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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四节 多元复合函数求导法则,一、多元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的全微分,形式不变性,一、链式法则,定理,且其导数可用下列公式计算,则复合函数,在对应点,t,可导,,函数,在对应点,有连续偏导数,,如果函数,及,都在点,t,可导,,一元,:,链式法则,证,t,0,时,取,“,”,号,由于函数,在点,故可微,即,有连续偏导数,,例,1,设 而,其中 可导,求,解,1,.,上定理的结论可推广到,以上公式中的导数 称为,全导数,.,推广,中间变量多于两个的情况,:,在对应点 的两个,偏导数存在,且可用下列公式计算,:,如果,及,都在点,具有对,x,和,y,的偏导数,,且函数,则复合函数,在对应点,具有连续偏导数,,2,.,上定理还可推广到,中间变量不是一元函数而是多元函数的情况:,复合结构如图示,链式法则的规律:,“连线相乘,分线相加”,解,例,2,在对应点,的两个偏导数存在,且可用下列公式计算,链式法则的规律:,“连线相乘,分线相加”,设,都在点,具有偏导数,,在,则复合函数,对应点,具有连续偏导数,,即,其中,两者的区别,区别类似,3.,中间变量,既有一元函数,也有多元函数的情况,:,解,例,3,解,令,记,例,4,于是,全微分形式不变性的实质,:,无论,z,是自变量,x,y,的函数或中间变量,u,v,的函数,它的全微分形式是一样的,.,二、全微分形式不变性,例,5,设 而,求,解,比较,1,、链式法则(连线相乘,分线相加),2,、全微分形式不变性,(特别注意特殊情况:,函数的复合结构的层次),小 结,思考题,设,,而,试问,与,是否相同?为什么?,等式左端的,z,是作为一个自变量,x,的函数,,写出来为,不相同,.,作 业,p.30,习题,8-4,2;4;5;8;9;11;12.(1);(3).,
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