全电容回路和全电感割集-上海交通大学

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,*,电路根底,第六章 动态电路的复频域分析,上海交通大学本科学位课程,欧姆定律的运算形式：运算阻抗导纳,在零状态下,在零状态状况下的运算形式和符号形式是一样的，只要将sj或js 即可。,从以上状况看，直流电阻电路中的公式与复频域中的公式，在形式上完全一样。因此，可以很自然地想到，和符号电路一样，在直流电阻电路中的方法都能用到复频域的分析中来。,6.2,用拉氏变换求解电路响应,电路分析方法的运算形式,节点分析,其中 Yn为节点运算导纳矩阵，Un为节点电压列向量，Ins 为节点初始值列向量，An为节点原始值列向量，元素ai 由电容电压CuC(0-)及电感电流 iL(0-)/s所打算，上述矩阵或列向量诸元素均为s 的函数。,网孔分析,其中 Zm为网孔运算阻抗矩阵，Im为网孔电流列向量，Ums为网孔电压源列向量，Bm为网孔原始值列向量，元素bi 由电感电流LiL(0-)及电容电压uC(0-)/s所打算，这些矩阵或列向量诸元素都是s的函数。,6.2,用拉氏变换求解电路响应,回路分析,割集分析,戴维宁定理,在直流电阻,电路,中的,电路,定理，也适用于复频域,其中Zeq(s)是双零条件下(独立源置零，原始状态置零)的等值运算阻抗，受控源保存，Uoc(s)是独立源和原始状态共同作用下的端口开路电压。,6.2,用拉氏变换求解电路响应,网络函数的分类,1,、,驱动点函数,驱动点阻抗函数,驱动点导纳函数,6.3,网络函数,网络函数的定义,2,、,转移函数,转移阻抗函数,转移电流比,(,电流放大倍数,),转移导纳函数,转移电压比,(,电压放大倍数,),6.3,网络函数,(,分类,),电路具有n+1个节点，电流源接于i 节点和参考节点之间，求 j 节点电压的节点方程,全响应,=,零状态响应,+,零输入响应,其中,n,(,s,)=det,Y,n,(s),，,ij,(,s,),为其代数余子式,6.3 网络函数(根本性质),网络函数的根本性质,节点运算导纳矩阵,Y,n,(,s,),的元素是由,G,sC,1/,sL,等组成,(,如有受控源,还可能包括,g,m,),这些元素都是实数,肯定是s的实系数多项式之比,初态为零时，零状态响应,其中,P,(,s,),，,Q,(,s,),，,分别为,s,的实系数多项式,6.3 网络函数(根本性质),P,(,s,),Q,(,s,),分别为,s,的实系数多项式,网络函数的这一性质，使它具有如下形式,任一网络函数只由电路本身的构造和元件参数所打算，与鼓励函数无关。,任一网络函数都是复变量,s,的实系数有限函数,(,是两个实系数多项式之比,),。,6.3 网络函数(根本性质),式中,k,=,b,m,/,a,n,是一个实比例因子,z,i,是分子多项式的零点，当,s,=,z,i,时，,H,(,s,),为零，称为网络函数的零点，,p,j,是分母多项式的零点，当,s,=,p,j,时，,H,(,s,),为无穷大，称为函数的极点。,6.3 网络函数(根本性质),假设用N(s)表示网络函数，用H(s)表示冲激响应的即H(s)=h(t)，其中h(t)是电路在冲激信号(t)的作用下产生的零状态响应，那么依据网络函数定义有,或者说,-1,H,(,s,)=,-1,N,(,s,)=,h,(,t,),总之，网络函数等于冲激响应的,，冲激响应就等于网络函数的,反变换。,6.3,网络函数,(,和冲激响应,),网络函数和冲激响应,电路的性质取决于电路本身的构造和参数，冲激响应实为 t 0的零输入响应，又是网络函数的 反变换。因此，完全可以通过对网络函数极点的分析来判定电路的性质。