲线拟合2.1 测量数据测量数据测量数据或观测数据是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其他实体的空间分布有关信息的数据。观测数据可以是直接测量的结果，也可以是经过某种变换后的结果。任何观测数据总是包含信息和干扰两部分，采集数据就是为了获取有用的信息，干扰也称为误差，是除了信息以外的部分，要设法予以排除或减弱其影响4。2.2 拟合模型拟合模型拟合模型是测量平差中常遇到的一种特殊的函数模型。拟合模型是一种函数逼近型或是统计回归模型。用一个函数去逼近所给定的一组数据，或者利用变量与变量之间统计相关性质给定的回归模型都属于拟合模型4。拟合模型误差方程的组成举例：1.在地图数字化中，已知圆上 m 个点的数字化观测值（i=1,2，m） ，iiyx，设为等权独立观测试求该圆的曲线方程。由于数字化观测值有误差，m 个点并不在同一圆线上，需要在这些观测点上拟合一条最佳圆曲线，这就是拟合模型问题。圆曲线的参数方程以平差值表示为 (2-2-1)i0ii0isinrYcosrXYX公式中为圆心坐标平差值， 和分别为半径和矢径方位角的平差值，它们00YX ，ri内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）5为平差的未知参数，故此例 n=2m，t=3+m。令 =+，=+.iXiXixviYiYiyv，.r0rri0ii=+，=+.0X00X0 x0Y00Y0y将上式线性化，最后得误差方程为，ixl -sinr-rcosxvi0i000 xi . (2-2-2)iyl -cosr-rsinyvi0i000yi式中，00000cosiiiixXXrXXli.00000siniiiiyYYrYYli2.在摄影测量学中，数字高程模型、GPS 水准的高程异常拟合模型等，常采用多项式拟合模型。已知 m 个点的数据是（i=1,2，m） ，其中是点 的高iiiyxZ,iZi程或高程异常（GPS 水准拟合模型） ，为点 的坐标，视为无误差，并认为 Z 是iiy,xi坐标的函数，即可取拟合函数为， (2-2-3)25423210iiiiiiiybyxbxbybxbbZ式中=，未知参数为.为常数，则其误差方程为iZiZivZ 510,bbbiiy,x . (2-2-4)iiiiiiiZZbybyxbxbybxbvi524322102.3 最小二乘原理最小二乘原理2.3.1 最小二乘法最小二乘法在生产实践中，经常会遇到利用一组观测数据来估计某些未知参数的问题。例如，内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）6一个做匀速运动的质点在时刻的位置是，可以用如下的线性函数来表达描述：y (2-3-1)y式中，是质点在时刻的初始位置，是平均速度，它们是待估计的未知数参数，0可见这类问题为线性参数的估计问题。对于这一问题，如果观测没有误差，则只要在两个不同时刻观测出质点的相应位置，由上式分别建立两个方程，就可21和21yy 和以解出的值。但是在实际的观测时，考虑到观测值带有偶然误差，所以总是作和多余观测。在这种情况下，为了求得，就需要在不同时刻来测定和n2,1， 其位置，得出一组观测值，这时，由上式可以得到nyyy,21 (2-3-2)niyyi, 2 , 1 ，若令，, nyyyY21nB11121XnvvvV21则 (2-3-3)YXBV这就是间接平差的模型4。如果我们将对应的用图解表示，从图 2.1 看出由于存niyii, 2 , 1 ，在观测误差的缘故，由观测数据绘出的点观测点，描绘不成直线，而有些摆动。内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）7 图 2.1 根据观测点确定直线这里就产生了一个问题：用什么准则来对参数进行估计，从而使估和计直线“最佳”的拟合于各观测值点。iy通常的做法有以下几种： （1） （2-3-minmax1iximiy4）（2） （2-3-min1ixmiiy5）（3） （2-3-min21mixiiy6）其中第一种较复杂，第二种不可导，求解困难，所以目前采用较多的方法是第三种方法，这种方法就叫做最小二乘法。所谓的最小二乘原理，就是要在满足 （2-3-min2112niiiniiyv7）的条件下解出参数的估值，也可以表达为和内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）8 （2-3-minYXBYXBVVTT8）式中，表示未知参数的估计向量，在上述例子中，。满足上式的估计XTX值称为的最小二乘估计，这种求估计量的方法就叫做最小二乘法1。