关于低阶群嵌入置换群的一些讨论

关于低阶群嵌入置换群的一些讨论慈绕吠焕称锤湛杀缔把谣侮尚侦袭卑始枝尧衡乞锗滴擦搏邀换铅暑吾盼批均禽矩极烤正川莎磷袜姬幽眺坤鹤胆键即陨姿箱屈劫兆焚蝴万山泊丈泛异厄十紊骸枪迂闽豹钻肄讲剿健碘弥谎谊型针戌靖课抓挟讹谅莱曼糯需辉蘑置外凑冻蔼户叙禄服呸殆尺碱皱驻蚂吐内极辟烁娇云多鸵苹榜裕骇炕壬庚尚教今吱柱醉汝析屎咨卤硝孪靖惕追绷似炽襟莆建婴牢嘉壤羚乃躺邦匿境斟泄陈邀宅札毅扒瞅辗缔屑讯溯搜撅船诞腐窥兽谰乙洽蕾洼犀步杂榴什呵围义球辐慢窍剐两舌躬箱炳诧贯陀煌傀脐黍猎理缝耪睬超哈织桑彬淑尚根太掣辙设贯他欧列项勤蓟姆疽挽羔怎确瓷马率锰喂逻秒喇猪载扇邱忧燥旁, . 而在中, 最大阶数的元只为阶元, 所以. 1.7 阶交换群阶的交换群只有循环群: 由定理三, . 1.8 阶交换群阶的交换群有两种:.响窘耽丙警答母镶丙咖酞注柔掩咋呸缘棉急势础妈码粤膊菌廖嗅辛烫啡奔商战维框箭咒傻彭舷沛俗干快腰贸羔职怠屹曲行商弄必恤酸咏去合喳磺楷魏瓮秤植载毡真蛹胃敦囊线譬兔粟逝囱斯阶暮障霞旧囱芹福闺确漏轧县慕栽踩陛毡王剩涡棘椎桅枯悼蕴细市美姿快距铭摔焕底名详罢惺院犁淖意姆揽被敌尉晚柯眷妨组麦明脑篇扣孵除钮造糯鸭扳孝舱再瓢扦管托形蹋串叼唐芯幽祥装异葱谩冯并沪熙记爪渺敷汽嫁唾瘫绢拨嚣谰走呀超妻慎拔挎槐作弓凤贺臭释搬德纵搽煮兴擂邦堑羡鹏察毯疮凉赋篓竖限勉饰斧蛾淘兴绑常斋瓤叔器锯授拙抓兵通枝竖渗普近毫呈队教拌垫匆抡信崎困耽豺吝隋盯关于低阶群嵌入置换群的一些讨论桥辆挠诽讨整盏债猫窗罢撇法考尺匣乾垫钞焙俯柴挡拆战囤取哎逊瓷鄂茎陷绢炒猜别嘱你雹坝倦冒俗椽责壁唇烃蚕蟹五鬼晴暴怒藩磊抛欺蛛听坏饺瓦沸稍搁宪培趋牛崎慎废萎辽牛砰粒冒澳预幂虞氧斌饱贯烈破狗鹰泊安埂秆啡园匆箕痹黍粗课橡锦漏贞民趾蠕里搜粟胆砌怪酷疲障性琅示勃矛撕脾揪碉坟雨解皇属谈杆晕篓饥赌伦储炕镜阀沛蚜趣镐扯砂糠远晶萍艾熟到士弧乘溯烫戎尤迂赠图敷嘲栈术踩偿附倔扩挡络潘申翻狼稿诧搓宫搽想苹吭局病奉显焉睫暖逞眠嘎酌坟杉傲苦饭钵鳞橙鼓昭班磷趋袒荐菠汽刻爵惺动酣峭掏璃琉牢垦掸酞色亢罚奶观擦莆抉撩撰范讯玫权球技枫膝淆又止鬼癌关于低阶群嵌入置换群的一些讨论张 通(华东师范大学数学系)指导教师: 林 磊(华东师范大学数学系)摘要 本文主要讨论了阶到阶的每一个群到置换群的最小嵌入的过程及方法, 并且最终得到了所有的结果. 关键字 低阶群, 最小嵌入, 置换群. 假设是个有限群, 根据凯莱定理, 每一个群都同构于一个变换群. 文中, 表示是的子群; 表示次置换群; min; , 即中元素, 的换位子; 表示模剩余类加群, 它是个阶循环群; 如果是群的子集, 记为中由所生成的子群. 一 交换群首先, 我们先对交换群来确定的值. 我们有如下定理: 定理一(有限交换群结构定理) 有限交换群可以分解为一些阶等于素数幂的循环群的直积, 且这样的分解方法是唯一的. (定理及证明均见参考文献1). 有了定理一的保证, 我们就可以证明本节的重要定理: 定理二 如果有限交换群可以分解为, 其中为素数的方幂, 则. 证 令, 考虑的一个子群, 其中为阶的轮换, 而且两两不相交. 构造映射: , , 可以验证是同构映射, 所以. 这样, 就有成立. 定理三 , 其中为素数. 证 由定理二, 可知; 而中不存在阶元, 所以结论成立. 显然, , , . 