陕西省汉中市五校2020‒2021学年高二数学上学期第一次月考试题₍含解析₎

陕西省汉中市五校2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题（含解析）注意事项：1本试题共4页满分150分，时间120分钟；2答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；3选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；4考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题卷不回收第卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 数列1，4,9，16,25，的一个通项公式是() A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据每一项的绝对值与该项序号的关系以及每一项的符号与该项序号的关系可以得到【详解】因为每一项的绝对值是该项序号的平方，奇数项符号为正，偶数项符号为负，所以 故选C【点睛】对于根据数列前几项的值，求数列通项公式的题目，解题方法是根据前几项的值与该项序号的关系得到，属基础题2. 在等差数列中，则的值为（ ）A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】D【解析】【分析】根据等差数列下标和的性质即可求的值.【详解】由等差数列的性质知：，由，即，故选：D【点睛】本题考查了等差数列的性质，应用了等差数列下标和相同的两项之和相等，属于简单题.3. 设数列的前n项和为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用求数列通项公式即可.【详解】当时，可得；当时，即；数列是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为，故选：D【点睛】本题考查了由与的递推关系求数列通项，属于基础题.4. 在中，若，则此三角形有（ ）A. 无解B. 两解C. 一解D. 解的个数不确定【答案】B【解析】【分析】由，的值，利用正弦定理求出的值，利用三角形边角关系及正弦函数的性质判断即可得到结果【详解】解：在中，由正弦定理，得：，的度数有两解，则此三角形有两解故选：【点睛】本题考查了正弦定理，正弦函数的性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，是中档题5. 在等差数列中，前项和，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】由. 故选：A.6. 在等比数列an中，a3，a15是方程x2+6x+2=0的根，则的值为（）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】【分析】由韦达定理得a3a15=2，由等比数列通项公式性质得：a92=a3a15=a2a16=2，由此求出答案【详解】解：在等比数列an中，a3，a15是方程x2-6x+2=0的根，a3a15=20，a3+a15=-60a2a16=a3a15=2，a92=a3a15=2，a9=，故选B【点睛】本题考查等比数列中两项积与另一项的比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用7. 是正项等比数列的前项和，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题得，故选A.8. 设是等差数列的前n项和，若，则（ ）A. 22B. 26C. 30D. 34【答案】C【解析】【分析】由等差数列中，连续下标等间距的前n项和之差成等差数列知成等差数列，结合等差中项性质即可求.【详解】由等差数列的前n项和性质知：成等差数列，由等差中项的性质：，又，故选：C【点睛】本题考查了等差数列的性质，利用前n项和中连续等间距下标之差成等差数列、等差中项性质求项，属于中档题.9. 已知，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】采用裂项相消法进行求和，注意单独分析首项，由此可求得结果.【详解】因时，且，所以，所以，故选：B.【点睛】本题考查数列的裂项相消法求和，主要考查学生的计算能力，难度一般.常见的可裂项的形式：，.10. 在中，,BC=1,AC=5，则AB=A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为所以，选A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.11. 已知数列的通项公式，则数列的最大项为（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】设数列的最大项为，据此可得，求解出不等式的解集即可得到对应的最大项.【详解】设数列的最大项为，所以，所以， 解不等式组可得：，故选：B.【点睛】本题考查求解数列中最大项，主要考查学生的理解与计算能力，难度一般.本例还可以通过分析数列的单调性求解出对应的最大项.12. 已知为等边三角形，点O是外一点，则平面四边形面积的最大值是（ ）A. B. C. 3D. 【答案】B【解析】【分析】在中，根据，利用余弦定理求得边长AB，然后由 SOABC=SAOB+SABC，利用三角函数的性质求解.【详解】如图所示：在中，因为，所以由余弦定理得：所以SOABC=SAOB+SABC=，当，即时，取的最大值，平面四边形面积的最大值是，故选：B【点睛】本题主要考查余弦定理和三角函数在平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.第卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60，b=，c=3，则A=_.【答案】【解析】由正弦定理，得，结合可得，则.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.14. 等比数列的首项，前项和为，若，则公比_【答案】【解析】【分析】利用数列前项和的定义及等比数列通项公式 得出，解出即可【详解】是等比数列，由数列前项和的定义及等比数列通项公式得，故答案为：【点睛】本题考查等比数列前项和的计算、通项公式利用数列前项和的定义，避免了在转化时对公比是否为1的讨论15. 意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，即，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列，则_【答案】0【解析】【分析】由题设描述可得被3整除后的余数构成一个新数列，观察可知是周期数列，结合目标项下标即可求值.【详解】由题意知：“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，此数列被3整除后的余数：1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，观察可知新数列是以1，1，2，0，2，2，1，0为一个周期的循环，而的余数为4，故答案为：0【点睛】本题考查了数列新定义，应用观察法找规律求项，属于简单题.16. 如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路和一条索道，小王和小李打算不坐索道，徒步攀登，已知，假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1250米，则两位登山爱好者经过_小时登上山峰（即从B点出发到达C点）【答案】【解析】【分析】结合正弦定理、余弦定理求得，由此求得登山时间.【详解】依题意，所以千米，在三角形中，由正弦定理得，解得千米.在三角形中，由余弦定理得，化简得，解得千米，所以千米.所需要的时间为.故答案为：【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理求解实际问题，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且（）求角A的大小；（）若，试判断的形状【答案】（）；（）等边三角形.【解析】分析】（1）由已知三边关系，结合余弦定理即可求角A；（2）由正弦定理的边角互化，应用两角和正弦公式可得，结合（1）的结论即可知的形状【详解】（），整理得， （）由正弦定理，得，而，即，为等边三角形【点睛】本题考查了正余弦定理，根据三边关系应用余弦定理求角，由正弦定理的边角互化、两角和正弦公式判断三角形形状，属于基础题.18. 已知数列的前n项和为（）若为等差数列，求证：；（）若，求证：为等差数列【答案】（）证明见解析；（）证明见解析【解析】【分析】（1）根据为等差数列，利用倒序相加法证明即可；（2）由前n项和公式有、，相加后整理可得，为等差数列得证【详解】（）证明：已知数列为等差数列，设其公差为d，则有，于是，又，+得：，即 （）证明：，当时，-并整理，得，即，数列是等差数列【点睛】本题考查了已知等差数列的通项公式，应用倒序相加法求证前n项和公式，由前n项和公式，结合等差数列的定义证明等差数列，属于基础题.19. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（）求角B的大小；（）若，求b和的值【答案】（）；（），.【解析】【分析】（1）由正弦定理，结合已知可得得，即可求角B；（2）由余弦定理求，再结合已知求，应用同角三角函数关系、三角形内角和性质求即可.【详解】（）在中，由正弦定，可得，又由，得，即又，所以（）在中，由余弦定理，有，则又，有，得由即，故.【点睛】本题考查了正余弦定理，应用正弦定理边角互化、同角三角函数关系、三角形内角和性质，属于基础题.20. 已知等差数列的前n项和为，的通项公式为（）求通项公式；（）求数列的前n项和【答案】（），；（），.【解析】【分析】（）设等差数列的首项为，公差为d，结合已知条件求、d，进而得到通项公式；（）由已知有，利用错位相减法，求前n项和.【详解】（）设等差数列的公差为d，由，可得由，可得联立，解得，等差数列的通项公式为，（）由，有，故，上述两式相减，得【点睛】本题考查了数列，利用已知条件求通项公式基本量，进而求得通项公式，应用错位相减法求前n项和，属于基础题.21. 已知的面积为，延长至D，使（）求的长；（）求的面积【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）根据三角形面积公式，结合外角的性质、余弦定理进行求解即可；（）根据正弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可.【详解】（），得，或150，又，由余弦定理得， （），在中，由正弦定理得，即，解得，又，的面积为【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的应用，考查了数学运算能力.22. 已知数列的前n项和为，且当时，（）求的值；（）证明：为等比数列【答案】（）；（）证明见解析.【解析】【分析】（）根据题中条件，令代入递推式，即可得出结果；（）根据递推公式，得到，得出，计算，即可得出结论成立.【详解】（）因为，当时，即，解得（）证明：由，得，即当时，有，数列是以为首项，为公比的等比数列【点睛】本题主要考查由递推公式求数列中的项，考查证明数列是等比数列，属于常考题型.