余弦定理教学设计方案3刘亮生

人教A版必修五1.1.2余弦定理教学设计湖南省衡阳市第八中学 刘亮生 一、教学结构体系:1.前后内容联系:本节内容是普通高中课程标准实验教科书数学必修5（人教A版）第一章余弦定理第一课时(余弦定理安排2课时)，是在学生学习了三角函数、向量等知识之后，是对三角知识的应用，也是对解直角三角形内容的直接延伸，定理本身的应用十分广泛.2.本节课的结构:分组合作，探究问题应用定理，解决问题综合拓展，升华问题创设情境，引出问题二、学生学情分析: 对普高高二的学生来说，已学的平面几何、解直角三角形、三角函数、向量等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。根据以上特点，教师应多加强引导，注重前后知识间的联系。培养学生积极参与分析问题、小组合作，探究问题、运用知识解决问题。三、教学目标、重点与难点分析：1.教学目标：（1）知识目标：掌握余弦定理的内容及其证明方法，能运用余弦定理解解斜三角形的.（2）能力目标：通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力. 2.教学重点：三角形边角关系的探索；余弦定理的发现与证明；余弦定理的简单应用。 3.教学难点：余弦定理的证明，余弦定理的拓展。三、教学过程：BA（一）创设情境，引出课题：BA情境1:如图1所示，两地之间的距离怎么测定？ 情境2:如图2所示，两地之间隔着一座小山，现要在之间修建的一条隧道，工程技术人员如何测量隧道的长度？ （工具：皮尺、水平测距仪、测角仪） 问题1:上述两问题区别在哪里，分别如何解决？学生：情境1中两点间（无障碍）可直接到达，可直接用测量工具（水平测距仪）测量，ABC情境2中两点间（有障碍）不可到达，直接用测量工具（水平测距仪）测不出来。 教师：如果你是工程测量技术人员，你会怎么解决情境2中的问题？学生：在两地以外选择点，使可直接用测量工具测出距离。教师：仅仅测出的距离，就能得到之间的距离吗？学生：不行，我们还可以用测角仪测出的 大小，通过解三角形求的长度。教师：若将情境2问题化归为解三角形问题，则该问题是解三角形的什么问题？学生：已知三角形的两边及夹角，求第三边问题。 教师：本节课我们将要探究的问题是:在已知三角形两条边的长度前提下,其夹角与第三条边的长度之间关系，这正是余弦定理所揭示的规律-引入课题.设计意图：通过实例创设情境，引发学生对本节课的兴趣，同时抽象出数学问题引入新课. （二）问题化归，构建模型： 问题2:如图3在中，已知,当变大时,线段的长度的如何变化？ 教师：（用动画演示） 学生：当变大时,线段的长度变大。 教师：刚才我们只是对中，已知,的变化与线段的长度的变化趋势作了定性分析；那么在中的大小与线段的长度是否有确定的关系，若有，如何寻找？学生：解三角形.（3） 解证模型，得出定理： 问题3：如图在中，已知,当时,线段的长度为多少？（用）（PPT展示三种类型三角形）ACBba方法一：（构造直角三角形） 解：(1)当为直角时,.(2)当为锐角时,过点A作ACBbaD =.(3)当为钝角时, 过点A作交BC的延长线于D. 则ACBbaD =.综上所述,均有成立.教师：这种思路是构造直角三角形,利用勾股定理来计算AB的长,但要注意这里要分三种情况讨论.除了用构造三角形的方法，通常我们求两点间距离还有什么方法？学生：向量的模长、两点间的距离公式。教师：（引导学生小组探究，用向量的方法证明结论）方法二：（构造向量数量积）ABC 证明：如图，因为，所以 即 即成立. 教师：这种方法的思路是构造向量,借助向量的运算来证题.将向量等式转化数量等式常用的手段是作数量积.方法三：（建立直角坐标系） 证明：ACBBB建立如图所示的直角坐标系，则，根据两点间的距离公式，可得，所以， 教师：这种思路是建立平面直角坐标系,借助于坐标运算来证题.利用坐标法的优点在于不必分类讨论了且运算简单.设计意图：通过对情境问题的探究，将实际问题生成数学问题，并运用多种方法予以证明，充分培养学生的发现问题、探究问题解决问题的能力，同时也培养了学生发散性思维能力. 