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北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类）2012.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共 40分）和非选择题（共 110分）两部分第一部分（选择题共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.1.已知平面向量a （3,1）,b （x,3）,且a，b,则实数x的值为（）A. 9B, 12.设集合 U= 1,2,3,4 , M= x为A.4B.4C.1D,92_. 一 、 U x 5x+ p=0 ,若CuM = 2,3 ,则实数p的值()C.6D. 63.设数列an是公差不为0的等差数列,a11且a1，a3,a6成等比数列，则 an的前n项和Sn等于2 一2 一n7nn7nA。 8 8442n 3nC.4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A. 1B.1C.2D. 05.已知函数 f (x) sin x J3cosx,设 af (-) , c f(-),贝U a,b,c 的 63大小关系是A. a b cB. c a bC. b aD. b c aC棱车B N AMC的体积y f （x）的函数图象大致是（）6 .函数f（x）2x 2 a的一个零点在区间（1,2）内，则实数a的取值范围是（）xA. （1,3）B. （1,2）C. （0,3）D.（0, 2）7 .已知正方形 ABCD的边长为2亚,将 ABC沿对角线AC折起，使平面 ABC 平面ACD ,得到如图所示的三棱锥B ACD .若。为AC边的中点，M, N分别为线段DC, BO上的动点（不包括端点），且BN CM .设BN x ,则三2B (x, y) | x m, y 3m 12,m Z 若存在实数a,b使得A。B频率8 .已知集合 A ( x, y) | x n, y na b,n Z成立，称点（a,b）为“ ”点，则“ ”点在平面区域C (x,y)|x2 y2 108内的个数是()A. 0B. 1C. 2D.无数个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9 .已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取200辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间 60,70）上的汽车大约有 辆.10 .某几何体的三视图如图所示，则这个几何体 的体积是.俯视图x y 0,11 .在平面直角坐标系中，不等式组 x y 4 0,所表示的平面区域的面积是9,则实数a的x a值为.12 .设直线x my 1 0与圆（x 1）2 （y 2）2 4相交于A , B两点，且弦 AB的长为2，3,则实数m的值是.13 .某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y （万元）与机器运转时间 x （年数，x N ）的关系为yx2 18x 25 .则当每台机器运转年时，年平均利润最大，最大值是 万元.14 .已知两个正数 a,b,可按规则c ab a b扩充为一个新数 c,在a,b, c三个数中取两个 较大的数，按上述规则扩充得到一 个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个 新数称为一次 操彳.（1）若a 1,b 3，按上述规则操作三次，扩充所得的数是 ；（2）若p q 0,经过6次操作后扩充所得的数为 （q 1）m（p 1）n 1 （m,n为正整数）， 则m,n的值分别为.三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15 .（本题满分13分）在锐角 ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C所对的边，且满足 73a 2bsin A 0 .(n)若 a c 5,且 a c的值.（I）求角B的大小;16 .(本题满分13分)如图，一个圆形游戏转盘被分成 6个均匀的扇形区域.用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动)，且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的.在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为(a,b)(假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动)(I )求某个家庭得分为 (5,3)的概率？