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01、如图,已知ABC中,AB=AC,ADAB于点A,交BC边于点E,DCBC于点C,与AD交于点D,(1)求证:ACE ADC;(2)如果CE1,CD2,求AC的长.02、一旅游者骑自行车沿正东方向笔直的公路BC行驶,在B地测得某建筑物A在北偏东45方向,行驶10分钟后到达C地,测得建筑物A在北偏西60方向.如果此旅游者的速度为12千米/时,求建筑物A到公路BC的距离(结果可保留根号).03、“开发西部”是我国近几年的一项重要的战略决策。“攻坚”号筑路工程队在西部某地区修路过程中需要沿AB方向开山筑隧道(如图),为了加快施工进度,要在山的对面同时施工。所以,需要确定山对面的施工点。工程技术人员从AB上取一点C,测出以下数据:ACD的度数、CD的长度及D的度数。(1)若ACD=135,CD=500米,D=60,试求开挖点E离开点D的距离(结果保留根号);(2)若ACD=,CD=m米,D =,试用、和m表示开挖点E离开点D的距离。(只需写出结论。)04、如图, 点A的坐标为(0,5),点B在第一象限,AOB为等边三角形,点C在x轴正半轴上.(1)以AC为边,在第一象限作等边ACE(保留作图痕迹,不写作法和证明). (2)设AC与OB的交点为D,CE与AB的延长线交于F,求证:ADBAFC.(3)连结BE,试猜想ABE的度数,并证明你的猜想.(4)若点E的坐标为(s,t),当点C在x正半轴运动时,求s、t的关系式.EDBCA05、如图所示,ACB=90,DFAB于F,sinB=,且CE=5,求: (1)BC的长; (2) .06、如图,已知矩形,在BC上取两点E,F(E在F左边),以EF为边作等边三角形PEF,使顶点P在AD上,PE,PF分别交AC于点G,H (1)求PEF的边长; (2)求证:;(第06题图) (3)若PEF的边EF在线段BC上移动试猜想:PH与BE有何数量关系?并证明你猜想的结论07、如图,在ABC中,C=90,AC=4,BC=3,O是AB上一点,且AO:OB=2:5(1) 过点O作OHAC垂足为H,求点O到直线AC的距离OH的长;(图1)(2) 若P是边AC上的一个动点,作PQOP交线段BC于Q(不与B、C重合)(图2) 求证:POHQPC; 设AP=,CQ=,试求关于的函数解析式,并写出定义域;当AP= 时,能使OPQ与CPQ相似(直接写出结果)08、如图,以O为原点的直角坐标系中,A点的坐标为(0,1),直线x=1交x轴于点B。P为线段AB上一动点,作直线PCPO,交直线x=1于点C。过P点作直线MN平行于x轴,交y轴于点M,交直线x=1于点N。(1)当点C在第一象限时,求证:OPMPCN;(2)当点C在第一象限时,设AP长为m,四边形POBC的面积为S,请求出S与m间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;(3)当点P在线段AB上移动时,点C也随之在直线x=1上移动,PBC是否可能成为等腰三角形?如果可能,求出所有能使PBC成为等腰直角三角形的点P的坐标;如果不可能,请说明理由。09、如图,O的直径AB=4,C为圆周上一点,AC=2,过点C作O的切线l,过点B作l的垂线BD,垂足为D,BD与O交于点 E (1) 求AEC的度数; (2)求证:四边形OBEC是菱形(圆、三角形、特殊四边形)10、如图2412所示,EF为梯形ABCD的中位线AH平分DA B交EF于M,延长DM交AB于N求证:AADN是等腰三角形11、如图矩形ABCD中,过A,B两点的O切CD于E,交BC于F,AHBE于H,连结EF。求证:CEFBAH,若BC2CE6,求BF的长12、如图,在ABC的外接圆O中,D是的中点,AD交BC于点E,连结BD(1)列出图中所有相似三角形;(2)连结DC,若在上任取一点K(点A,B,C除外),连结交BC于点F, 是否成立?