XX2.3.2 最小二乘估计与极大似然估计最小二乘估计与极大似然估计 测量中的观测值是服从正态分布的随机变量，最小二乘原理可用数理统计中最大似然估计来解释，两种估计准则的估值相同。设观测向量为 L,L 为随机正态向量，其数学期望和方差分别为， n21LEL221n22221n11221nnnLLDD由极大似然估计准则知道，其似然函数（即 L 的正态密度函数）为LTLnLDLDG121221exp21 （2-3-2122lnlnDGnLTLLDL1219）按最大似然估计的要求，应选取能使取得极大值的作为的估计量，考虑到lnGLL，为的估计量也就是以改正数 V 作为真误差的估计量。,LLLLV LL由于上式中右边第一项为常量第二项前为负号，所以只有当第二项取得极小值时，似然函数才能取得极大值。因此由极大似然估计求得的 V 值必须满足条件lnG内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）9 1minTV D V考虑到为常量，则上式等价于2212000,DQP （2-3-minTV PV 10）此方程即为最小二乘原理。由此可见，当观测值为正态随机变量时，最小二乘估计可由最大似然估计导出，由以上两个准则出发，平差结果完全一致。最小二乘原理中的 P 阵，称为权阵，定义是。1PQ设为独立观测值，其权为，则有12,LnL L 12,P ,PnP 222001,1,2,iiiiQinP式中，为的权倒数或协因数,权阵及协因数阵为iiQiL,12nPPPP12nQQQQ如果为相关的观测值，则有12,LnL L 1112112222220012nnnnnnQQQQQQDQQQQ协因数 Q 与协方差 D 统计含义相同，数值的表达式形式上仅差一个常量，如果20=1，则 D=Q。因为权阵20 11112111121122221222211212nnnnnnnnnnnnPPPQQQPPPQQQPQPPPQQQ由于为的权倒数，但是，所以权阵 P 中的主对角线1122,nnQQQ12,nL LL1iiiiQP内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）10不具有权的意义，P 仅表示，但在运算中起着权的作用。iiP1Q特别时，当观测为同精度观测时，P=I，则最小二乘原理是 （2-3-minTV V 11）2.4 数据拟合数据拟合2.4.1 曲线拟合理论曲线拟合理论在测量学上，常常使用一组测定的数据，i=1,2，n，求得一个近似的iiyx，函数关系 y=f。由于 y 值来自观测或者实验，数据不可避免地带有一定程度的误差， x因此不能像插值那样要求曲线严格通过数据点，只能是 y=最优地靠近这iiyx ， xf些数据点，这样，在某种意义下的偏差为最小，部分抵消数据误差，进而反应数据的一般趋势。假定有 n 对实验数据，其中（ =1,2，n） 。设由这些点得到的数据关iiy,xi系为。 xfy 在一般情况下，有线性模型= （2-4- xfy miiimmxcxcxcxc011001）假设令，则有 iixx = xfy miiimmxcxcxcxcc02210非线性模型为 （2-4- mititmttimececececxf010102）利用线性模型与非线性模型，基于最小二乘法，可以计算出经验公式和参数。2.4.2 最小二乘法线性拟合原理最小二乘法线性拟合原理内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）11前面我们已经介绍了最小二乘法，现在我们就最小二乘法拟合直线和曲线（多项式）做一个详细的原理分析，着重介绍多项式的拟合。2.4.2.1 直线拟合直线拟合当实验数据近似满足直线模型时，可利用最小,0,1,2,iix yim f xaxb二乘法拟合实验数据。根据最小二乘法的原理，函数应为 f xaxb112111mmiiiimmmiiiiiiimxybaxxx y 其中 ，1112211mmmiiiiiiimmiiiimx yxyamxx 211112211mmmmiiiiiiiiimmiiiixyxx ybmxx 本文主要探讨最小二乘曲线（多项式）的拟合，所以在这对直线拟合只做简要的分析。2.4.2.2 曲线（多项式）拟合曲线（多项式）拟合设函数.已知列表函数，.利 0,1,jjxxjn 0,1,iiyf ximnm用多项式逼近的，问题变为如何选择使 01nnnpxaa xa x f x01,na aa能较好地拟合列表函数。按最小二乘法，应选择，使得 npx f x01,na aa （2-4- 2010,mniniiE a aaf xpx3）取最小。因为 E 是非负的，且是的二次多项式，所以它必定有最小值。