高中数学（北师大版）选修2-2教案：第3章 拓展资料：导数与函数单调性交汇

导数与函数单调性交汇利用导数研究函数单调性是高考考查的重点，重点以三次函数、指数函数、对数函数为载体，近几年常考查以下几种题型。下面举例说明。一、 直接利用导数求单调区间例1、已知函数，求导函数，并确定的单调区间解：令，得当，即时，的变化情况如下表：0当，即时，的变化情况如下表：0所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减当，即时，所以函数在上单调递减，在上单调递减二、 给出函数在某个区间上的单调性，求参数范围例2、设a0，函数在上是单调递增函数，求a的取值范围。- 1 - / 4分析1：函数在上是单调递增函数，所以为函数的递增区间的子集，因此先求出函数的单调增区间。解法1：，令，得，或，故函数的单调递增区间为和因为函数在上是单调递增函数，所以，得所以a的取值范围是分析2：因为函数在上是单调递增函数，所以当时，恒成立。解法2：，因为函数在上是单调递增函数，所以当时，恒成立，即恒成立，这是要，又当时，所以，因为a0，所以a的取值范围是点评：“函数f（x）的单调递增（或递减）区间为A”与“函数f（x）在区间B内单调递增（或递减）”这两种说法是有区别的，它们的关系是，不要误认为是AB.例3、若函数，在区间（1，4）内是减函数，在区间上为增函数，求实数a的取值范围。解：，因为函数在区间（1，4）内是减函数，在区间上为增函数，所以当时，恒成立；当时，恒成立。因为为二次函数，（大致图象如图所示）所以，即，解得所以a的取值范围是5，7.三、 综合应用例4、已知函数（b，c为常数），（1）若f（x）在x1和x3处取得极值，试求b，c的值；（2）若f（x）在，上单调递增且在上单调递减，又满足，求证：；（3）在（2）的条件下，若，试比较与的大小，并加以证明。（1）解：由题意可得，因为f（x）在x1和x3处取得极值，所以的两根为1，3，从而有，所以（2）证明：若f（x）在，上单调递增且在上单调递减，说明是方程0的两根，则有，由，可得，即有.（3）解：由（2）的条件，有，从而有x，所以，又，所以，从而，故. 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！