(n)若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于 8的家庭可以获得一份奖品.请问某个家庭获奖的概率为多少？17.(本题满分13分)如图，在四棱锥SABCD中，平面SAD平面 ABCD .底面 ABCD为矩形，(出)若共有5个家庭参加家庭抽奖活动.在(n)的条件下，记获奖的家庭数为 X ,求X 的分布列及数学期望.AD 72a, AB 而a , SA SD a .(I )求证：CD SA；(n )求二面角 C SA D的大小.18 .(本题满分13分),一 一1 x已知函数f(x) ln(ax 1)(x 0, a为正实数)1 x(i)若a 1,求曲线y f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(n)求函数 f(x)的单调区间;(m)若函数f (x)的最小值为1,求a的取值范围19.(本题满分14分).x2y21已知椭圆C:=上2 1(a b 0)的离心率为一，直线l过点A(4,0)B(0,2)且ab2与椭圆C相切于点P .(I)求椭圆C的方程;(n)是否存在过点 A(4,0)的直线m与椭圆C相交于不同的两点 M、N ,使得一一 _ 2 一36 AP 35 AM AN ?若存在，试求出直线 m的方程；若不存在，请说明理由20.(本题满分14分)数列an, bn (n 1,2,3,|)由下列条件确定： 阚0,6 0 ；当k 2时，ak 1 bk 1ak 与 bk满足：当ak1bk10 时，akak 1, bk ；当 ak ibki 0 时，2cak 1 bk 1ak, bk bk 1.2(i)若a11, b1 1,写出a2,a3,a4,并求数列an的通项公式；(n )在数列bn中，若b1 b2bs ( s 3 ,且s N * ),试用a1, b表示bk k 1,2, ,s;1(出)在(I)的条件下，设数列cn (n N*)满足g - , cn 0,2 m22Cn 1Cn g (其中m为给定的不小于2的整数)，求证：当n m时，恒有mamcn1 .北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷答案（理工类）2012.1、选择题：题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(8)答案CBADBCBA、填空题:题号(9)(10)(11)(12 )(13 )(14)答案803展1百 3582558,13三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：(I)因为 J3a 2bsin A 0,所以、,3sinA 2sin Bsin A0,因为sin A 0 ,所以sin B,32(H)由(I )可知,7,根据余弦定理,2ac cos, 3整理，得（a c）2由已知 a c 5,贝U ac6.又a c ,可得 a 3 , c2.于是cosA b-22c a2bc7_4_4.71411分所以Ab|AC Ab |Accos A cb cos A 27一 1.1413分（16）（本小题满分13分）解：（I ）记事件A :某个家庭得分情况为（5,3） .P(A)所以某个家庭得分情况为(5,3)的概率为- 4分9(II)记事件B:某个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分包括(5,3),(5,5),(3,5)共3类情况.所以P(B)11111113 3 3 3 3 3 31所以某个家庭获奖的概率为1 .3(m)由(n)可知，每个家庭获奖的概率都是11L 所以 X B(5,-).33P(X0)Cl?自32243P(X1)c5(1)1 (-)480243P(X2)2 1 2C5(3)80243P(X3)_ 3 1 3C5(1)340243P(X4)4 1 4C5(3)10243P(X5)(守11分243所以X分布列为:X01234532808040101P243243243243243243L、，L 15所以 EX np 5 .3 3所以X的数学期望为-. 13分3(17)(本小题满分13分)证明：(I)因为平面 SAD 平面ABCD ,CD AD ,且面 SAD 面 ABCD AD ,所以CD 平面SAD .又因为SA平面SAD 所以CD SA.(n)由(I )可知， CD SA.在 SAD 中，SA SD a , AD 及a , 所以SA SD , 所以SA平面SDC. 即 SA SD , SA SC, 所以 CSD为二面角C SA D的平面角.在 Rt CDS 中，tan CSD CD 叵 石, SD a所以二面角C SA D的大小- 13分法二：取BC的中点E , AD的中点P .在 SAD中，SA SD a , P为AD的中点，所以， SP AD .又因为平面 SAD 平面ABCD ,且平面 SAD。平面ABCD AD所以，SP 平面ABCD ,显然，有 PE AD .