求01,na aaE 关于的偏导数，并令其等于 0，得到0,1,jajn内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）12 （2-4-0100, j0,1,n.mnjiiniiiyxxx4）我们也可以将上式写成如下的方程组形式：0100021010100120100001mmmniiniiiimmmmniiiniiiiiimmmmnnnniiiniiiiiimxxyxxxx yxxxx y 将方程组化为矩阵形式为200000231100000122000001mmmmniiiiiiiimmmmmniiiiiiiiiiinmmmmmnnnnniiiiiiiiiiimxxxyxxxxx yxxxxx y我们记200000211111211,.1nnnnmmmmyxxxyxxxAYyxxx所以我们可以把原等式简单的表示为TTA AA Y上述方程一般称为法方程组法方程组或正规方程组，正规方程组，而 （2-4-AY5）（n+1 个未知量，m+1 个方程式）称为超定方程组或矛盾方程组。内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）13可以证明为超定方程组的最小二乘解的充分必要条件是满足法方程组。在利用最小二乘法建立原和式时，所有点都起到了同样的作用。但是有时依据ix某种理由认为和式中某些项作用大些，而另外一些项的作用小些（例如，由高精度的仪器或由经验较丰富的测量人员获得的观测值，自然而然的应该对这些数据予以较iy大的信任度） ，在数学上常表现为用 21niiniiypx替代 2010,mniniiE a aaf xpx取最小值，其中称为权（权（weight） ，事先给定，且，而替代了的上式称为0i01mii加权和，相应的称为关于权关于权的最小二乘逼近多项式（的最小二乘逼近多项式（least squares npxiapproximation polynomial with respect to the weight ） 。i2.4.3 最小二乘非线性拟合最小二乘非线性拟合上面介绍的是待定的参数在拟合函数中是以线性形式出现的，所以称为线性最小二乘法。在实际问题中，如果选取的基函数是指函数或其他函数，例如取拟合函数为ctsbe其中 b，c 为待定参数，虽然拟合函数的形式不复杂，但是拟合函数中的参数是以非线性形式出现的，用线性最小二乘法根本就无能为力。此时我们可以首先通过变量替换，利用数学上的变量替换思想使其线性化，然后再利用线性最小二乘来解决问题。将上面的指数等式两边取对数我们可得到：lnlnsbct记则可把上式替换为01ln,ln,sybcxt01yx用线性最小二乘法可以确定出(从而也就可以确定出 b，c)，得到拟合函数01, 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）14 （2-4-ctsbe6）2.4.4 正交多项式正交多项式从前面的讨论中可以知道，用多项式次数较高时，法方程组可能是“病态方程组”（所谓“病态方程组”是指如果在方程组中 A 或 b 有微小的变化，就引起解的Axb巨大变化）为了解决这个问题，常用 （2-4-7） 00110nnnkkkxpxpxpxpx来拟合，这里表示 k 次多项式1。利用前面的方法，在上式中选择适当 yf x kpx的系数，使得0,1,kkn 20100,mnniikkiikEypx 达到最小。为此，对 E 关于分别求偏导数，并且令偏导数等于 0，得0,1,kkn到 0020,0,1,mniikkijiikypxpxjn如果能找到多项式满足下面关系：对有 0,1,kpxkn,0,1, ,j kn 00,( )0,mjkijikiijkcpx pxjk这样求解方程组就变得简单了，这时 （2-4-/jjjjcc8）称满足上述条件的多项式族为关于及权的正交多项式族。 kpx ixi正交多项式的的基本理论1内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）15如果函数系中每个函数在区间上连续，不恒等于 0，且满足条 kx kx, a b件 （2-4- 0,0,bijijaijxxx dxij 9）那么称函数系为区间上关于权函数的正交函数系。当是 k 次 kx, a b x kx多项式时，称为区间上关于权函数的正交多项式系。 kx, a b x 若是区间上关于权函数的正交多项式系，则有如下性质： kx, a b x kx性质 1 对任意正整数是线性无关的。 01,nnxxx性质 2 任意次数小于等于 n 的多项式必与正交，。 npx 1nx0,1,2,n 性质 3 在区间上恰好有 n 个不同的实根。 