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2.3 平 面 向 量 的 基 本 定 理 及 坐 标 表 示2.3.2 平 面 向 量 的 正 交 分 解 、 坐 标 表 示及 坐 标 运 算平 面 向 量 1 理 解 向 量 的 坐 标 表 示 2 掌 握 向 量 的 有 关 坐 标 运 算 ： 两 坐 标 的 和 、 两 坐标 的 差 、 数 乘 向 量 坐 标 和 向 量 的 坐 标 运 算 基 础 梳 理一 、 平 面 向 量 的 坐 标 表 示 1 平 面 向 量 的 正 交 分 解 ： 把 一 个 向 量 分 解 为 _叫 做 把 向 量 正 交 分 解 2 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 分 别 取 与 x轴 、 y轴 方 向 相 同的 两 个 单 位 向 量 i， j作 为 基 底 对 于 平 面 内 的 一 个 向 量 a， 由平 面 向 量 的 基 本 定 理 可 知 ， 有 且 只 有 一 对 实 数 x、 y使 得_ 这 样 平 面 内 的 任 一 向 量 a都 可 由 x、 y唯 一 确 定 ， 我们 把 有 序 数 对 (x， y)叫 做 向 量 a的 坐 标 ， 记 作 _， 其 中 x叫 做 a在 x轴 上 的 坐 标 ， y叫 做 a在 y轴 上 的 坐 标 ， a (x， y)叫 做向 量 的 坐 标 表 示 1.两 个 互 相 垂 直 的 向 量 2.a xi yj a (x， y) 3 几 个 特 殊 向 量 的 坐 标 表 示i _， j _， 0=_.4 以 原 点 O为 起 点 作 向 量 ， 设 xi yj， 则向 量 的 坐 标 (x， y)， 就 是 _； 反 过 来 ， 终 点 A的坐 标 (x， y)也 就 是 _3 (1,0) (0,1) (0,0)4.终 点 A的 坐 标 向 量 的 坐 标 思 考 应 用1 点 的 坐 标 和 向 量 的 坐 标 有 什 么 区 别 和 联 系 ？解 析：(1)点的坐标是反映点的位置，它由点的位置决定，向量的坐标反映的是向量的大小和方向，其仅仅由大小和方向决定，与位置无关；(2)向量的坐标等于其终点坐标减去其起点坐标，当向量起点在原点时，向量的终点坐标就等于向量的坐标 二 、 向 量 的 坐 标 运 算1 两 个 向 量 和 差 的 坐 标 运 算若 a (x1， y1)， b (x2， y2)， 则 a b _；a b _.2 数 乘 向 量 和 坐 标 运 算若 a (x， y)， 则 a _.3 向 量 的 坐 标 表 示若 已 知 A(x 1， y1)， B(x2， y2)， 则 _.即 一 个 向量 的 坐 标 等 于 表 示 此 向 量 的 有 向 线 段 的 _1.(x1 x2， y1 y2) (x1 x2， y1 y2) 2.(x， y)3 (x2 x1， y2 y1) 终 点 的 坐 标 减 去 始 点 的 坐 标 思 考 应 用2 向 量 平 移 前 后 始 点 、 终 点 的 坐 标 发 生 了 变 化 ， 而向 量 本 身 的 坐 标 却 不 变 ， 这 怎 么 解 释 呢 ？解 析：解决这个问题的关键是探讨始点、终点坐标的变化是否会引起向量坐标的变化，向量 经过平移以后得到向量 ，这两个向量的坐标分别等于其相应的终点的坐标减去始点坐标，尽管对应的始点、终点坐标不同，但由坐标表示过程中构造的平行四边形全等可知，其差值是不变的，所以一个向量的坐标只和表示它的有向线段的始点、终点的相对位置有关，而与具体位置无关 自 测 自 评1 若 向 量 (x， y) 0， 则 必 有 ( )A x 0或 y 0 B x 0且 y 0C xy 0 D x y 0B D 3 已 知 a (3, 1)， b ( 1,2)， c 2a b则 c ( )A. (6, 2) B.(5,0)C. ( 5,0) D.(0,5)4 若 点 A ( 2,1) ， B(1,3)， 则 _.B ( 3, 2) 平 面 向 量 的 坐 标 运 算 已 知 a (2,1)， b ( 3,4)， 求 a b，a b， 3a 4b.点 评：(1)实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来向量的相应坐标(2)两个向量的和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差) 跟 踪 训 练 用 方 程 思 想 求 向 量 坐 标已 知 a b (2,-8),a b ( 8,16),求 a和 b.分 析：设a(m，n)，b(p，q)，则问题就可转化为方程思想解决 点 评：上面两种方法都是通过解方程组得到解决，解法一侧重以坐标为主体的方程；解法二是整体思想，解向量方程 跟 踪 训 练2 已 知 a (2,1)， b ( 3,4)， c ( 6,19)，用 a， b， 表 示 c. 平 面 向 量 的 坐 标 表 示分 析：本题主要是考查向量的坐标表示、向量的坐标运算、平面向量基本定理以及待定系数法等知识，求解时首先由点A、B、C、D的坐标求得向量 等的坐标，然后根据平面向量基本定理得到等式 再列出关于m、n的方程组，进而解方程求出所表示的系数 点 评： 坐标运算要熟记公式，始点和终点的前后顺序不可颠倒，否则会出现错误 跟 踪 训 练分 析：本题主要是考查向量的坐标表示、向量的坐标运算问题已给出A、B、C三点的坐标，因此可写出向量 的坐标，进而利用向量的数乘、加、减的坐标运算，问题就可得解 平 面 向 量 坐 标 在 几 何 中 的 应 用 已 知 平 面 上 三 点 的 坐 标 分 别 为 A( 2,1)，B( 1,3)， C(3,4)， 求 点 D的 坐 标 使 这 四 点 构 成 平 行 四 边形 ABCD的 四 个 顶 点 点 评：设出所求点的坐标，利用向量相等或向量共线列方程组求解，利用方程的思想求解向量中未知的点的坐标，是一种最基本的方法 跟 踪 训 练4.已 知 平 面 上 三 点 的 坐 标 分 别 为 A(1,2)， B(3， 1)，C(5,6)， 求 点 D的 坐 标 使 这 四 点 构 成 平 行 四 边 形 ABCD的 四个 顶 点 C C 1 要 清 楚 向 量 的 坐 标 与 表 示 该 向 量 的 有 向 线 段 的 始点 、 终 点 的 具 体 位 置 无 关 ， 只 与 其 相 对 位 置 有 关 2 向 量 的 加 法 、 减 法 及 实 数 与 向 量 的 积 都 可 以 用 坐标 来 进 行 运 算 ， 使 得 向 量 运 算 完 全 代 数 化 ， 将 数 和 形 紧 密结 合 起 来 ， 这 样 许 多 几 何 问 题 的 解 决 就 可 以 转 化 为 我 们 熟悉 的 数 量 运 算 3 求 一 个 向 量 时 ， 首 先 求 一 个 向 量 的 始 点 和 终 点 坐标 4 求 一 个 点 的 坐 标 ， 可 以 转 化 为 求 一 个 始 点 在 原 点 ，终 点 在 该 点 的 向 量 坐 标 祝 您
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