若成立,给出证明;若不成立,举例说明13、如图,在ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动设BD=x, CE=y (l)如果BAC=300,DAE=l050,试确定y与x之间的函数关系式; (2)如果BAC=,DAE=,当, 满足怎样的关系时,(l)中y与x之间的函数关系式还成立?试说明理由14、某社区拟筹资金2000元,计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木(如图所示),他们想在AMD和BMC地带种植单价为10元/米2的太阳花,当AMD地带种满花后,已经花了500元,请你预算一下,若继续在BMC地带种植同样的太阳花,资金是否够用?并说明理由.15、如图,E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点,若矩形ABCD矩形EABF,AB=1.求矩形ABCD的面积. 16、如图5,路边有两根电线杆相距4米,分别在高为3米的A处和6米的C处用铁丝将两杆固定,求铁丝AD与铁丝将两杆固定,求铁丝AD与铁丝BC的交点M处离地面的高MH.17、如图,在矩形 ABCD中,AB=3 , BC =2, 点A的坐标为(1 , O ) ,以CD为直径,在矩形ABCD内作半圆,点M为圆心, 设过 A 、B 两点抛物线的解析式为 y =ax2+ bx c. 顶点为点N .( 1 )求过 A 、C 两点直线的解析式;( 2 )当点 N 在半圆M内时,求a的取值范围;( 3 )过点 A 作M 的切线交 BC于点F, E为切点,当以点A 、F 、B为顶点的三角形与以点C 、N 、M 为顶点的三角形相似时,求点N的坐标18、若,则 ;若,且,则 , , 。19、若,则 。20、如图,在ABCD中,E为BC上一点,BEEC23,AE交BD于点F,则BFFD 。21、已知如图,ABCD,AD与BC相交于点O,则下列比例式中正确的是( ) A、 B、 C、 D、 22、如图,在ABC中,ADDFFB,AEEGGC,FG4,则( )A、DE1,BC7 B、DE2,BC6C、DE3,BC5 D、DE2,BC823、如图,BD、CE是ABC的中线,P、Q分别是BD、CE的中点,则PQBC( ) A、13 B、14 C、15 D、1624、如图,BC4CD,若,则( )A、 B、2 C、 D、425、已知如图,ADDEEC,且ABDFEH,AH交DF于K,求的值。26、如图,ABCD中,EF交AB的延长线于E,交BC于M,交AC于P,交AD于N,交CD的延长线于F。求证:。27、如图,已知梯形ABCD中,ADBC,ABDC3,P为BC上一点,PEAB交AC于E,PFCD交BD于F,设PE、PF的长分别为、,。那么当点P在BC边上移动时,的值是否变化?若变化,求出的范围;若不变,求出的值,并说明理由。 3如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于O,M、N分别为A原中点,MN交AC、BD于E、F。求证:BDOE=ACOF.如图,取AB的中点G连结GM,GN因为M、N分别为AD,BC中点所以GMBD,GM=BDGNAC,GN=AC所以GMD=OFE,GNM=OEF所以GMNOFE所以GM:OF=GN:OE即BD:=AC:OE所以BCOE=ACOF中考几何常见辅助线介绍一.过角平分线上一点向角两边作垂线段,利用角平分线上的点到角两边距离相等去作题1如图在四边形ABCD中,BCBA,AD=DC,BD平分ABC求证:.ADBC2已知:如图,在ABC中,A=90,AB=AC,1=2,求证:BC=AB+ADABCD123如图,ABCD中,E是DC上一点,F是AD上一点,AE交CF于点O,且AE=CF.求证:OB平分.DECBOFA二有和角平分线垂直的线段时,把它延长可得到中点或相等的线段,从而与三角形中位线或三角形全等建立起联系ABCHD124已知:如图,1=2,ABAC,CDAD于D,H是BC中点,求证:DH=(ABAC)5已知:如图,AB=AC,BAC=90,1=2,CEBE,求证:BD=2CEABCED12三.