nx, a b性质 4 对于最高次项系数为 1 的正交多项式系，有三项递推关系 *kx （2-4- 11nnnnnxxbxcx10）其中1/,/,nnnnnnnnnnnnbcx 性质 5 对于最高次项系数为的正交多项式系，有三项递推关系kA kx （2-4- _11111nnnnnnnnnnAAAxxbxcxAA11）其中。_1/,/,nnnnnnnnnnnnbcx 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）16Legendre 多项式多项式1 （2-4- 211,0,1,2,2!nnnnndPxxnn dx 12）注注 的最高次项的系数为. 01nP=1P=xPxxx， 2n2n2n！Chebyshev 多项式多项式1 （2-4-nT=cos narccos-11n=0 1 2xx（x）（）， 13）注注 . n-101nT=1T=xT2xxx，的最高次项系数为Lagurre 多项式多项式1 （2-4- nxn-xndLx =ex e0 x”为命令提示符，该提示符表明 MATLAB 处于编辑调试状态。一般在命令窗口中 MATLAB 为单行操作，其中包含两方面含义：一方面表明每一个命令提示符后在一行内为完整的命令或函数调用，另一方面也表明 MATLAB 是给定操作后立即执行，然后重新进入编辑调试状态，等待新的操作。内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）29在命令窗口中也可以通过按【Shift+Enter】组合键来续行操作，但只能禁止命令立即执行而不能实现多行命令。 例如:图 3.8 MATLAB 数组运算3.2.4MATLAB2012b 的帮助系统的帮助系统完善的帮助系统是任何应用软件必要的组成部分。MATLAB2012b 提供了相当丰富的帮助信息，同时也提供了多种获得帮助的方法。MATLAB 的帮助信息的种类及简要说明如表 3.1 所示帮助类别帮助类别说明说明版本信息（Release Note）提供当前使用软件的版本信息简要帮助（Getting Star With）提供软件的简要信息详细帮助（Using）软件的详细信息参考信息（Reference Pages）给出函数的符号、说明、示例及其他信息M 文件帮助(M-file Help)给出 M 文件的简要帮助信息产品信息（Product Page）给出相应产品信息在线帮助（On-line Knowledge Base）在线获得 MATLAB 帮助表 3. 1 MATLAB 帮助系统 面对丰富的帮助信息，MATLAB 提供了相应的获取帮助的方法。首先，我们可以通过桌面平台的【Help】菜单来获得帮助，内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）30也可以通过工具栏中的帮助选项获得帮助3。此外，MATLAB 也提供了在命令窗口中的获得帮助的多种方法。主要帮助命令有：doc：在帮助浏览器中显示指定函数的参考信息help：在命令窗口中显示 M 文件帮助helpbrowser：打开帮助浏览器，无参数helpwin：打开帮助浏览器，并且将初始界面置于 MATLAB 函数的 M 文件帮助信息lookfor：在命令窗口中显示具有指定参数特征函数的 M 文件帮助web：显示指定的网络页面，默认为 MATLAB 帮助浏览器另外我们还可以通过在组建平台中调用演示模型（demo）来获得特殊帮助。3.2.5 附件管理系统附件管理系统MATLAB 附件管理系统包括工作空间管理系统、路径管理系统以及文件管理系统。工作空间管理系统是显示在 MATLAB 运行期间内存中变量的有关信息，使用工作空间管理系统将打开工作空间浏览器。路径管理系统是在 MATLAB 环境中管理 M 文件及其他相关 MATLAB 文件的系统。当创建任何新的 MATLAB 文件时，应将文件所在目录加入 MATLAB 搜寻路径以便于 MATLAB 的调用。一般而言，用户创建或修改的 M 文件不应放在 MATLAB 的默认文件路径下，否则重装或升级新的版本时，该文件将被删除或覆盖，一般可以放在 MATLABroot/work目录下。当创建或修改默认文件路径下的文件时，需要重新启动 MATLAB 或使用 rehash函数以加载，因为 MATLAB 的默认文件均在 MATLAB 启动时加载至内存。 用户也可以根据自己的需要更改搜索路径，MATLAB 的搜索路径存于内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）31MATLABroot/toolbox/local/pathdef.m 文件中，用户可以对其进行修改。3.2.6 数据交换系统数据交换系统 MATLAB 提供了多种方法将数据从磁盘或剪贴板中读入 MATLAB 工作空间，同时也提供了多种将工作空间的数据写入磁盘的方法。