问题4：以上结论为余弦定理，如何用文字语言与符号语言表示以上定理？你能说出来吗？ 教师：大家观察我们刚才证明的式子，如果把它们平方就可以得出结论？ 学生：，即. 教师：同理这个式子也可以用来求另外两边，你能把其他两边也用式子表示出来吗？ 学生：能，； . 教师：很好,这三个式子就是余弦定理的符号语言表述形式,这个式子非常美观,便于记忆,希望大家好好记忆,请问那位同学能用文字语言把它表述出来吗? 符号语言： ； ； . 文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与他们的夹角的余弦的积的两倍.设计意图：让学生用两种数学语言表述已经证明的定理，加深对定理的理解，提高学生的语言表达能力及数学语言间的转换能力，特别是符号语言表述结构具有轮换对称美，便于记忆.（四）合理变型，深化理解： 问题5：余弦定理是关于三角形的三条边与其中的一个角之间的关系。应用余弦定理，我们可以由三角形的三边来确定三角形的角吗？怎么确定？ 学生：求角我们可以把上面的式子变形，使角和边分离. 教师：很好，那大家动手写一下，看看公式变成什么样子？ 学生：；. 教师：看来大家都不错，我们把刚才变形之后的公式叫做余弦定理的推论.余弦定理推论：； ；.设计意图：对公式进行变形，学生很明确就能发现如何知道三角形的三边求角. 问题6：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形三边的平方之间的关系，如何看待这两个定理之间的关系？ 教师：你们如何看待以上的问题？能得到什么结论？ 学生：勾股定理是余弦定理的特殊情况，余弦定理是勾股定理的推广.教师：能否根据余弦定理的推论来判定三角形的每个角是锐角、直角钝角？如何判断？ 学生：能，根据余弦定理推论来判定角的余弦的符号，若，则A是锐角；若，则A是直角；若，则A是钝角.教师： （大家一起归纳） 1. ； 2. ； 3. . 教师：判定三角形形状关键是判定哪个角？ 学生：判定最大角. 教师：很好，在知道三角形三边的前提下，要判断三角形形状，只要判断最大角的大小即可；刚才我们对余弦定理及推论进行了探讨，大家议一议，余弦定理可以解决一些什么问题？ 学生：1.已知三角形两边及夹角，求第三边； 2.已知三角形三边，求任意一角；3.判定三角形形状.设计意图：发现勾股定理与余弦定理之间的区别与联系，并能运用定理判断角的范围，从而判定三角形的形状.（五）运用定理，解决问题： 例1.在，,求边的长度（精确到）？ 解：根据余弦定理， 例2.在，,求该三角形的最大角与最小角的余弦值，并请判定该三角形的形状. 解：，,根据余弦定理，;.,为锐角三角形.（6） 随堂训练，巩固反馈： 1.已知在中，那么等于（ B ） A、 B、 C、 D、 2.已知在中，则等于( A ) A、123 B231 C132D312 3.若三条线段的长为5、6、8，则用这三条线段（ C ） A、能组成直角三角形 B、能组成锐角三角形 C、能组成钝角三角形 D、不能组成三角形七.课时小结：（一）.探究过程： 1.创设情境，引入课题；2.问题化归，构建模型；3.解证模型，得出定理； 4.合理变型，深化理解；5.运用定理，解决问题；6.随堂训练，巩固反馈.（二）.知识体系： 1.余弦定理： 文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与他们的夹角的余弦的积的两倍. 符号语言： ； ； . 2.余弦定理推论：; ;. 3.余弦定理的应用： 1.已知三角形两边及夹角，求第三边；2.已知三角形三边，求任意一角；3.判定三角形形状.（三）.探究思想方法： 1.从特殊到一般思想；2.转化化归思想；3.归纳猜想思想；4.数形结合思想.八作业：必做：教材P10 习题1.1 A组 3、4.选做：教材P10 习题1.1 B组 2. 思考题：已知a、b、c为ABC的三边，且a2-a-2b-2c0，a2b-2c30，求这个三角形的最大内角