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第四次月考数学文试题数学试题（文史类）满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上。2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已知全集,集合,则（A） （B） （C） （D）（2）命题，则为（A） （B）（C） （D） （3）为了了解某种进口茶叶的质量（单位：克），从 中抽取若干包进行检查，获得样本的频率分布直方图如图所示.若已知样本中质量在内的茶叶有10包，则样本容量为（A） （B） （C） （D）（4）已知圆与直线相交于两点，则（A） （B） （C） （D）（5）函数的定义域为（A） （B） （C） （D）（6）阅读右侧程序框图，输出结果的值为（A） （B） （C） （D）（7）某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（A） （B） （C） （D）正视图侧视图俯视图222（8）已知，则的最小值为（A） （B） （C） （D）（9）过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（A） （B） （C） （D）（10）定义域为的函数对任意都有，且其导函数满足，则当时，有 (A) (B) (C) (D)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应的位置上 （11）已知，若，则实数_.（12）已知复数在复平面内对应的点分别为，则等于_.（13）若数列满足，且，则等于_.（14）计算：_.（15）欧阳修卖油翁中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止若铜钱是直径为的圆面，中间有边长为的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴不出边界），则油滴整体（油滴是直径为的球）正好落入孔中的概率是 .(不作近似计算)三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（16）（本小题满分13分，（）小问6分，（）小问7分） 已知等差数列满足：.（）求数列的通项公式；（）若，求数列的前项和.（17）（本小题满分13分，（）小问6分，（）小问3分，（III）小问4分） 为了了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，记录了小李第天打篮球的时间（单位：小时）与当天投篮命中率的数据，其中.算得：.（）求投篮命中率对打篮球时间的线性回归方程；（）判断变量与之间是正相关还是负相关；（）若小李明天准备打球小时，预测他的投篮命中率.附：线性回归方程中，其中为样本平均数.（18）（本小题满分13分，（）小问5分，（）小问8分） 设的内角的对边分别为,.（）求；（）若,求.（19）（本小题满分12分，（）小问5分，（）小问7分）在如图所示的多面体中，平面，平面，为的中点.（）求证：平面；（）求三棱锥的体积.（20）（本小题满分12分，（）小问5分，（）小问7分） 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为万元，每生产千件需另投入万元.设该公司一年内生产该品牌服装千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且（）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大年利润.（注：年利润=年销售收入-年总成本）.（21）（本小题满分12分，（）小问4分，（）小问8分）已知动点到直线 的距离是它到点的距离的倍. （）求动点的轨迹的方程；（）设轨迹上一动点满足：，其中是轨迹上的点，直线与的斜率之积为，若为一动点，为两定点，.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678910答案BADCDCABCD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应的位置上 题号1112131415答案三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（16）（本小题满分13分，（）小问6分，（）小问7分）【解】（）设的首项为，公差为，则由得 （）由得. （17）（本小题满分13分，（）小问6分，（）小问3分，（III）小问4分）【解】（I）由题意知：于是：故：所求回归方程为（II）由于变量的值随着的值增加而增加（），故变量与之间是正相关（III）将带入回归方程可以预测他的投篮命中率为（18）（本小题满分13分，（）小问5分，（）小问8分）【解】()因为, 所以. 由余弦定理得, 因此,. ()由()知,所以 由于，解得： , （19）（本小题满分12分，（）小问5分，（）小问7分）【解】方法一：几何法 ()取的中点，连结一方面：因为, 又另一方面：因为,所以由可得：, (II)由, 在平面内作, , , 且由三角形的等面积法的 . 方法二：坐标法在平面内，过作，以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示则：()由于平面，故平面的法向量而，所以，即，故平面(II)平面中，设平面的法向量为，则取，则，又所以：点到平面的距离又在中，所以面积所以：三棱锥的体积（20）（本小题满分12分，（）小问5分，（）小问7分）【解】（1）当时，当时，所以：（2）当时，由得当时，函数单调递增，当时，函数单调递减于是：当时，当且仅当即时取等号，于是：综合知：当年产量为千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，为万元.（21）（本小题满分12分，（）小问4分，（）小问8分）【解】() 点到直线x=的距离,是到点的距离的倍，则，化简得 （）设，,则由得,即 因为点在椭圆上，所以,故 设分别为直线的斜率，由题意知，因此，所以 所以点是椭圆上的点，而恰为该椭圆的左右焦点，所以由椭圆的定义，.14
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