（1） 文本数据的输入输出对于文本数据（ASCII）而言，最简单的读入方法就是通过 MATLAB 的数据输入向导，也可以通过 MATLAB 函数实现数据读入。（2） 二进制数据的输入输出 MATLAB 中二进制数据的输入输出与文本数据的输入输出方法相似（3） 级次数据结构的处理级次数据结构（Hierarchical Data Format，HDF）是由美国超级计算中心（NCSA）开发的一种独立于机器之外的科学数据的存储结构。为了完善与 C 和Fortran 的数据交换，MATLAB 也提供了对级次数据结构的支持。（4） 低级文件输入输出函数MATLAB 也提供了与标准 C 类型的低级文件输入输出函数，如 fopen 用于打开指定的文件，fread 用于从文件中读取数据，fwrite 用于向文件中写入数据等。3.2.7MATLAB 中的其他系统中的其他系统（1）M 文件编辑调试系统 M 文件编辑调试系统将为用户提供创建、编辑和调试 M 文件的环境，主要为 M文件的编辑调试器。（2）M 文件优化系统 M 文件优化系统可以得到被处理的 M 文件执行时每一行语句运算所消耗的时间，通过对事件的分析，用户可以：内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）32避免程序中无效的运算改变算法以避免使用处理问题效率低的函数避免对以后将会使用的数据进行操作（3）源控制处理系统 MATLAB 不能执行源控制函数，但可以提供源控制界面，即可以打开 M 文件编辑源控制文件，但不改变其只读特点，即不会覆盖源文件。（5） 记事本系统 MATLAB 也提供将数值计算以及可视化结果与文字处理环境相结合的记事本系统。通过记事本系统可以得到 M 文件，其中将包括文档、MATLAB 命令以及 MATLAB 命令执行结果等。3.3 最小二乘曲线拟合法的最小二乘曲线拟合法的 MATLAB 实现实现 采用 Basic,Fortran，C 等编程语言来实现曲线拟合，需要编写非常复杂的算法程序，对一般的工程技术人员而言，将是一个非常艰巨的任务。而 MATLAB 语言是集数值计算、符号运算和图形处理等强大功能于一体的科学计算语言，适合于工程应用各领域的分析、设计和复杂计算，而且他易学易用，不要求使用者具有高深的数学知识和编程技巧，在这方面，MATLAB 具有一般高级语言无法比拟的优势2。 在 MATLAB 环境中，他提供了许多函数来实现曲线的拟合，这里简述几种曲线拟合法的 MATLAB 实现方法。（1） 使用 MATLAB 的最优化工具箱中的 lsqcurvefit（）函数来实现，该函数的调用格式为：a,J=lsqcurvefit(原型函数名，x，y)0其中：为最优的初值；x，y 为原始输入输出数据矢量0（2） 采用线性方程组编程来实现：根据线性方程组的构造原则，针对不同的原型函内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）33数，构造矩阵不同，编写程序不同。下面我们以指数函数拟合为例，MATLAB实现方法的源程序如图 3.9 所示：图 3.9 MATLAB 的脚本编辑器（3） 采用 MATLAB2012b 自带曲线拟合工具箱进行曲线拟合，MATLAB2012b 自带的曲线拟合工具箱，每一种曲线拟合的方法都是前人优秀工作的结晶。其中包括 Gaussion（高斯） ，Interpolant（插值） ，Ploynomial（多项式） ，Power（幂函数） ，Weibull(韦伯分布)，Smoothing spline（平滑样条函数） ，Sum of sine（正弦函数）等可以为我们直接提供的样板模型，为我们的工作带来了方便。具体窗口我们可以看图 3.10 所示：内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）34图 3.10 MATLAB 的曲线拟合工具箱我们可以在窗口中添加需要拟合的离散数据，选择上面介绍的具体拟合函数，给定参数进行相关的数据拟合，利用这些经典的函数模型可以使我们工作更加方便简单。（4） 采用 ployfit 函数实现多项式拟合 在本文中我们主要利用 ployfit 函数进行算例的解答，具体操作在第四章给出完美解答。3.4 本章小结本章小结本章介绍了 MATLAB 的发展和一些基本的运用，在此基础上又介绍了 MATLAB的曲线拟合方法。