,假设网络函数的极点全部在 s 的开左半平面上，则冲激响应随时间的增长趋于零，电路是渐近稳定的，由于在这种状况下,h,(,t,)=,-1,H,(,s,)=,k,1,e,-,1t,cos(,1,t,+,1,)+,k,2,e,-,2,t,cos(,2,t,+,2,)+,其中,i,0,i,=1,2,6.3,网络函数,(,和冲激响应,),假设网络函数的极点有一个(实极点)或一对(共轭复极点)在s的开右半平面上，则冲激响应随时间的增长趋于,电路是不稳定的，冲激响应中含 k1e1tcos(1t+1)或 k2e2t,假设网络函数有位于j 轴的多重极点,则无论其它极点位置如何，冲激响应都将随时间增长而趋无穷大，电路是不稳定的。由于与j轴上多重极点相对应，冲激响应中含有(k1+k2t+)cos(1t+1),6.3,网络函数,(,和冲激响应,),假设网络函数的极点全部在闭左半平面上，且位于j轴上的极点都是单极点，则冲激响应随时间的增长趋于一恒定常量或等幅振荡，电路是稳定的或振荡的，与j轴上的单极点相对应，冲激响应中含有 k1cos(1t+1),因此，对于一个稳定电路来说，它的任何一个网络函数的极点都不得位于s 的开右半平面上,在j轴上的极点必需是一阶的(无重极点)。,6.3,网络函数,(,和冲激响应,),对于一个渐近稳定电路来说，它的任何一个网络函数的极点都必需位于s的开右半平面上。,留意：同一对端钮的驱动点阻抗函数和导纳函数互为倒数，它们极零点互为倒置，因此，上面的结论也适用于它们的零点。,转移函数的零点则不受此限制。,网络函数极点的实部、虚部的变化与冲击响应的关系：,实部确定值增大，衰减(增长)加快；虚部确定值增大,振荡频率增大。,6.3,网络函数,(,和冲激响应,),固有频率,网络函数是和零状态响应相联系的，固有频率是和零输入响应相联系的，固有频率反映了网络本身所具有的特性，是由网络本身的参数和构造所打算。但网络函数与固有频率并非毫无关系，通常由网络函数来确定固有频率较为简便。,网络变量的固有频率,在线性定常电路中，网络变量y的零输入响应方程的特征方程的根si各不一样，则零输入响应,称si为网络变量y的一阶固有频率。假设s1为特征方程的3重根，则零输入响应中将含有,零输入响应可表示为,则称,s,1,为网络变量,y,的,3,阶固有频率,一般的零输入响应表达式为,称,s,i,为网络变量,y,的,r,i,阶固有频率。,网络变量的固有频率确定该变量零输入响应的性质，从网络变量的固有频率也可知道网络是否稳定，主要看固有频率落在s平面上的位置，在开左半平面、开右半平面，在虚轴上等，假设在j 轴上有高阶固有频率或在右半平面上有固有频率，则网络是不稳定的，否则是稳定的。,网络的固有频率,网络中全部网络变量固有频率的集合，称网络的固有频率，即网络中任一变量的固有频率都是网络的固有频率。,节点分析方程为,零输入响应节点方程,其特征多项式,n,(s)=det,Y,n,(s)=0,的非零根就是网络的,非零固有频率,，其中,Y,n,(s),应是泛指的网络方程的系数矩阵，这种求网络固有频率的方法称系数矩阵法。,零输入响应,其中,ij,(s)A,i,(s),为网络方程系数矩阵,Y,n,(s),的代数余子式。,假设上式分子ij(s)Ai(s)中正好有公因子和分母中的公因子(s-si)相除，则网络变量中就不消失固有频率si，所以，在某些状况下，网络中的不同网络变量具有不同的固有频率。,右图中,C,1,=C,2,=C,3,=1F,，,G,1,=G,2,=1S,，,设电容初始电压,v,C1,(0)=V,10,，,v,C2,(0)=V,20,而,v,C3,(0)=V,10,-V,20,由于,C,1,，,C,2,，,C,3,构成回路，只有两个电容电压是独立的。零输入条件下的节点方程：,零输入条件下的节点方程,v,1,和,v,2,都有,-,和,-1,两个固有频率,v,3,只有,-,一个固有频率，,-1,不是,v,3,的固有频率，整个网络的固有频率集为,-,，,-1,s1=-，s2=-1，结果与上一样。