171__勾股定理(第1课时)

第十七章 勾股定理17.1 勾股定理(第1课时)1.1.掌握勾股定理的内容掌握勾股定理的内容. .2.2.理解勾股定理的证明理解勾股定理的证明. .3.3.应用勾股定理进行有关计算与证明应用勾股定理进行有关计算与证明. . 星期日老师带领初二全体学生去凌峰山风景区游星期日老师带领初二全体学生去凌峰山风景区游玩玩, ,同学们看到山势险峻同学们看到山势险峻, ,查看景区示意图得知查看景区示意图得知: :凌峰凌峰山主峰高约为山主峰高约为900900米米, ,如图如图: :为了方便游人为了方便游人, ,此景区从主此景区从主峰峰A A处向地面处向地面B B处架了一条缆车路线处架了一条缆车路线, ,已知山底端已知山底端C C处与处与地面地面B B处相距处相距12001200米米, , ,请问缆车路线请问缆车路线ABAB长长应为多少？应为多少？90ACB读一读读一读 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦角边称为股，斜边称为弦. .图图1-11-1称为称为“弦图弦图”，最早是由汉代，最早是由汉代的数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的的数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的. .图图1-21-2是是20022002年年在北京召开的国际数学家大会（在北京召开的国际数学家大会（ICMICM20022002）的会标，其图案的会标，其图案正是正是“弦图弦图”，它标志着中国古代的数学成就，它标志着中国古代的数学成就. . 图1-1图1-2 相传相传25002500年前，毕达哥拉斯有一次年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系种数量关系 我们也来观察右图中的地面我们也来观察右图中的地面图案，看看能发现些什么？图案，看看能发现些什么？数学家毕达哥拉斯的发现：数学家毕达哥拉斯的发现：A A，B B，C C的面积有什么关系？的面积有什么关系？直角三角形三边有什么关系？直角三角形三边有什么关系？S SA A+S+SB B=S=SC C两直角边的平方和等于斜边的平方两直角边的平方和等于斜边的平方ABCABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图中每个小方格代表一个单位面积）图图1图2让我们一起再探究：等腰直角三角形三边关系让我们一起再探究：等腰直角三角形三边关系A A的面的面积积( (单单位面积位面积) )B B的面的面积积( (单单位面积位面积) )C C的面的面积积( (单单位面积位面积) )图图1 1图图2 29 99 918184 44 48 8ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1图2SC正方形143 3182 分分“割割”成若干个直角边为整数的三角形成若干个直角边为整数的三角形ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1图2SC正方形216218把把C“C“补补” ” 成边长为成边长为6 6的正方形面积的一半的正方形面积的一半ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1图2 S SA A+S+SB B=S=SC CA A的面的面积积( (单单位面积位面积) )B B的面的面积积( (单单位面积位面积) )C C的面的面积积( (单单位面积位面积) )图图1 19918图图2 2A A，B B，C C面积面积关系关系直角三直角三角形三角形三边关系边关系448两直角边的平方和两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方ABC图图1ABC图图2观察右边两个图并填写下观察右边两个图并填写下表：表：A A的面积的面积B B的面积的面积C C的面积的面积图图1 1图图2 216169 925254 49 91313 你是怎样得到你是怎样得到表中的结果的？与表中的结果的？与同伴交流一下同伴交流一下做做 一一 做做ABC图图1ABC图图2三个正方形三个正方形A A，B B，C C面积面积之间有什么关系？之间有什么关系？S SA A+ +S SB B= =S SC C即：两条直角边上的即：两条直角边上的正方形面积之和等于正方形面积之和等于斜边上的正方形的面斜边上的正方形的面积积议议 一一 议议A AB BC Ca ac cb bS SA A+S+SB B=S=SC C设：直角三角形的三边长分别是设：直角三角形的三边长分别是a a，b b，c,c,猜想猜想: :两直角边两直角边a a，b b与斜边与斜边c c 之间的关系？之间的关系？a a2 2+b+b2 2=c=c2 2 这是这是2002年国际数学家大会会标年国际数学家大会会标赵爽弦图赵爽弦图 ab4+(b-a)=c a+b =cabc2ab+（b-2ab+a）=c12此结论被称为此结论被称为“勾股定理勾股定理”. .在在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，边边BCBC，ACAC，ABAB所对应的边所对应的边分别为分别为a a，b b，c c，则存在下，则存在下列关系列关系结论：结论：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方的平方. . a2+b2=c2勾勾股股弦弦cabBCA如果直角三角形的两条直角边长分别为如果直角三角形的两条直角边长分别为a a，b b，斜边长为斜边长为c c，那么那么a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2. .即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方.勾股定理勾股定理 C C9090 a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2cabBCA勾勾 股股 世世 界界 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾他们发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，学派，19551955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票年希腊曾经发行了一枚纪念邮票. . 我国是最早了解勾股定理的国家我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即于五，即“勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”，它被，它被记载于我国古代著名的数学著作周髀记载于我国古代著名的数学著作周髀算经中算经中. .