如图，以P为坐标原点，PA为x轴，PE为y轴, 为z轴建立空间直角坐标系，则 S(0,0,孝a), A(*a,0,0),B(Jla, .3a,0) , C(彳 a, .3a,0),2D(;a,0,0).(I)易知 CD (0, %3a,0),S! (a,0, a)T11因为CD SA 0 ,所以CD SA.(n)设n (x,y,z)为平面CSA的一个法向量，则有22即Tax Taz 0 ，所以n (瓜应宓) 7分.2ax a 3y 0显然，EP 平面SAD,所以PE为平面SAD的一个法向量，所以m所以(0,1,0)为平面SAD的一个法向量.cos n, m13分所以二面角C SA D的大小为.(18)(本小题满分13分)解：(I)当a1 x1 时，f (x) ln(x 1)1 x则 f (x)2(1 x)2.所以f (1)0 .又f(1) In 2,因此所求的切线方程为y ln2.(n) f (x)ax_21 (1 x)2ax2 a 2(ax 1)(1 x)2 .(1)当 a 2即a 2时,因为x 0,所以f (x) 0,所以函数f (x)在0,上单调递增0,即 0 a 2 时，令 f (x) 0 ,r ,2则axx 0),2(2)当 a所以函数0 ,当x)时,(a),函数2 a(x) 0.f(x)的单调递增区间为(pa,f(x)的单调递减区间为2-a0, a).10(出)当a2时，函数f (x)在0, 上单调递增，则f (x)的最小值为f(0)满足题意.11当0 a 2时,由(n)知函数f( x)的单调递增区间为(),函数f (x)的单调递减区间为0, a ),则f (x)的最小值为f，而 f (0) 1,不合题意.所以a的取值范围是2,13分(19)(本小题满分14分)解：(I)由题得过两点 A(4,0)B(0, 2)直线I的方程为x 2y 4 0.c 1因为一一，所以a 2c, b J3c. a 222x y设椭圆方程为1, 4c 3cx 2y 4 0,由 x2y2消去 x 得，4y2 12y 12 3c2 0.4c2 3cf 1,又因为直线l与椭圆C相切，所以122 4 4(12 3c2) 0,解得 c2 1.22所以椭圆方程为1.43(H)易知直线m的斜率存在，设直线的方程为y k(x 4),y由x24k(x2 y34),消去y ,整理得(31,4k2)x2 32k2x 64k2 12 0.由题意知(32k2)2 4(3 4k2)(64k2 12) 0,解得k2设M (%，)N(x2, y2),则 Xi X232k22 X1X23 4k2 1 264k2 123 4k2又直线l: x2yx24 0与椭圆C: 41相切,x 2y 4由x20,解得x1,1,y3,所以210分则AP45一.所以AM4AN3635454817又AMAN(4 K)2Yi2,(4 X2)2Y22(4 X1)2k2(4 X1)2(4 X2)2 k2(4 X2)2(k21)(4 %)(4x2)(k21)(XiX2 4(Xi x2)16)(k216)3 4k(k21)% 4k2236所以(k2 1)23 4k281,解得k 7Y2.经检验成立.413分所以直线m的方程为y冬x 4).414分6分(20)(本小题满分14分)a1 b1(I)解：因为 a1 b 0 ,所以 a2 a1b 0.2a9 b91因为 a2 b21 0,所以 a3 -,b3 b2 0.221 a。 b 1因为 a3 b3 0,所以 a4 3-,b4 b3 0.2 24,11所以a1,a21,a3-,a4-. 2分24由此猜想，当k 2时，a- bk 1 0,则ak ak 1 bk 1 曳； bk bk 1 0.3分 22下面用数学归纳法证明：当k 2时，已证成立.假设当k l (1N ,且1 2)猜想成立,即 ai 1 b 10, bbi 10, alai 10.当k 1 1时，由ai曳0 , 2a bi aiai 1 - 0.22综上所述，猜想成立.bibi 10 得 aibi0 ,则 bi1 ,*(n 2).n 2n 211所以ana21 一22故an1 n 1,h n 2.(n)解：当2k s时,假设akbk 10 ,根据已知条件则有bkbk 1,bs矛盾，因此ak 1 bk 10不成立,所以有ak1bk 10 ,从而有ak ak1 ,所以ak a1当ak 1bk0 时，akak1,bkak 1 bk 12所以aakak 1bk 12ak 1s时,总有bk2(bk(bk 11ak 1),ak i)成立.0,所以数列bkak ( k1,2,1 一,s )是首项为b1 a1 ,公比为2的等比数歹U ,ak (bi a1) g12“,s,又因为aka1 ,所以bk(bai.10分(m)证明:由题意得22mOmm2 -CnCn因为cn121 Cnm所以数列12cn m所以Cn1C 2 0Cn mCn是单调递增数列.11分因此要证Cn1( nm),只须证12Cnm1Cn CnCnm1Cn，即12分1因此Cm(cmcm-)1(c)Cm 2C1所以cm故当nm，恒有cn114分
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