双曲型方程的差分法

双曲型方程的有限差分法0 预备知识0.1双曲型方程的常见类型：（1）、一阶线性双曲型方程（2）、一阶常系数线性双曲型方程组 其中u为未知函数向量，A为p阶常数方阵。（3）、二阶线性双曲型方程（波动方程） 一维 a(x)为正值函数二维 三维 （4）、对流扩散方程等等。这些方程的定解条件，可以是仅有初始条件，也可以是初始条件与边界条件的混合。如对波动方程（一维），有（1）、初值问题（2）、混合问题第一类：第二类：边界条件改为：第三类：边界条件改为：0.2 波动方程及其特征线性双曲型方程的最简模型：波动方程初值问题 （1） 下面讨论它的特征和解析解。由二阶偏微分方程理论，上述方程的特征方程为 或 .分解为： ， 由此可定出两个方向，称为特征方向。解得： 是XT平面上的两族直线，称为特征。用u沿特征的偏导数来表示u沿x，t的偏导数： 同理，有由方程（1），得 由初值条件， 得 解此常微分方程，可得解：（称为Dalembert公式）由此公式可看出：u在点的值仅依赖于初始函数在区间上的值。（此区间就称为点的依存域）过作第一特征（斜率为正），过作第二特征（斜率为负），相交于，所得三角形域为此依存域的决定域，依存域上的初值决定了三角形域内u的值。反之，由作两条特征，与x轴（）相交截出的闭区间就是依存域。如下图。决定域 依存域 = 影响域 从解的表达式还可看出，对x轴上任一点，它所能影响到的所有的集合是以为顶点，两条特征为边的角形域，称为的影响域。如上图。 双曲型方程这种对初值的局部依赖关系和特征关系是其他方程所没有的。因此初值函数的一些性质（如间断等）也会沿特征线传播，从而使解不具有光滑性。在构造双曲型方程的差分格式时，应考虑这些特性。1 一阶线性双曲型方程组一般形式：n个未知函数 n个方程：其中 ，都是已知光滑函数。称为一阶线性偏微分方程组。记，则有 记B可逆。不是一般性，上面方程又可化为 （2）若A有n个实的互异特征值，对某个，称（2）是在点的（狭义）双曲型方程组。若对G中每点都成立，称（2）是在G的双曲型方程组。注：更一般地，若A的n个实特征值固有n个线性无关的特征向量时（或A可对角化时），称（2）是双曲型方程组。若A和C与u有关，称（2）为拟线性偏微分方程（双曲型）。若A与u无关，C与u有关，称为半线性偏微分方程（双曲型）。若A与u无关，C与u无关或线性地依赖于u，称（2）为线性偏微分方程组。1.1一阶线性双曲型方程初值问题简单介绍。现对一个方程，但a可正可负。 （3）由于，所以沿特征线的变化率为0，即沿特征线的值为常数。过任意一点的特征线 与的交点为，由于沿此特征线的值为常数，故有由点的任意性，可知初值问题（3）的解为1 迎风格式（Upwind Scheme） 由气体力学的含义，a(x)表示气流速度，故得此名。现考虑一个方程， 设a可正可负。设分别为时间和空间步长。对空间偏导数用不同的离散化方法（向后、向前、中心差分），可得：k+1k(j-1,k) (j,k)1） 称左偏心格式 k+1k(j,k) (j+1,k)2） 称右偏心格式 3） 称中心差分格式1），2）的误差阶为，3）的误差阶为。收敛性：设。如（P.127）图所示，当差分方程的依赖区域不包含微分方程的依赖区域时，差分解不收敛。因此有差分格式收敛的必要条件（Courant条件）： 差分方程的依赖区域必须包含微分方程的依赖区域。当时，格式1）和3）： 时，满足Courant条件；格式2）不能满足Courant条件；当时，格式2）和3）：时，满足Courant条件； 格式1）不能满足Courant条件。稳定性：由分离变量法，可得结论如下：格式1）稳定的充要条件：当时，； 格式1）只能用于的情况。格式2）稳定的充要条件：当时，；格式2）只能用于的情况格式3）绝对不稳定，不能用。2. Lax-Friedrichs格式在上述格式3）中如用代替，即得Lax-Friedrichs格式（也简称为Lax格式）：误差阶为。收敛的Courant条件和稳定的充要条件均为。3 利用特征线构造差分格式a) Lax-Wendroff格式利用特征线来构造（构造过程略）。 .截断误差阶为。稳定的充要条件为。利用特征线还可以构造一些其他的格式，如b) Beam-Warming格式它的稳定的充要条件为，从而可以加大时间步长,减少计算工作量。