勾股定理的运用勾股定理的运用: :已知直角三角形的任意两条边长，求第已知直角三角形的任意两条边长，求第三条边长三条边长. .a a2 2=c=c2 2-b-b2 2b b2 2=c=c2 2-a-a2 2c c2 2=a=a2 2+b+b2 2在直角三角形在直角三角形ABCABC中，中，C=90C=90，A A，B B，C C所对的所对的边分别为边分别为a a，b b，c.c.(1)(1)已知已知a=1a=1，b=2b=2，求，求c.c.(2)(2)已知已知a=10a=10，c=15c=15，求，求b.b.ACBbac例例 将长为将长为5 5米的梯子米的梯子ACAC斜靠在墙上，斜靠在墙上，BCBC长为长为2 2米，求梯子上端米，求梯子上端A A到墙的底端到墙的底端B B的距离的距离. .CAB解：在解：在RtRtABCABC中，中，ABC=90ABC=90， BC=2 BC=2米，米，AC=5AC=5米，米， ABAB2 2= AC= AC - BC - BC = 5 = 5 -2-2 =21 =21， AB= AB= 米（舍去负值）米（舍去负值）. .21【跟踪训练跟踪训练】长长长长，3.3.求下列图中表示边长的未知数求下列图中表示边长的未知数x x；y y的值的值. .8181144144x xy y625625576576x=15x=15y=7y=74.在等腰在等腰RtRtABCABC中中, a=b=1, a=b=1,则则c=c=. .C CA AB B第第4 4题图题图第第5 5题图题图a ab bc cCBA26.6.在一个直角三角形中在一个直角三角形中, , 两边长分别为两边长分别为3,4,3,4,则则第三边的长为第三边的长为_._.5 或或 5.5.在在RtRtABCABC中中, A=30, A=30，AB=2AB=2，则，则BC=_BC=_，AC=AC=. .1 173DABC7.7.蚂蚁沿图中的折线从蚂蚁沿图中的折线从A A点爬到点爬到D D点，一共爬了点，一共爬了_厘米厘米. .（小方（小方格的边长为格的边长为1 1厘米）厘米）GFE3412568答案：答案：2828【解析解析】选选D.B=30D.B=30,ACAB,AC=5,ACAB,AC=5米米, ,所以所以BC=10BC=10米，米， ( (米米).).大树折断前的高度为大树折断前的高度为AC+BC=15(AC+BC=15(米米).).2222AB= BC -AC = 10 -5 = 753.3.如图所示，一棵大树在一如图所示，一棵大树在一次强台风中离地面次强台风中离地面5 5米处折米处折断倒下，倒下部分与地面断倒下，倒下部分与地面成成3030角，则这棵大树在角，则这棵大树在折断前的高度和折断前的高度和ABAB的长分的长分别为（别为（ ）A.10A.10米，米， 米米 B.15B.15米，米， 米米C.10C.10米，米， 米米 D.15D.15米，米， 米米75125125754.(4.(广东广东中考）如图（中考）如图（1 1），已知小正方形），已知小正方形ABCDABCD的面积的面积为为1 1，把它的各边延长一倍得到新正方形，把它的各边延长一倍得到新正方形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1；把正；把正方形方形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1边长按原法延长一倍得到正方形边长按原法延长一倍得到正方形A A2 2B B2 2C C2 2D D2 2（如（如图（图（2 2）；）；以此下去，则正方形以此下去，则正方形A A4 4B B4 4C C4 4D D4 4的面积为的面积为_._.图（图（1）A1B1C1D1A BCDD2A2B2C2D1C1B1A1ABCD图（图（2）【解析解析】由勾股定理得：新正方形由勾股定理得：新正方形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1边长为边长为 ，正，正方形方形A A2 2B B2 2C C2 2D D2 2边长为边长为5 5，正方形，正方形A A4 4B B4 4C C4 4D D4 4的边长为的边长为2525，正方形正方形A A4 4B B4 4C C4 4D D4 4的面积为的面积为625.625.答案：答案：62562555.5.（宜宾（宜宾中考）已知，在中考）已知，在ABCABC中，中，A=45A=45，AB= +1AB= +1，则边，则边BCBC的长为的长为_._.【解析解析】过点过点C C作作CDAB,CDAB,A=45A=45,AD=CD,AD=CD,2AD2AD2 2=AC=AC2 2=2,=2,DC=AD=1,DC=AD=1,BD=AB-AD= +1-1= BD=AB-AD= +1-1= 在在RtRtCDBCDB中，中，答案：答案：2 2AC= 2,333.22CB= CD +BD = 1+3= 4=2.6.6.请你根据图请你根据图1 1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；符号语言叙述）；以图以图1 1中的直角三角形为基础，可以构造出以中的直角三角形为基础，可以构造出以a,ba,b为底，为底，以以a+ba+b为高的直角梯形（如图为高的直角梯形（如图2 2），请你利用图），请你利用图2 2，验证勾，验证勾股定理股定理. .【解析解析】定理表述如果直角三角形的两直角边长分定理表述如果直角三角形的两直角边长分别为别为a,ba,b，斜边长为，斜边长为c c，那么，那么a a2 2+b+b2 2=c=c2 2, ,证明：证明：RtRtABERtABERtECD,AEBECD,AEB=EDC,=EDC,又又EDC+DEC=90EDC+DEC=90，AEB+DEC=90AEB+DEC=90, ,AED=90AED=90. .SS梯形梯形ABCDABCD= =S SRtRtABEABE+S+SRtRtDECDEC+S+SRtRtAEDAED， （a+b)(a+ba+b)(a+b)= )= abab+ + abab+ c+ c2 2. .整理，得整理，得a a2 2+b+b2 2=c=c2 2. .12121212通过本课时的学习，需要我们通过本课时的学习，需要我们1.1.掌握勾股定理的内容：掌握勾股定理的内容：直角三角形两直角边直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方长的平方和等于斜边长的平方. .2.2.理解勾股定理的证明过程理解勾股定理的证明过程. .3.3.应用勾股定理计算线段的长度应用勾股定理计算线段的长度. .注意使用勾股注意使用勾股定理的前提条件是在直角三角形中定理的前提条件是在直角三角形中. .在时间的大钟上只有两个字在时间的大钟上只有两个字现在现在. . 莎士比亚莎士比亚