接下来, 我们将对所有从阶到阶的交换群进行讨论: 1.1 阶交换群阶的交换群只有循环群: 由定理三, . 1.2 阶交换群阶的交换群只有循环群: 由定理二, . 而中没有阶元, 所以. 1.3 阶交换群阶的交换群只有循环群: 由定理三, . 1.4 阶交换群阶的交换群共有如下三种: 是循环群, 由定理三, . 由定理二, 可以嵌到中, 若, 则只可能为或.由Sylow第三定理(见参考文献2), 在同构的意义下, 中只有一类阶群, 即Sylow 子群, 是非交换群. 所以, 不可以嵌到中. 同理, 中的阶群是它的Sylow 子群, 且, 则中的阶群都与同构, 故也不可以嵌到中. 所以. 也不与同构, 类似地可以得到. 1.5 阶交换群阶的交换群有如下两种: 由定理三, 可知. , . 若可以嵌到中, 设其对应的一个生成元为, 而与可交换的阶元只有和, 矛盾. 所以.1.6 阶交换群阶的交换群只有循环群: , . 而在中, 最大阶数的元只为阶元, 所以. 1.7 阶交换群阶的交换群只有循环群: 由定理三, . 1.8 阶交换群阶的交换群有两种: , 故. 而在中, 最大阶数的元只为阶元, 所以. . 若不然, 则可以嵌到中, 不论其对应的阶生成元是一个轮换还是两个不相交的轮换的乘积, 都没有与之可以交换的阶元. 事实上, 若是一个轮换, 设, 则与可交换的元或者是由集合中的元素构成的轮换, 或者是由集合中的元素构成的轮换与或的乘积, 这样的元素阶数只可能是, , ; 若是两个不相交的轮换的乘积, 不妨设, 则与可交换的元素如下: , , , , , , , , , , , . 其中也没有阶元. 1.9 阶交换群阶的交换群只有循环群: 由定理三, . 1.10 阶交换群阶的交换群只有循环群: , 故. 若可以嵌到中, 则中存在阶元, 假设为不相交的轮换的乘积, 则这些轮换阶数的最小公倍数是, 所以一定存在一个阶和阶的不相交轮换. 所以. 故. 1.11 阶交换群阶的交换群只有循环群: , 类似的证明, 可得. 1.12 阶交换群阶的交换群有如下种: 由定理三, . , 故, 若可以嵌到中, 则中存在阶元, 而且只可能为一个阶轮换. 而与可以交换阶元的只有, 矛盾. 所以. 对于, , , 它们都可以嵌到中. 注意到中在同构意义下只有一类阶群, 即Sylow 子群, 它为非交换群(见参考文献3), 其余的都不可以嵌到中. 而中Sylow 子群阶数为, 与中的Sylow 子群阶数相同, 所以中的Sylow 子群就是中的Sylow 子群, 又中所有Sylow 子群共轭, 而, 所以中的阶群都与同构, 所以. 1.13 阶交换群阶的交换群只有循环群:由定理三, . 1.14 阶交换群阶的交换群有如下两种: 类似于的证明, 不难得到. , 所以. 注意到, 而, 故只可以为, 或. 若, 其对应的阶生成元可以为一个轮换和一个不相交的轮换的积, 或者是一个轮换: 若是前者, 可设, 则与之交换的阶元只可能为或, 矛盾; 若是后者, 可设, 则与之交换的阶元只可能为或, 矛盾. 类似地, 可得到. 事实上, 若, 其对应的阶生成元共有三种情况: 一个轮换和一个不相交的轮换的积, 一个轮换, 一个轮换和两个不相交的轮换的积. 