4 跳蛙格式(Leap-frog Scheme）两个偏导数均用中心差商离散，得跳蛙格式.这是一个三层格式。可改写为第一层上的值须用其他二层格式算出后才能应用此格式。截断误差阶为。它的特点是：精度比1和2中的格式高，与3 中的截断误差阶相同，但是比3 中的两个格式简单。由分离变量法可导出稳定的充要条件为。以上这些格式都可以推广到变系数方程。但稳定性分析较复杂，因此要使格式稳定，网比的大小不易确定。P.131的例子中初始条件的函数是间断函数。这种情况在实际问题中经常碰到。现在用4种方法求出了t = 0.5处的数值解，图中的实线为精确解，虚线为数值解。可以看出，对于Lax-Friedrichs 格式和迎风格式，在间断点附近逼近效果较差，而后两种格式（截断误差阶均为）逼近效果较好，但有振荡现象出现。要克服此类现象，要引进新的方法。1.2一阶线性双曲型方程混合问题对于一阶方程，只有一个边界条件。其边界条件与其他方程不同，要视a的正负而定。方程的特征线斜率为正，初值向右无限传播，只能在x的变化区域的左边界上给出边界条件；反之，方程的特征线斜率为负，初值向左无限传播，只能在x的变化区域的右边界上给出边界条件。 现不妨设考虑下列问题1最简隐格式在k+1层上两个偏导数都用向后差商离散：记，上面的格式可改写为 截断误差阶为，较低。由于是隐格式，绝对稳定。特点是由于左边界上的已知，因此此格式可直接算出其右边的而不用解方程组，如图。因此实际上是显格式。2Wendroff格式将最简隐格式与左偏心格式做加权平均，得：此格式的截断误差一般为。但特取时截断误差可达，此时的格式 称为Wendroff格式。它实际上也是显格式。Wendroff格式绝对稳定。一般地，可证明，上述当加权平均格式当时格式稳定。注1：对于前面的解初值问题的一些方法，由于缺少另一边的边界条件，不能随便移植到初边值问题上来，即使加上附加的边界条件（数值边界条件），也可能导致计算不稳定。注2：对于Wendroff格式，可推广到变系数方程，设 则格式为 截断误差为，但它的稳定性分析较复杂。一般地，取时，对x和a(x)满足一定的条件时，格式稳定。1.3一阶线性常系数双曲型方程组例：对波动方程的初值问题， 引进， 其中 ，, 是线性双曲型方程组 。对此模型问题，来构造差分格式。为方便起见，设 用不同的差商来代替，可得下列格式1、 显格式：（对t的偏导数都用向前差商，w对x在j点的偏导数用中心差商，v对x在点的偏导数用中心差商） 对初始条件：，由，化为，于是得：， 。由初始条件，由第一个方程算出第1层的，再由第2个方程算出。依次进行，已知k层的和，k+1kk+1k第一步： 第二步： (已知黑点，算出红点) 稳定性条件： 。2、 隐格式：（对t的偏导数都用向前差商，w对x在j点的偏导数用k 层和k+1层的中心差商的算术平均，v对x在点的偏导数用k 层和k+1层的中心差商的算术平均）(已知黑点，算出红点)k+1kk+1k第一步： 第二步： 两步均为隐式。为减少工作量，可用第二个方程消去第1个方程中的， ，得：是三对角方程组，先解出，再由第2个方程求，此时第2个方程成了显式，从而大大减少了工作量。由Fourier方法可证明隐格式无条件稳定。3、Lax-Friedrichs格式：是显格式。全取整节点。截断误差为。当 时格式稳定。4、Lax-Wendroff格式：略去高阶项，设，得：同理有：是显格式。截断误差阶为。当时格式稳定。作业：习题五 4，5。对于一般的n个函数的一阶线性方程组的初值问题，也可以建立一般的以向量和矩阵形式表示的差分方程。例如书上有Lax- Friedrichs格式表示为当时就是上面的Lax- Friedrichs格式。记 上式也可改写为 同样，对于Lax-Wendroff格式，用向量和矩阵可表示为其中当时就是上面的格式。 这两种格式的稳定性条件均为 另外书上还有一个与前面的一个方程时引进的跳蛙格式，以向量和矩阵形式可表示为 稳定性条件为 对于变系数双曲型方程的初值问题，即当矩阵A是x的函数时，也可建立相应的差分格式。如在书上P.136给出了如下的Lax-Wendroff格式：一般的推导较繁，但对波动方程的初值问题，引进，再按照上面的泰勒展开的推导思想易得上述公式。它的稳定性条件是 而对于一般的一阶方程组的初边值问题，要根据A的特征值的正负号给出相应的边界条件，才能使问题适定。