高考数学一轮复习单元练习空间向量与立体几何

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2013高考数学一轮复习单元练习-空间向量与立体几何I 卷一、选择题1点M在z轴上,它与经过坐标原点且方向向量为s(1,1,1)的直线l的距离为,则点M的坐标是()A(0,0,2)B(0,0,3)C(0,0,) D(0,0,1)【答案】B2在空间四边形ABCD中,若,则等于 ( )ABCD【答案】D3四棱柱中,AC与BD的交点为点M,设,则下列与相等的向量是 ( )AB CD【答案】4在三棱柱中,设M、N分别为的中点,则等于 ( )ABCD【答案】B5平面,的法向量分别是n1(1,1,1),n2(1,0,1),则平面,所成角的余弦值是()A BC D【答案】C6 空间任意四个点A、B、C、D,则等于 ( )ABCD【答案】C7以下命题中,不正确的命题个数为() 已知A、B、C、D是空间任意四点,则ABCD0若a,b,c为空间一个基底,则ab,bc,ca构成空间的另一个基底;对空间任意一点O和不共线三点A、B、C,若Oxyz(其中x,y,zR),则P、A、B、C四点共面A0B1C2D3【答案】B8已知向量a,b,c是空间的一基底,向量ab,ab,c是空间的另一基底,一向量p在基底a,b,c下的坐标为(4,2,3),则向量p在基底ab,ab,c下的坐标是()A(4,0,3)B(3,1,3)C(1,2,3)D(2,1,3)【答案】B9在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,P为正方体内一动点(包括表面),若xyz,且0xyz1.则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是()A1B C D【答案】D10在90的二面角的棱上有A、B两点,AC,BD分别在这个二面角的两个面内,且都垂直于棱AB,已知AB5,AC3,BD4,则CD()A5 B5 C6D7【答案】A11如图ABCDA1B1C1D1是正方体,B1E1D1F1,则BE1与DF1所成角的余弦值是()A BC D【答案】A12如图所示,在四面体PABC中,PC平面ABC,ABBCCAPC,那么二面角BAPC的余弦值为()A BC D【答案】CII卷二、填空题13 设a12ijk,a2i3j2k,a32ij3k,a46i4j5k,其中i,j,k是空间向量的一组基底,试用a1,a2,a3表示出a4,则a4_.【答案】a12a2a314平面经过点A(0,0,2)且一个法向量n(1,1,1),则x轴与平面的交点坐标是_【答案】(2,0,0)15在三棱柱ABCA1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是_【答案】6016已知a(1t,1t,t),b(2,t,t),则|ba|的最小值为_【答案】三、解答题17如图,四边形ABCD为正方形,PD平面ABCD,PDQA,QAABPD.(1)证明:平面PQC平面DCQ;(2)求二面角QBPC的余弦值【答案】如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,射线OA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.(1)依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0)则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0)所以0,0.即PQDQ,PQDC.故PQ平面DCQ.又PQ平面PQC,所以平面PQC平面DCQ。(2)依题意有B(1,0,1),(1,0,0),(1,2,1)设n(x,y,z)是平面PBC的法向量,即即因此可取n(0,1,2)设m是平面PBQ的法向量,则可取m(1,1,1),所以cosm,n故二面角QBPC的余弦值为18如图,在平行四边形ABCD中,AB2BC,ABC120,E为线段AB的中点,将ADE沿直线DE翻折成ADE,使平面ADE平面BCD,F为线段AC的中点.()求证:BF平面ADE;()设M为线段DE的中点,求直线FM与平面ADE所成角的余弦值.【答案】()取AD的中点G,连结GF,CE,由条件易知FGCD,FG=CD. BECD,BE=CD.所以FGBE,FG=BE. 故四边形BEGF为平行四边形.所以BF平面ADE.()在平行四边形ABCD中,因为AB2BC,ABC=120,设BC=4,作MGAB于G,则.如图所示建立空间直角坐标系Mxyz,则,所以.设平面ADE的法向量为,由得,所以.设直线FM与平面ADE所成角为,则.所以直线FM与平面ADE所成角的余弦值为.19如图,四棱锥的底面是正方形,点E在棱PB上.