有角平分线时,常作平行线,构造等腰三角形。(角平分线+平行线等腰三角形.)ABCFED6已知:如图,中,D、E在BC上,且DE=EC,过D作DFAB,交AE于点F,DF=AC.求证:AE平分.四、有中线时可延长中线,构造全等三角形或平行四边形:ABDC7已知:如图,AD为中线,求证:.ABCENDM8. 已知:如图,AD=AC,AB=AE,M为BC中点,AM的延长线交DE于N求证:ABCEND9已知:如图,的边BC的中点为N,过A的任一直线于D,于E.求证:NE=ND.五、作斜边中线,利用斜边中线性质解题10.如图,在中,AB=AC,O为BC的中点. 写出点O到的三个顶点A、B、C的距离的关系(不变证明)AMBOCN 如果点N、M分别在线段AB、AC上移动,在移动中保证AN=BM,请判断OMN的形状,并证明你的结论.六、有中点,造中位线ABDCE11.如图,在中,AD是BC边上的高,点E为BC的中点,求证:AB=2DE.12.已知:如图,E、F分别为四边形ABCD的对角线中点,ABCD.求证:.ADFEBC七、有底中点,连中线,利用等腰三角形三线合一性质证题13.已知:如图,矩形ABCD,E为CB延长线上一点,且AC=CE,F为AE中点,求证:.ADCFEB九、有中点、造中垂14.已知:如图,在矩形ABCD中,点M是AD中点,点N是BC中点,P是CD延长线上一点,PM交AC于Q,MN交AC于O.求证:.ABNCODPMQ九、与梯形中点有关的辅助线:有腰中点时,常见以下三种引辅助线法ADFBC(1)EADBC(2)EGADBC(3)EE15.已知:如图,在梯形ABCD中,ABCD,M为AD中点,且.求证:(1)BM平分,CM平分.(2).AMDCB(上海卷)已知点在线段上,点在线段延长线上以点为圆心,为半径作圆,点是圆上的一点(1)如图,如果,求证:;(2)如果(是常数,且),是,的比例中项当点在圆上运动时,求的值(结果用含的式子表示);(3)在(2)的条件下,讨论以为半径的圆和以为半径的圆的位置关系,并写出相应的取值范围解 (1)证明:, , , (2)解:设,则,是,的比例中项, 得,即 是,的比例中项,即, 设圆与线段的延长线相交于点,当点与点,点不重合时, ;当点与点或点重合时,可得,当点在圆上运动时,; (3)解:由(2)得,且,圆和圆的圆心距,显然,圆和圆的位置关系只可能相交、内切或内含当圆与圆相交时,得,; 当圆与圆内切时,得; 当圆与圆内含时,得 (福建龙岩卷)如图,已知抛物线与坐标轴交于三点,点的横坐标为,过点的直线与轴交于点,点是线段上的一个动点,于点若,且(1)确定的值:;(2)写出点的坐标(其中用含的式子表示):;(3)依点的变化,是否存在的值,使为等腰三角形?若存在,求出所有的值;若不存在,说明理由解 (1) (2)(3)存在的值,有以下三种情况当时,则当时得当时,如图解法一:过作,又则又解法二:作斜边中线则,此时解法三:在中有(舍去)又当或或时,为等腰三角形福建厦门课改A卷)已知P(,)是抛物线上的点,且点P在第一象限.(1)求的值(2)直线过点P,交轴的正半轴于点A,交抛物线于另一点M.当时,OPA=90是否成立?如果成立,请证明;如果不成立,举出一个反例说明;OPAM当时,记MOA的面积为S,求的最大值.解 (1) (2)b=2a, P在直线上,则 A(2,0) M(-1,a) OPA=90 即, , P(1,1) 故存在这样的点P 又 S= 当时,5、(福建漳州卷)如图,已知矩形,在上取两点(在左边),以为边作等边三角形,使顶点在上,分别交于点(1)求的边长;(2)在不添加辅助线的情况下,当与不重合时,从图中找出一对相似三角形,并说明理由;(第27题)(3)若的边在线段上移动试猜想:与有何数量关系?