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初等数学模型v问题一：公平的席位分配问题v公平的席位分配是人类社会中相当普遍的一类权益分配问题，这个问题来源于美国众议院议员在各州的名额分配问题。1苍柏课资 席位分配问题 某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各有多少个席位？按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则Npqm 表示某单位的席位数m 表示某单位的人数p 表示总人数N 表示总席位数q1 问题的提出问题的提出2苍柏课资2020个席位的分配结果个席位的分配结果系别人数所占比例分配方案席位数甲100100/200(50/100)20=10乙6060/200(30/100)20=6丙40 40/200(20/100)20=4现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。系别人数所占比例分配方案席位数甲103103/200=51.5% 51.5 %20 =10.3乙6363/200=31.5%31.5%20=6.3丙34 34/200=17.0%17.0%20=3.410641064现象现象1 1 丙系虽少了丙系虽少了6 6人，但席位仍为人，但席位仍为4 4个。（不公平！）个。（不公平！）3苍柏课资为了在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一个席位。2121个席位的分配结果个席位的分配结果系别人数所占比例分配方案席位数甲103103/200=51.5% 51.5 %21 =10.815乙6363/200=31.5%31.5%21=6.615丙34 34/200=17.0%17.0%21=3.5701173现象现象2 2 总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！）总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！）惯例分配方法惯例分配方法：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。按惯例分给小数部分较大者。存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？4苍柏课资2 建模分析建模分析目标：建立公平的分配方案。反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数每席位代表的人数来衡量。系别 人数 席位数每席位代表的人数公平程度甲1031031010103/10=10.3103/10=10.3中中乙63636 663/6=10.563/6=10.5差差丙34 34 4 434/4=8.534/4=8.5好好系别人数席位数每席位代表的人数甲1001001010100/10=10100/10=10乙60606 660/6=1060/6=10丙40 40 4 440/4=1040/4=105苍柏课资系别人数席位数每席位代表的人数公平程度甲1031031111103/11=9.36103/11=9.36中中乙63637 763/7=963/7=9好好丙34 34 3 334/3=11.3334/3=11.33差差一般地，单位人数席位数每席位代表的人数A AB B1p2p1n2n11np22np当2211npnp席位分配公平6苍柏课资但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来判断。准。称为“绝对不公平”标 ) 12211npnp此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。单位人数p席位数n每席位代表的人数绝对不公平标准A120101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100C,DC,D的不公平程度大为改善！7苍柏课资2） 相对不公平np表示每个席位代表的人数，总人数一定时，此值越大，代表的人数就越多，分配的席位就越少。2211npnp则A吃亏,或对A 是不公平的。定义“相对不公平”则称，若 2211npnp1),(122122221121npnpnpnpnpnnrA对A 的相对不公平值；同理，可定义对B 的相对不公平值为：8苍柏课资则称，若 2211npnp1),(211211112221npnpnpnpnpnnrB对B 的相对不公平值；建立了衡量分配不公平程度的数量指标BArr ,制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。3 3 建模建模模型模型1 1若A、B两方已占有席位数为,21nn用相对不公平值讨论当席位增加1 个时，应该给A 还是B 方。不失一般性， 2211，若npnp有下面三种情形。9苍柏课资情形情形1 1 1 2211，npnp说明即使给A 单位增加1席，仍对A 不公平，所增这一席必须给A单位。情形情形2 2 1 2211，npnp说明当对A 不公平时，给A 单位增加1席，对B 又不公平。计算对B 的相对不公平值1) 1() 1() 1(), 1(211211112221npnpnpnpnpnnrB情形情形3 3 1 2211，npnp说明当对A 不公平时，给B 单位增加1席，对A 不公平。计算对A 的相对不公平值1) 1() 1() 1() 1,(122122221121npnpnpnpnpnnrA10苍柏课资),1,(), 1(2121nnrnnrAB若则这一席位给A 单位，否则给B 单位。