《复数代数形式的乘除运算》课件2

【课标要求】 1掌握复数代数形式的四则运算 2会在复数范围内解方程 复数的代数形式的乘除运算 1一般地，对任意两个复数abi，cdi(a，b，c，dR)，有 加法：(abi)(cdi) ； 减法：(abi)(cdi) ； 乘法：(abi)(cdi) . 即两个复数abi，cdi(a，b，c，dR)的加、减、乘运算，可以先看作以i为字母的实系数多项式的相应运算来进行，再将i21代入，将 分别合并，就得到最后的结果 自学导引 (ac)(bd)i (ac)(bd)i (acbd)(adbc)i 实部和虚部 2对于任意两个复数 abi，cdi(a，b，c，dR)，当 cdi0 时， (abi) (cdi)abicdiabicdicdicdi . 即两个复数相除的本质 分母实数化 acbdc2d2adbcc2d2i 如何在复数范围内解方程x21? 自主探究 提示 设xabi(a，bR)是方程x21的复数根 则(abi)21(a2b2)2abi1 a2b212ab0 解得 a0，b1或 a0，b1. 故方程x21的两个复数根为 i. 1若z32i4i，则z等于 ( ) A1i B13i C1i D13i 解析 z(4i)(32i)13i. 答案 B 预习测评 2若复数z11i，z23i，则z1z2 ( ) A42i B2i C22i D3i 解析 z1z2(1i)(3i)42i，故选A. 答案 A 35(32i)_. 答案 22i 4复数11i的虚部是_ 解析 11i1i1i1i1i21212i. 虚部为12. 答案 12 设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则有z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i. 即两个复数相加(减)，就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，由此可知： (1)两个复数的和(差)仍是一个确定的复数 (2)该法则可以推广到多个复数相加(减) (3)复数加法满足交换律与结合律，即对任意的复数z1，z2，z3，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3) 名师点睛 1复数代数形式的加、减法运算法则 (1)复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但必须在所得的结果中把i2换成1，并且把实部、虚部分别合并 (2)复数乘法的运算律 对于任意的z1，z2，z3C，有 z1z2z2z1(交换律)， (z1z2)z3z1(z2z3)(结合律)， z1(z2z3)z1z2z1z3(乘法对加法的分配律) 2复数代数形式的乘法运算法则 (3)多项式的乘法公式对复数仍然适用 如(abi)(abi)a2(bi)2a2b2， (abi)2a22abi(bi)2(a2b2)2abi. (4)实数集R中正整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然适用，即对z1，z2，zC及m，nN，有 zmznzmn， (zm)nzmn， (z1z2)mzz. 注意指数m，n必须为正整数 3复数代数形式的除法运算法则 在无理式的除法中，利用有理化因式可以进行无理式的除法运算类似地，在复数的除法运算中，也存在所谓“分母实数化”问题将商abicdi的分子、分母同乘以cdi，最后结果写成实部、虚部分开的形式：abicdiabicdicdicdiacbdadbcic2d2acbdc2d2adbcc2d2i即可 4一元二次方程的有关问题 (1)实系数一元二次方程 设ax2bxc0(a0)是实系数一元二次方程， b24ac是它的判别式，则 当0时，方程有两个不相等的实根b 2a； 当0时，方程有两个相等的实根b2a； 当0时，方程有两个不同的虚根b2a 2ai. (2)非实系数一元二次方程 设ax2bxc0(a0，a，b，cC，且a，b，c不全为实数)是非实系数一元二次方程 则：求根公式仍适用，即xb 2a. 根与系数的关系仍适用，即 x1x2ba，x1 x2ca. 判别式对根及个数的判定不适用 【例1】 计算(1)5i(34i)(13i)； (2)(abi)(2a3bi)3i(a，bR) 解 (1)5i(34i)(13i) 5i(4i) 44i. 典例剖析 题型一 复数的加减运算 (2)(abi)(2a3bi)3i(a2a)b(3b)3ia(4b3)i. 方法点评 (1)类比实数运算，若有括号，先计算括号内的，若没有括号，可从左到右依次进行 (2)算式中出现字母，首先要确定其是否为实数，再确定复数的实部和虚部，最后实部、虚部分别相加减 【训练1】 (1)若z(1i)1i，则z_. (2)计算(12i)(34i)(56i)_. 解析 (1)z(1i)1i， z(1i)(1i)22i. (2)(12i)(34i)(56i) (135)(246)i 18i 答案 (1)22i (2)18i 【例2】 (1)设复数z11i，z2x2i，若z1z2R，则实数x等于 ( ) A2 B1 C1 D2 (2)复数(12i)(3i9)的值是_ 题型二 复数的乘除运算 解析 (1)z1z2(1i)(x2i)x2ixi2i2 (x2)(x2)i.因为z1z2R， x20，x2. (2)原式12i3i912i3i8 i12i3i 12i3i3i3i3i6i2i210 17i10110710i. 答案 (1)A (2)110710i 方法点评 (1)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但必须在所得的结果中把i2换成1，并把实部与虚部分别合并 两个复数的乘积是一个确定的复数 (2)在进行复数的除法时，通常先把(abi) (cdi)(a，b，c，dR，cdi0)写成abicdi的形式，再把分子与分母同乘以分母的共轭复数cdi，化简，即得结果这与作根式除法时的处理是很类似的(分母有理化)，复数相除是使分母“实数化” 【训练2】 计算(4i5)(62i7)(7i11)(43i) 解：原式2(4i)(3i)(7i)(43i) 2(124i3ii2)(2821i4i3i2) 2(117i)(2525i) 4739i. 【例3】 求满足下列条件的复数z： (1)z2724i； (2)(3i)z42i. 题型三 在复数范围内求解实系数一元二次方程问题 解 (1)设zxyi(x，yR)，依题意得： x2y22xyi724i，由复数相等的充要条件得： x2y272xy24 解得： x3，y4或 x3，y4，则 z34i或z34i. (2)设zxyi(x，yR)，依题意得： 3xy(x3y)i42i，由复数相等的充要条件得： 3xy4，x3y2， 解得： x1y1，则z1i. 方法点评 求复数方程的实系数问题应特别注意利用复数相等的充要条件 【训练3】 求34i的平方根 解 设34i的平方根是复数zxyi(x，yR)，即z234i， (xyi)234i， x2y22xyi34i， 依据复数相等的充要条件可得 x2y232xy4， 解得 x2y1或 x2y1. z2i或z2i， 即34i的平方根是2i或2i. 【例4】 设z是复数，a(z)表示满足zn1的最小正整数n，则对虚数单位i，a(i) ( ) A1 B2 C4 D8 错解 因为1的任何次幂都为1.故选A. 错因分析 对a(z)的理解不到位，未注意到z应为复数i. 误区警示 答非所问，对题意理解不到位 正解 因为n为正整数 i1i，i21，i3i，i41. 所以a(z)应为4，故选C. 答案 C 纠错心得 读懂题意，明白a(z)所表示意义是关键，此外还应掌握i的有关性质i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1，nN.