,网络固有频率的个数,如上所述，假设si是网络的固有频率，则网络中必有一个网络变量的零输入响应中含有,其中ki 的值由网络的初始状态打算，因此，网络假设有n个固有频率(k阶固有频率算作k个固有频率)，那么就有n个积分常数ki 需要由网络的初始状态打算。为此，网络中必需有n 个独立的具有初始状态的变量(电容电压或电感电流)，反之亦然。,结论 网络的固有频率数=网络的独立储能元件数,或独立状态变量数,这个数目也称网络的简单度,网络中影响网络变量,(,电容电压或电感电流,),的独立性的因素：,无源RLC网络 假设网络中不含全电容回路(全部由电容或由电容和独立电压源构成的回路),则每个电容电压都是独立的，假设含有一个全电容回路，其中将有一个电容电压受其它电容电压的约束或电压源的制约。因此，假设网络中有nC个电容元件，同时含有lC个相互独立的全电容回路，则独立电容电压数=nC-lC,假设网络中不含全电感割集(全部由电感或由电感和独立电流源构成的割集)则每个电感电流都是独立的，假设含有一个全电感割集，其中将有一个电感电流受其它电感电流的约束或受电流源的制约。所以，假设网络中有nL个电感元件，同时含有qL个全电感割集，则独立电感电流数=nL-qL,因此，无源RLC网络中，网络的简单度，即网络固有频率个数为：n=nC+nL-lC-qL,前面例题中，有三个电容，且构成了一个全电容回路，所以网络的简单度为2,有源网络,网络中含有受控源或负值RLC元件，称有源网络。在有源网络中，全电容回路和全电感割集，仍旧对电容电压和电感电流施加约束。另外，受控源和负值元件的作用也可能产生对电容电压和电感电流的约束。这种约束只有当网络元件取某一特定数值时才产生。,例,节点分析,(Cs+G)V,C,(s)=Cv,C,(0-)-,I,C,(s),假设=-1 则VC(s)=0 没有固有频率。,其中,I,C,(s)=CsV,C,(s)-Cv,C,(0-),假设-1则有一个固有频率,总之，无论在无源网络中还是在有源网络中，网络固有频率的个数至多等于网络中储能元件的总数，而就某一网络变量来说，其固有频率可能还要少些。值得指出，除某些特殊网络以外，在大多数网络中，不同的网络变量都具有一样的固有频率，这样，网络变量的固有频率和网络的固有频率也就没有什么区分了。,零固有频率,当网络某网络变量的零输入响应中含有,ke,0t,=k,，即常数项，称为零固有频率。,网络中消失零固有频率，就是网络变量的零输入响应中含有常数项。假设该网络变量是电流的话，即电流是常量的话，只能想到电感。电感上的电压,因此，纯电感组成的回路满足这一状况。所以全电感回路电流的零输入响应中可有常数项。,假设该网络变量电压，即电压是常量的话，也只能想到电容。电容中的电流,则组成割集的纯电容中没有电流流过，而可能有恒定的电压在电容上。所以,纯电容割集电压,的零输入响应中可以有常数项。,至于电感，除了其两端的电压恒为零的状况外，不行能是常量或为零。,网络中消失零固有频率只有以下两种状况才有可能：,全电容割集(全部由电容或由电容和独立电流源构成的割集),全电感回路,(,全部由电感或由电感和独立电压源构 成的回路,),全电感回路中的恒定电流可以是其初始状态，也可以是与其构成回路的电压源在置零前供给的，全电容割集的恒定电压可以是其初始状态，也可以是与其构成割集的电流源在置零前供给的。,假设网络中含有qC个全电容割集和lL个全电感回路，则网络的零固有频率数n0=qC+lL,在进展网络分析时，如能事先对网络的固有频率和网络变量的固有频率作出推断，有时会对分析求解带来便利。如网络具有某种对称性(例题中含三个电容的例子、电桥平衡电路)时，网络变量的固有频率可能不同；网络中具有零固有频率时，各网络变量的固有频率也不完全一样。,