()求证:平面; ()当且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小.【答案】()四边形ABCD是正方形,ACBD.,PDAC.AC平面PDB.平面.()设ACBD=O,连接OE,由()知AC平面PDB于O,AEO为AE与平面PDB所的角.O,E分别为DB、PB的中点,OEPD,.又,OE底面ABCD,OEAO.在RtAOE中,即AE与平面PDB所成的角的大小为.【解法2】如图,以D为原点建立空间直角坐标系,设则,(),.ACDP,ACBD,AC平面PDB.平面.()当且E为PB的中点时,设,则,连结OE,由()知AC平面PDB于O,AEO为AE与平面PDB所成的角.,即AE与平面PDB所成的角的大小为.20已知长方体ABCDA1B1C1D1中,AB2,BC4,AA14,点M是棱D1C1的中点求直线AB1与平面DA1M所成角的正弦值【答案】建立如图所示的空间直角坐标系,可得有关点的坐标为D(0,0,0),A(4,0,0),B(4,2,0),C(0,2,0),A1(4,0,4),B1(4,2,4),C1(0,2,4),D1(0,0,4)于是,M(0,1,4).(0,1,4),(4,0,4),(0,2,4)设平面DA1M的法向量为n(x,y,z),则,即取z1,得x1,y4.所以平面DA1M的一个法向量为n(1,4,1)设直线AB1与平面DA1M所成角为,则sin ,所以直线AB1与平面DA1M所成角的正弦值为21如图,四棱锥SABCD中,SD底面ABCD,ABCD,ADCD,ABAD1,DCSD2,E为棱SB上的一点,平面EDC平面SBC.(1)证明:SE2EB;(2)求二面角ADEC的大小【答案】方法一(1)证明如图所示,连结BD,取DC的中点G,连结BG,由此知DGGCBG1,即DBC为直角三角形,故BCBD.又SD平面ABCD,故BCSD,所以BC平面BDS,BCDE.作BKEC,K为垂足因为平面EDC平面SBC,故BK平面EDC,BKDE,即DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直,所以DE平面SBC,所以DEEC,DESB.又DB,SB,DE,EB,SESBEB,所以SE2EB.(2)由SA,AB1,SE2EB,ABSA,知 AE1.又AD1.故ADE为等腰三角形取ED中点F,连结AF,则AFDE,AF连结FG,则FGEC,FGDE.所以AFG是二面角ADEC的平面角连结AG,AG,FGcosAFG所以二面角ADEC的大小为120.方法二(1)证明以D为坐标原点,线段DA,DC,DS所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的直角坐标系Dxyz,设A(1,0,0),则B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)S(0,2,2),B(1,1,0)设平面SBC的法向量为n(a,b,c),由nS,nB,得nS0,nB0.故2b2c0,ab0.令a1,则b1,c1,n(1,1,1)又设S(0),则E,D,D(0,2,0)设平面CDE的法向量m(x,y,z),由m,m,得m0,m0.故0,2y0.令x2,则m(2,0,)由平面DEC平面SBC,得mn所以mn0,20,2.故SE2EB.(2)解由(1)知,取DE中点F,则F,故0,由此得FADE.又,故0,由此得ECDE,向量F与E的夹角等于二面角ADEC的平面角于是cosF,E,所以二面角ADEC的大小为120.22如图142,三棱柱ABCA1B1C1中,BCA90,ACBC2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,又知BA1AC1.(1)求证:AC1平面A1BC;(2)求二面角AA1BC的余弦值图142【答案】 (1)如图,设A1Dt(t0),取AB的中点E,则DEBC,因为BCAC,所以DEAC,又A1D平面ABC,以DE,DC,DA1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,1,0),C(0,1,0),B(2,1,0),A1(0,0,t),C1(0,2,t),(0,3,t),(2,1,t),(2,0,0),由10,知AC1CB,又BA1AC1,BA1CBB,所以AC1平面A1BC.(2)由3t20,得t设平面A1AB的法向量为n(x,y,z),(0,1,),(2,2,0),所以设z1,则n(,1)再设平面A1BC的法向量为m(u,v,w),(0,1,),(2,0,0),所以设w1,则m(0,1)故cosm,n因为二面角AA1BC为锐角,所以可知二面角AA1BC的余弦值为12
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