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第 四 章 相 似 图 形4. 探 索 三 角 形 相 似 的 条 件 1.怎 样 的 多 边 形 是 相 似 多 边 形 ？ 2. 根 据 相 似 多 边 形 的 定 义 ，你 能 说 出 什 么 是 相 似 三 角形 吗 ？ 如 何 表 示 它 呢 ？判 定 两 个 三 角 形 相 似 的 方法 有 哪 些 呢 ？ 根 据 定 义 我 们 判 断 两 个 三 角 形 相 似 需 要 哪 些 条 件 ？ A= D， B= E， C= F = = ABDE BCEF ACDF ABC DEF A B C E F D 判 定 方 法 判 定 方 法 角 边 角 （ ASA）角 角 边 （ AAS）边 边 边 （ S S） 边 角 边 （ SAS）（ HL )斜 边 与直 角 边三 角 形 全 等三 角 形 相 似 如 果 两 个 三 角 形 有 一 个 内 角 对 应 相 等 ， 那么 这 两 个 三 角 形 一 定 相 似 吗 ？不 一 定 A 如 果 两 个 三 角 形 有 两 个 内 角 对 应 相 等 ， 那么 这 两 个 三 角 形 一 定 相 似 吗 ？ 请 依 据 下 列 条 件 画 三 角 形 ： 两 人 一 组 ， 一 人 画 ABC， 另 一 人 画 A1B1C1 使 A= A1 45 B= B1 30 画 完 后 ， 请 解 答 下 列 问 题 : C = C1 吗 ？ 先 量 出 自 己 所 画 的 三 角 形 三 边 的 长 度 ， 再 合 作 求 出 对 应 边 的 比 : (比 值 精 确 到 0.1） ， 它 们 相 等 吗 ？ 111111 CBBC、CAAC、BAAB 这 两 个 三 角 形 相 似 吗 ？ 两 角 对 应 相 等 的 两 个 三 角 形 相 似 A=A1 B= B 1 A C A1B1C1 判 定用数学符号表示 C BA B1C1A1 例 1、 已 知 ： ABC和 DEF中 ， A=400， B=800， E=800， F=600。 求 证 ： ABC DEF A FECB D证 明 ： 在 ABC中 ， A=400， B=800， C=1800 A B =1800 400 800 600 在 DEF中 ， E=80 0， F=600 B= E， C= F ABC DEF（ 两 角 对 应 相 等 ， 两 三 角 形 相 似 ） 。400 800 800 600 例 题 欣 赏 ADE ABC ADE ABC = = ADAB DEBC AEAC 找 出 图 中 的 相 似 三 角 形 ， 并 说 明 理 由 。 写 出 三 组 成 比 例 的 线 段 。例 2： 如 图 ， D、 E分 别 是 ABC边 AB、 AC上 的 点 ， DE BCAB CD E解 ： ADE ABC 理 由 是 ： DE BC ADE = B , AED = C AD AEBD CE AD AEAB AD AC AE ADCE=BDAE 已 知 ： DE BC,分 别 交 BA,CA的 延 长 线 于 点 D,点 E。AB CDE问 ： ADE与 ABC 相 似 吗 ？解 ： 相 似 。 DE BC D = B , E = C ADE ABC学 以 致 用例 3 AB CD E如 图 ， 如 果 DE BC， 那 么 ADE ABC。如 果 一 条 直 线 平 行 于 三 角 形 的 一 条 边 ， 且 这 条 直 线与 原 三 角 形 的 两 条 边 (或 其 延 长 线 )分 别 相 交 ， 那 么所 构 成 的 三 角 形 与 原 三 角 形 相 似 。 AB CDEA型 X型 发 散 探 究 过 ABC( C B)的 边 AB上 一 点 D作 一 条直 线 与 另 一 边 相交 ， 截 得 的 小 三 角 形与 ABC相 似 ， 这 样 的直 线 有 几 条 ？ 请 把 它们 一 一 作 出 来 。这 样 的 直 线 有 几 条 ？AB CD B CAD E E ADE ABC AED ABC A= A AED= C A= A AED= B作 DE,使 AED= C 作 DE,使 AED= B这 样 的 直 线 有 两 条 ,如 下 图平 截 型 斜 截 型B CAD （ 1） 有 一 个 锐 角 相 等 的 两 直 角 三 角 形 是 否 为 相 似 三 角 形 ？AB C AB C B= B A= A 相 似 （ 2） 有 一 个 角 相 等 的 两 等 腰 三 角 形 是 否 为 相 似 三 角 形 ？你 有 疑 问 吗 ？ B CA AB C 第一种情况 ABC ABC （ 2） 有 一 个 角 相 等 的 两 等 腰 三 角 形 是 否 为 相 似 三 角 形 ？你 有 疑 问 吗 ？相 似 B CA AB C 第二种情况 ABC ABC （ 2） 有 一 个 角 相 等 的 两 等 腰 三 角 形 是 否 为 相 似 三 角 形 ？你 有 疑 问 吗 ？相 似 相 似 第三种情况AB C AB C两 三 角 形 不 相 似 （ 2） 有 一 个 角 相 等 的 两 等 腰 三 角 形 是 否 为 相 似 三 角 形 ？你 有 疑 问 吗 ？相 似 相 似 不 相 似 直 角 三 角 形 被 斜 边 上 的 高 分 成 的两 个 直 角 三 角 形 和 原 三 角 形 相 似 。已 知 ： 在 RtABC中 ， CD是 斜 边 AB上 的 高 。证 明 : A= A， ADC= ACB=900此 结 论 称 为 “ ” ACD ABC（ 两 角 对 应 相 等 ， 两 三 角 形 相 似 ）同 理 CBD ABC ABC CBD ACD求 证 ： ABCACD CBD 。 A D BC A D BCACD ABCACADABAC ABADAC 2 ABBDBC 2 BDADCD 2 射 影 定 理 1、 探 索 了 判 断 两 个 三 角 形 相 似 的 条 件 之 一 : 两 角 对 应 相 等 的 两 个 三 角 形 相 似 .说 说 你 的 收 获 ！2、 平 行 截 相 似4、 射 影 定 理 ABADAC 2 AB CD E AB CDEA型 X型ABBDBC 2 BDADCD 2直 角 三 角 形 被 斜 边 上 的 高 分 成 的 两 个直 角 三 角 形 和 原 三 角 形 相 似 。
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