第四章第四章 最小二乘法曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的 MATLAB 实现实现在这一章中我们利用上面所论述的观点及算法对实际工作进行验证，利用MATLAB 的相关工具通过最小二乘法曲线拟合实现测量中地表移动变形模型的建立与内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）35预测，下面是济宁某矿采空区 A 点的变形观测资料，如表所示累计天数 （T/d）实际累计下沉值（Y/mm）累计天数 （T/d）实际累计下沉值（Y/mm）0 0 135 105 15 4 150 126 30 9 165 146 45 15 180 163 60 21 195 180 75 33 210 192 90 45 225 200 105 61 240 206 120 83 255 207表 4.1 济宁某矿采空区 A 点的变形观测资料（引用参考文献6 曲线拟合与插值模型在矿区变形预测中的应用 数据）4.1 使用使用 polyfit 函数实现多项式拟合函数实现多项式拟合 在 MATLAB 中 ployfit 函数的基本调用格式为：p=ployfit（x，y，n） ，其中 x，y为样本数据向量，而 n 为拟合的多项式的项数3。如果要查看拟合的多项式的表达式，则可以使用符号工具箱中的 ploy2sym 函数，这时多项式按照幂次的高低排列。使用ployval（）函数可以直接计算出多项式的值。在做实验时，如果我们实现知道离散数据的函数关系，则可以通过计算拟合的函数数值与之比较，然后查看拟合结果是否理想。Ployval 函数使用方法是直接输入拟合的多项式变量及要计算函数值的点列。4.2 二次多项式的曲线拟合二次多项式的曲线拟合二次拟合的源代码 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）36图 4.1 二次多项式拟合程序运行得到结果图 4.2 二次多项式拟合输出方程拟合曲线图 4.3 二次多项式拟合曲线4.3 三次多项式的曲线拟合三次多项式的曲线拟合三次拟合的源代码内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）37图 4.4 三次多项式运行程序运行得到结果图 4.5 三次多项式拟合输出方程拟合曲线图 4.6 三次多项式拟合曲线4.4 四次多项式曲线拟合四次多项式曲线拟合四次拟合的源代码内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）38图 4.7 四次多项式拟合运行程序运行得到结果图 4.8 四次多项式拟合输出方程拟合曲线为 图 4.9 四次多项式曲线拟合4.5 数据处理和精度评定数据处理和精度评定 我们在前面取了 MATLAB 中的 ployfit 函数的二、三、四次多项式拟合，从得到内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）39的拟合曲线中我们可以直观的看出四次拟合曲线的吻合度高于二、三次多项式拟合，并不是多项式次数越取得高越好，在前面的理论中我们也论证过当多项式的次数较高时，法方程可能会出现病态方程组，所以在此我们只取到了四次就停止了，下面我们对这三次的拟合进行分析：从源代码我们可以看出原观测天数 x 间隔为 15 天，而我们拟合曲线取的 xl 间隔为5 天，在 MATLAB 的工作空间（work space）可以看到变量 x 被分为一个 118 的矩阵，xl 被分为一个 152 的矩阵，具体模式如表 4.2 和 4.3 所示：表 4.2 自变量 x 分布表格 表 4.3 自变量 xl 分布表格对应相应的自变量我们可以得到相应的 y 值，相应的二、三、四次多项式的拟合y 值如下表格 4.4：累计天累计天实测累实测累二次曲二次曲二次曲二次曲三次曲三次曲三次曲三次曲四次曲四次曲四次曲四次曲内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）40数数 T/d计下沉计下沉值值Y/mm线拟合线拟合值值/mm线拟合线拟合残差残差/mm线拟合线拟合值值/mm线拟合线拟合残差残差/mm线拟合线拟合值值/mm线拟合线拟合残差残差/mm00-12.3467-12.34676.06436.06432.56672.5667154-4.3581-8.35812.2088-1.79122.8260-1.17403097.8720-1.12803.6035-5.39656.0210-2.9790451520.42725.42729.5918-5.402812.2151-2.7849602133.307512.307519.5170-1.483021.36870.3687753346.512913.512932.7224-0.277633.33960.3396904560.043315.043348.55133.551347.88262.88261056173.898912.898966.34695.346964.64963.64961208388.07955.079