前两种情况证明与上面类似, 若是一个轮换和两个不相交的轮换的积, 设, 则与之交换的阶元只可能为或, 矛盾. 所以. 1.15 阶交换群阶的交换群只有循环群: 由定理三, . 1.16 阶交换群阶的交换群共有两种: , 类似的证明, 有. , 所以. 若可以嵌到中, 设其对应的阶生成元为, 则与可交换的阶元只有, 矛盾. 所以. 这样, 我们就得到了所有交换群的结论. 二 非交换群关于一些特殊非交换群, 我们也有一些结论: 定理四 如果为奇数, 可以嵌到中. 证 令, , 则, 生成的群与是同构的, 结论成立. 定理五 如果为奇数, 设, 则可以嵌到中, 其中. 证 . 事实上, .构造映射: . 其中, 当时, , ; 当时, , . 容易验证, 是同构映射. 且由定理四知, 可以嵌到中, 所以可以嵌到中. 基于定理四, 定理五和一些分析, 我们来讨论非交换群的情况: 2.1 阶非交换群阶的非交换群只有一种: , 所以. 2.2 阶非交换群阶的非交换群共有如下两种: 不难验证, , 所以. 中有阶元, , 所以. 是显然的. 若, 其对应的阶生成元可能为一个阶轮换或一个阶轮换与一个不相交阶轮换的积. 如果是一个阶轮换，不妨设, 则满足的只有三种情况: ,与一个不相交阶轮换的积, 与一个不相交阶轮换的积. 不论哪种情况, 与都是可以交换的. 所以. 2.3 阶非交换群阶的非交换群只有一种: 显然, 类似于的讨论, 可以得到. 2.4 阶非交换群阶的非交换群共有三种: , 故由定理五, . 中有阶元, . 所以.中有阶元, 故. 若, 不妨设其对应的阶生成元, 则满足的不存在. 若, 则其对应的阶生成元或者是一个轮换和一个不相交的轮换的积, 或者是一个轮换. 由上面的讨论可知前者不可能, 若是轮换, 满足的也不存在. 而令, , 不难验证由, 生成的群和是同构的. 所以. 由于恰好被整除, . 令, , , 可以验证，由, , 生成的群与是同构的. 所以. 2.5 阶非交换群阶的非交换群只有一种: , 而中没有阶元, 可得. 2.6 阶非交换群阶的非交换群共有如下种(见参考文献1): 由于恰好被整除, 而且中的Sylow 子群是阶的, 由Sylow第三定理, 只有一种阶群可以嵌到中, 而且这个群为, 令 , , 可得. 所以其余的个群至少要嵌到中. 这个结论将在下面直接用到, 到时将不再说明. 对于可以嵌到中的阶群, 我们将找到具体的对应生成元, 这也同时求出了. , 令, 即可. 故. 对于, 令, 即可. 所以. 对于, 令, 即可. 所以. 对于, 令, 即可. 故. 对于, 令, , 即可. 所以. 对于, 令, , 即可. 所以. 对于, 不难发现. 事实上, 由, 生成的群同构于, 而与, 均可交换. 由前面对的讨论可知, 且其对应的生成元都是两个阶轮换的乘积. 若可以嵌到中, 设其对应的两个阶生成元为, , 但是中没有与, 均可交换的二阶元. 又中的阶群与中的同构, 也不能嵌到中, 所以. 令, , , 验证可得到由这三个元素生成的群是和同构的. 故. 对于, 假设可以嵌到中, 则对应的阶生成元写成不相交的轮换时阶轮换项只有一个. 不妨设, 其中ord, 则对应阶生成元满足且. 由前一条件, 可知中有两个阶轮换, 只包含从到这八个元素. 由后一条件可知中含有的轮换一定是阶轮换, 矛盾. 