1) 1(), 1(211221npnpnnrB1) 1() 1,(122121npnpnnrA12212112) 1() 1(npnpnpnp(*) ) 1() 1(11222212nnpnnp结论结论：当（当（* *）成立时，增加的一个席位应分配给）成立时，增加的一个席位应分配给A A 单位，单位，反之，应分配给反之，应分配给 B B 单位。单位。11苍柏课资记记21 ) 1(2, innpQiiii则增加的一个席位应分配给则增加的一个席位应分配给QQ值值 较大的一方。较大的一方。这样的分配席位的方法称为QQ值方法值方法。若A、B两方已占有席位数为,21nn4 4 推广推广 有m 方分配席位的情况设iA方人数为ip，已占有in个席位，mi,2, 1当总席位增加1 席时，计算m, innpQiiii, 21 ) 1(2则1 席应分给Q值最大的一方。从1in开始，即每方至少应得到以1 席，（如果有一方1 席也分不到，则把它排除在外。）12苍柏课资v设有k个部门，每个部门的人数分别 为 ,总人数N，待分配的席位为m，理想化的席位分配结果为 , 记 显然，若全为整数时，应有 当不全为整数时，需要确定同时满足下列公理的公平分配方案：knnn,21模型2),2, 1(kipi ), 2 , 1(kimnnqii ), 2 , 1(kiqpii 13苍柏课资v公理1、 ，即 取 ，其中 ， ， 表示 的整数部分。v公理2、 v，即总席位增加时，各个部门的席位数不会减少。v公理1显然满足Young公理的公理IV（公平分摊性），公理2显然满足Young公理的公理I（人口单调性）和公理III（名额单调性）kiqpqiii, 2 , 1 iiqq或xx1xxxkinnnmpnnnmpkiki, 2 , 1), 1(),(2121 ipx14苍柏课资设总人数为设总人数为n，总席位数为，总席位数为m，第，第个部门的人数为个部门的人数为 ，令，令称其为对第称其为对第个部门的绝对不公平值。令个部门的绝对不公平值。令称其为对第称其为对第个部门的相对不公平值，或称为相对尾数。个部门的相对不公平值，或称为相对尾数。15苍柏课资v由于人口数是整数，为使分配公平，需所有的 越小越好，所以公平的分配方案应该是最大的 达到最小，亦即所有的达到最小。v为方便起见，首先考虑只有两个部门的情况，并且 ， 和 不全是整数（实际上，它们同为整数或小数）。irir21nn 1q2q记记 ，即，即 为为的小数部分。的小数部分。16苍柏课资v 定理 、满足公理1、2的分配方案为：v(1) 若 ，且 ，则取 ，v（即“比例加惯例”的方法）。v(2) 若 ，则取得结果同上. v(3) 若 ，则取111mnnp21rr )()(21mnnmnn22mnnp 21rr 21rr 11mnnp 122mnnp17苍柏课资v按照定理，对三个部门，设全不为零（若有一个为零，实则按两个部门进行分配），可以做以下公平的分配18苍柏课资v当 时；按比例取整后，多余的席位分配给小数部分较大的部门（比例加惯例的方法）。v当 时；按比例取整后，若多余一个席位，则分配给第一个部门，若多余两个席位，则分配给第一个部门及第二、三部门中小数部分较大的部门。321rrr321rrr19苍柏课资v当时 ；按比例取整后，若多余一个席位，则分配给第一、二部门中小数部分较大的部门，若多余两个席位，则分配给第一部门和第二部门。v当时 ；按比例取整后，若多余一个席位，则分配给第一部门；若多余两个席位，则分配给第一部门和第二部门。321rrr321rrr20苍柏课资v一般地，对 个部门，设 不全为零，且 ，则当 时，将剩余的 个席位分配给第一至第 个部门，当 时，将剩余的 个席位分配给第一至第 -1个部门及 ( 较大的一个部门。 kkrrr,21 krrr 211ttrrkiimnnmt1t1ttrrkiimnnmt1t)(mnni）或1tti21苍柏课资单单位位人人数数2020个席位个席位2121个席位个席位分配比例分配比例 X X，BQ Q，H分配比例分配比例X XB BQ QH H1 110310310.310.31010111110.81510.81510101111111112122 263636.36.36 66 66.6156.6157 77 76 66 63 334343.43.44 43 33.573.574 43 34 43 3总总和和20020020202020202021212121212121212121X-X-表示相对尾数法分配结果，表示相对尾数法分配结果，B-B-表示比例加惯例分配结果，表示比例加惯例分配结果，Q-Q-表示表示Q-Q-值法值法分配结果，分配结果，H-H-表示表示d dHondtHondt法（文法（文11）分配结果）分配结果22苍柏课资5 举例举例甲、乙、丙三系各有人数103，63，34，有21个席位，如何分配？按按Q值方法：值方法：3 , 21 ) 1(2, innpQiiii1, 1, 1321nnn785) 11 ( 134, 5 .9841) 11 ( 163 5304.5,) 11 ( 1103232221QQQ785) 11 ( 134, 5 .9841) 11 ( 1632 .7681) 12(2103232221QQQ23苍柏课资练习练习学校共1000学生，235人住在A楼，333人住在B楼，432住在C楼。学生要组织一个10人委员会，试用惯例分配方法， dHondt方法和Q值方法分配各楼的委员数，并比较结果。24苍柏课资dHondt方法有k个单位，每单位的人数为 pi ，总席位数为n。做法：用自然数1,2,3,分别除以每单位的人数，从所得的数中由大到小取前 n 个，（这n 个数来自各个单位人数用自然数相除的结果），这n 个数中哪个单位有几个所分席位就为几个。25苍柏课资
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