585.4527-2.626883.18950.1895135105102.5851-2.4149105.21190.2119102.9487-2.0513150126117.4159-8.5841124.9678-1.0322123.2705-2.7295165146132.5717-13.4283144.0638-1.9362143.3952-2.6048180163148.0526-14.9474161.8431-1.1569162.4604-0.5396195180163.8586-16.1414177.6469-2.3531179.5008-0.4992210192179.9897-12.0103190.8521-1.1479193.44831.4483225200196.4458-3.5542200.71430.7143203.13183.1318240206213.2270-7.2270206.66010.6601207.27741.2774255207230.3333-22.6667208.00581.0058204.5082-2.4918表 4.4：原 y 值和二，三，四次曲线拟合的 y 值和处理各残差的平方和为：内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）41(1) 二次项多项式残差平方和图 4.10 二次多项式拟合残差平方和（2）三次项多项式残差平方和图 4.11 三次多项式拟合残差平方和（5） 四次项多项式残差平方和图 4.12 四次多项式拟合残差平方和由于都是利用 MATLAB 多项式拟合函数拟合观测的离散点，且各点的观测也假定为等权观测，依据评定的标准单位权中误差：可以看出我们只需比较二，三，0TV PVr四次项多项式的拟合残差平方和，从以上的残差平方和分析说明了四次曲线拟合的效果要比三次曲线拟合和二次曲线拟合好，因此选择四次曲线拟合模型为预测方程，观内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）42测值与观测时间存在较好的相关关系，所得四次拟合曲线能较好的反应实际情况。第五章第五章 总结总结内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）43 本文介绍最小二乘曲线拟合的基本理论，介绍了在通常的数据处理中，不论是一元线性拟合，还是多元线性拟合，甚至相当一部分经过变换可转变为线性拟合的非线性拟合，都是正交基函数拟合的特例，用最小二乘法来实现，原理简单明了，且易于编程。又就其 MATLAB 的实现方法进行研究与探讨，给出曲线多项式拟合 MATLAB 实现的原程序，并进行仿真测试。采用 MATLAB 对实验数据进行处理，能够快捷的得到图文并茂的令人相当满意的处理结果，在越来越多的工程分析和科学研究中，MATLAB 软件正在被重视起来，可以联想到，在不久的将来 MATLAB 将得到日益广泛的运用，必然会成为工程人员们必备的工具。参考文献参考文献内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）441朱晓临主编.数值分析M.合肥：中国科学技术大学出版社，2010.72宋叶志等编辑.MATLAB 数值分析与应用M.北京：机械工业出版社，2009.73云舟工作室编著.MATLAB 6 数学建模基础教程M.北京：人民邮电出版社，2001.74武汉大学测绘学院测量平差学科组编著.误差理论与测量平差基础M.武汉：武汉大学出版社，2009.55朱衡君主编;肖燕彩，邱成编著.MATLAB 语言及实践教程M.北京：清华大学出版社；北京交通大学出版社，2004.106孙祥畅，颜世英，桂维振等.曲线拟合与插值模型在矿区变形预测中的应用J.山东科技大学.测绘科学与工程学院.山东.青岛 2012.1；7魏清洁，王玉彬.二元一次函数曲线拟合的 Matlab 实现J.武城二中，山东德州2011.68孙彦清.最小二乘法线拟合应注意的两个问题J.陕西.汉中. 陕西理工学院物理系2002.69陈光，任志良，孙海柱.最小二乘曲线拟合及 Matlab 实现J.湖北.武汉.海军工程大学兵器工程系 兵工自动化 2005 年第 24 卷第 3 期10赵宝贵.Matlab 在数据拟合中的应用J.抚州.东华理工学院测量系 2007.111丁克良，欧吉坤，赵春梅.正交最小二乘拟合法J.北京建筑工程学院，测绘与城市信息学院，测绘工程系，北京.中国科学院测量与地球物理研究所，武汉.2007.512聂翔，张瑞林.最小二乘在曲线拟合中的实现J.陕西.汉中.陕西工学院基础课部，汉中师范学院数学与计算机科学系 2000.413罗成汉，刘小山.曲线拟合法的 Matlab 实现J.福建.厦门.