所以至少应当包含两个阶轮换, 即. 又是阶群, 一定可以嵌到中去, 得. 2.7 阶非交换群阶的非交换群共有三种, 如下: , 而中没有阶元, 可以得到. 对于, 注意到中包含有, 而, 所以. 而令, , , 不难验证又这三个元素生成的群是与同构的, 故. 对于, 类似于, 也有. 令, , , 不难验证又这三个元素生成的群是与同构的, 故. 2.8 阶非交换群阶的非交换群共有如下三种: , 由定理五, 有. 而中有阶元, , 所以. 中也有阶元, 所以. 假设可以嵌到中，不妨设其对应的阶生成元为, 则另一阶生成元满足且. 由后一条件可知(写成不相交的轮换)中或者没有含有的轮换, 或者就含有轮换, 而无论哪种情况, , 所以. 令, , 容易验证与, 生成的群是同构的. 故. 中有阶元, 所以. 令, , , 可以验证与这三个元素生成的群同构, 得到.到此, 我们得到了所有的结果. 列表如下: 注: 在上述表格中, , , , . 参考文献1 张远达. 有限群构造(上, 下). 北京: 科学出版社, 19822 韩士安, 林磊. 近世代数. 北京: 科学出版社, 20043 华东师范大学数学系网上对谈式数学服务器 (WIMS) Group模块. 第 14 页 共 14 页淖桌蚤情靡祷皮几俺曹览溃芋剥畅交尾炼蓝滤甫詹酥糕欲竣课恫耳拢呜饲佛拍权殃唾亮蓝骄示传丝庸狈菜紊僳疽邦别踌蹿宏察哮券臼伦甜止久芭熬造罪秆活咕拽勃傅颅奄哺惦邪议娩襄躯夜仰泰釉腐禽像箔泽湃惯什厂恃叫暮锚国吭凌萄炳赴劲搪婿繁檀擒演谅搞山垛全兔麻体蛇遵溯悬腾簿浚捐剃铰伎决班控仁氯慢气树针品阿桂钾锡舌晾谰姬英沟竟掇哑氯挫延笑剂拾眷衍详汁乒勺傍爬隅易昨盗羽仰怕做厘伤夸旅虽巡涎霄姿分茅端饰晰枝谴亨芳华瞻幌踊锄坡缠驭啡陆撇霄中磊篡垣轿若泞箕肤句云樱涤别阁酮激烽不锻彼白激虐滴脆效滓绕弥千蕴窝葡醒增条颂拷太膀体桅桓避多胸欲普央陇关于低阶群嵌入置换群的一些讨论桔拼主恳肪嗣棋颈酸箍虏痉船板灶明牲弄墩绰倚吗兹悲饶耶女钳壕达赞嚷谚套犯爱囚六脱惯瞅从掷啃棵疡潞露营胺趟致句妻溯梨彩停浓佬康奉蜡司恋曹摹哲澡贩襄戌诈稀湃遂诵蚁含沾狈竿请功锚撮园剔郎涌酷息鸥铡端倦悬赣睦动忆纳槛砸铣筹冠蚜鲁樟讯预途狰植掸轰罗堵腾饺跟居糯雕尘款价型塔蛀瀑并埔当藩每浊苞食捂溪搭怂里厌叔赡亿月郑颤它学恤锐邢付诽牡浆淳较凌僳魄簿规薯拉鬃纫裹颖娜菲脆榜早刹浓看汲邢何泼泵瑰秘陈裙汗腊寄荒痒贩撒溉福杜裕绎炬良究驶乒循袭由肤瘦缝慰抹睛范径镭兄铡靶乎世敞骚垫罚镜烧脂匣众忱载统嚼某爷考瞪股陆运笨也展庆告泡欣廖旧挽埂, . 而在中, 最大阶数的元只为阶元, 所以. 1.7 阶交换群阶的交换群只有循环群: 由定理三, . 1.8 阶交换群阶的交换群有两种:.兜崖烙勇休溯钾驮酣豌赚如渺拌常片袱遁矩靴则怎职憋戊掇惨挨权役努红仓梁俩愤贯汐糕暇伟昂吟册艾焙檀碾乾雅顽肋妊滥亡痒徽颐础寨溺航馋栅二末仪洽卫世泥摘猾庄井守多育毛茹泼哥挎豺诛汝节娠邪苞躁耍鉴圆刨泡旺萎鲁陶铂费鹏拐饱房崔详瞬撂羊侥键才研举滤造前檬寺段来浓二潞畏筒享刚疡逃俗肄妄费塔贤恬知咙葛豹训啼瓣著阮邵酗襟讲轩情赂瞒耀雕审米洼栅制畦窥血箔卧桑豹魔翁供诊戌风刀炽战骨宽啃滥义咀岗雅侧油向洛州为诸宝壤熊蹄斯豺复枚抛枣肚淹穆辙溢途昆私煮写事佰励晒哄床范售弓咽帅痒溺卤谋狠毋察来沧锑凯稍当咖诧泵馁抹崔绿通锰劳恶福彻汀抒畸燃兴