并证明你猜想的结论解 (1)过作于矩形,即,又是等边三角形1234在中的边长为(2)正确找出一对相似三角形正确说明理由方法一:理由:矩形方法二:理由:矩形又(3)猜想:与的数量关系是:12345678证法一:在中,是等边三角形证法二:在中,是等边三角形,在中,即在中,证法三:在中,是等边三角形即把代入得,4已知ABC中,AB=AC=2,AB边上的高CH为,正方形DEFG的DE边在BC上,F、G分别在AC、AB上,求:DE的长度。(1)当BAC 锐角时,如图,作BC边上的高AK,交GF于MAH=1所以AH=BH=AB,因为CHAB所以AB=AC=BC=2,所以AK=设正方形边长为X因为FGBC,所以AGFABC所以GF:BC=AM:AK所以X:2=(-X):所以X=-6即正方形边长为-6(2)当BAC为钝角时,如图,作BC边上高AK在RtACH中,AH=1所以BH=AB+AH=3所以RtBHC中,BC=2在RtABK中,AK=1因为FGBC,所以AFGABC,所以X=2=(1-X):1所以X=即正方形边长为5已知,如图,锐角ABC中,ADBC于D,H为垂心(三角形三条高线的交点);在AD上有一点P,且BPC为直角。求证:.如图,连结GH并延长交AB开E则CEAB所以RtABDRtCHD所以AD:CD=BD:HD,所以ADHD=BDCD又BPDPCD所以BD:PD=PD:CD所以PD=BDCD所以PD=ADHD.9如图,点为直线上的两点,过两点分别作y轴的平行线交双曲线()于两点. 若,则 的值为 .(第10题)(第9题) 10如图,在RtABC中,斜边AB的长为35,正方形CDEF内接于ABC,且其边长为12,则ABC的周长为 .11已知:不论k取什么实数,关于x的方程(a、b是常数)的根总是x1,试求a、b的值。12.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1,求的值. 14如图,ABC中,点P在ABC内,且,求ABC的面积(第14题)答案:1084 11. 解:把x1代入原方程并整理得(b4)k72a要使等式(b4)k72a不论k取什么实数均成立,只有解之得,12解:设方程的两个根为,其中为整数,且,则方程的两根为,由题意得,两式相加得 , 即 , 所以 或 解得 或又因为 所以;或者,故,或29.14解:如图,作ABQ,使得则ABQACP . 由于,所以相似比为2.于是(第14题). 由知,于是所以 ,从而于是 . 故 2如图1,在正方形ABCD中,N是CD的中点,M是AD上异于D的点,且NMB=MBC,则AM:AB=( )A; B; C; D解如图,延长MN交BC的延长线于T,设MB的中点为O,连TO,则BAMTOBAM:MB=OB:BTMB=2AMBT (1)令DN=1,CT=MD=k,则AM=2 k 所以BM=BT= 2 + k代入(1),得4 + (2 k )= 2 (2 k ) (2 + k ) 所以 k = 所以AM:AB=:2 = 2如图,在ABC中,AB=2,AC=, A=BCD=45,求BC的长及BDC的面积。解:如图,作CEAB于E,则CE=AE=所以BE=AB-AE=2 - 又所以BC=再过D作DFBC,交CB延长线于F,并设DF=CF=x,则BF= x BC = x + 1 - 又RtDFBRtCEB,所以DF:BF=CE:BE,即x:(x + 1 - ) = 所以x = 所以4若,且满足,则的值为( ).(A)1 (B)2 (C) (D)答案:C6若a是一个完全平方数,则比a大的最小完全平方数是 .。7若关于的方程有三个根,且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长,则的取值范围是 .答案:6. 73m4.3、在等边三角形ABC所在的平面内存在点P,使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形.请指出具有这种性质的点P的个数( ) (A)1 (B)7 (C)10 (D)15答案:C.总结总结(国家机密不可泄露)不要因此而放弃! 加油吧,你会成功的,我相信你!
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