集美大学.信息工程学院现代电子技术.2003 年第 20 期14邢广军，原彪，石晓岚.MATLAB 与曲线拟合浅议J.张家口水文水资源勘测局内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）452003.615申红莲.Matlab 中曲线拟合的方法J.河北.衡水.衡水学院数计学院.2010.3内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）46附录附录 1 1：MATLABMATLAB 语言编程源代码语言编程源代码二次多项式曲线拟合二次多项式曲线拟合x=0:15:255;y=0 4 9 15 21 31 45 61 83 105 126 146 163 180 192 200 206 207;p2=ployfit(x,y,2);vpa(ploy2sym(p2),10)；x1=0:5:255;y1=ployval(p2,x1);plot(x,y,x,y,*,x1,y1)grid三次多项式曲线拟合三次多项式曲线拟合x=0:15:255;y=0 4 9 15 21 31 45 61 83 105 126 146 163 180 192 200 206 207;p2=ployfit(x,y,3);vpa(ploy2sym(p3),10)；x1=0:5:255;y1=ployval(p3,x1);plot(x,y,x,y,*,x1,y1)grid内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）47四次多项式曲线拟合四次多项式曲线拟合x=0:15:255;y=0 4 9 15 21 31 45 61 83 105 126 146 163 180 192 200 206 207;p2=ployfit(x,y,4);vpa(ploy2sym(p4),10)；x1=0:5:255;y1=ployval(p4,x1);plot(x,y,x,y,*,x1,y1)grid内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）48附录附录 2： 各次拟合的拟合曲线方程各次拟合的拟合曲线方程二次多项式曲线拟合二次多项式曲线拟合 26315789.167828345373. 02080007223942. 02xxy三次多项式曲线拟合三次多项式曲线拟合 064327485. 64466364714. 070131265527. 072670000324291. 023xxxy四次多项式曲线拟合四次多项式曲线拟合xxxxy60774445521. 0680061732477. 080001075116. 067336130000000846. 0234+2.56671983内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）49致谢致谢 在论文完成之际，我首先向关心帮助和指导我的指导老师孙同贺老师表示衷心的感谢并致以崇高的敬意！ 在学校的学习生活即将结束，回顾四年来的学习经历，面对现在的收获，我感到无限欣慰。为此，我向热心帮助过我的所有老师和同学表示由衷的感谢，在论文工作中，遇到了许许多多这样那样的问题，有的是专业上的问题，有的是论文格式上的问题，一直得到孙同贺老师的亲切关怀和悉心指导，使我的论文可以又快又好的完成，孙同贺老师以其渊博的学识、严谨的治学态度、求实的工作作风和他敏捷的思维给我留下了深刻的印象，我将终生难忘我的老师们对我的亲切关怀和悉心指导，再一次向他表示衷心的感谢，感谢他们为学生营造的浓郁学术氛围，以及学习、生活上的无私帮助! 值此论文完成之际，谨向学院的老师们致以最崇高的谢意! 最后，衷心地感谢在百忙之中评阅论文和参加答辩的各位专家、教授。内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文）50外文翻译外文翻译外文部分外文部分Spectral Features Extraction in Hyperspectral RS Data andIts Application to Information ProcessingOriented to the demands of hyperspectral RS information processing and applications, spectral features in hyperspectral RS image can be categorized into three scales: point scale, block scale and volume scale. Based on the propert