A的若干特征值为正时，对应的方程的特征线斜率为正，初值向右无限传播，只能在x的变化区域的左边界上给出边界条件；反之，A的特征值若干为负时，对应的方程的特征线斜率为负，初值向左无限传播，只能在x的变化区域的右边界上给出边界条件。这里不进行深入的讨论。2 二阶线性双曲型方程的差分格式2.1一维波动方程1.二阶线性双曲型方程的最简模型：一维波动方程。初值问题： ， ， 其中设 如上节所示，可化成一阶方程组来求解，已构造了一些格式。下面介绍直接对二阶方程的差分化方法。2显格式设空间步长h，时间步长，作两族平行线。用中心差商代替二阶偏导数，得 截断误差为。初始条件离散为对后一个边值条件，也可用中心差商，误差为。但要消去。可令前面的差分格式中用代入，解出，代入边界条件的差分格式，可得：，其中为网比。于是差分格式也可化成 * K+1层 * * * K 层 * K-1层由初始条件，得和。可算出。计算层的一个点的值，用到k层上3个点和k-1层上一个点的值，是显格式。上述显格式也可用于解混合问题。稳定性分析上述显格式稳定的充分必要条件为（是稳定的必要条件，即稳定。反之不真）的几何解释： (j,k) * K 层 * * * K-1 层 * * * * * K-2 层 * * * K-3 层 由差分格式，知依赖于前2层， 和共4个值。这4个值又依赖于k-2层上5个值， k-3层上3个值，k-4层上一个值，等等。依次往下推，最终依赖于初始层层上的2k+1个值：，。在中的网点为差分解的依存域。 的决定域由过的两条直线所包含（图中蓝线）。而过的两条特征为（图中红线）。稳定性条件或（蓝线的斜率绝对值红线斜率绝对值）表示两条蓝线应在红线外（或重合）。如上图所示的情形是不稳定的。上图，。当步长（r固定不变）时，改变和上的初值，但上的初值不变，则差分解是一确定的数列，它仅依赖于其依存域上的值。但微分方程的解的值随着其依存域上值的改变而改变。显然差分解不收敛于微分方程的解。这说明：差分方程稳定的必要条件为差分解的依存域必须包含微分方程的依存域。结论：，差分解不仅不稳定，也不收敛。，差分解稳定且收敛。，当初值非常光滑时才稳定收敛（Courant等证明）3隐格式（Von Newmann格式 取）对，用层的中心差商的加权平均去代替，得下列差分格式：（保证中间项的权非负）是参数（权）。是古典显格式，是古典隐格式。当时，这里的隐格式称为Von Newmann格式。上面用一阶方程组得到的隐格式与它等价。稳定性和截断误差：时，此格式绝对稳定（充要条件）。时，时稳定（充要条件）（可用Fourier方法证明）。误差阶：4边界条件的处理 第一类边界条件可直接代入函数值。第三类边界条件的处理可参照抛物型方程的两种处理方法（见P.97）.在书上P.140只是介绍了一种一阶精度的方法。5一维变系数波动方程 对于二阶变系数方程的初值问题其中是有界的正函数。可以采用对t的导数用中心差商，这样就产生了k -1, k, k +1三层的格式。为了对称起见，对x的导数可采用三层的中心差商的加权平均，即对k -1和 k +1层的中心差商乘以，对k层的中心差商乘以，然后相加，即得（与上面的隐格式类似）稳定性条件：时，此格式绝对稳定；时，时稳定。类似地，截断误差与的取值有关。2.2二维波动方程1初值问题的显格式初值问题： 在点 微分方程的解的特征锥是 （一维是两条特征） 在X-Y平面上，方程解的依赖域是圆域 它的显格式和截断误差作为作业推导。2二维波动方程初边值问题的交替方向隐格式 与前一章的抛物型方程的交替方向隐格式类似，不同的是，二维抛物型方程的交替方向隐格式是二层格式，先用第一式由k层算出 k +层，再用第二式算出k +1层的值。而二维双曲型方程的交替方向隐格式是三层格式，先用第一式由k -1和k层算出 k +层，再用第二式（往往也是三层）算出k +1层的值。书上给出了两个加权的格式，比较复杂，每一层都要解一个三对角方程组，比二维抛物型方程的交替方向隐格式计算量大，但当时绝对稳定，比二维双曲型方程的隐格式（虽绝对稳定但要解一个个未知量的块三角方程组）计算量小。作业：1、推导二维波动方程，的初值问题的显格式，并导出截断误差。2、试用显格式求解下列混合问题（练习五 - 6）：取。算出层的数值解。3、试用Von Newmann格式求解下列混合问题（练习五 - 7）： 取。