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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,角的概念扩展,1,、角的概念,初中是如何定义角的？,从一个点出发引出的,两条射线,构成的几何图形,.,这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是,0,360),，,这种定义称为,静态定义,，其弊端在于“,狭隘,”,.,生活中很多实例会不在该范围。,体操运动员转体,720,，跳水运动员向内、向外转体,1080,；,经过,1,小时，时针、分针、秒针各转了多少度？,这些例子不仅不在范围,0,360),，而且方向不同，有,必要,将角的概念,推广,到,任意角,，,想想用什么办法才能推广到,任意角,？,关键是用,运动的观点,来看待角的变化。,2,角的概念的推广,“,旋转,”形成角,一条射线由原来的位置,OA,，绕着它的端点,O,按,逆时针方向旋转,到另一位置,OB,，就形成角,旋转开始时的射线,OA,叫做角,的,始边,，旋转终止的射线,OB,叫做角,的,终边,，射线的,端点,O,叫做角,的,顶点,“正角”与“负角”、“,0,角”,我们把,按逆时针方向旋转,所形成的角叫做,正角,，把,按顺时针方向旋转,所形成的角叫做,负角,，如图，以,OA,为始边的角,=210,，,=,150,，,=660,，,特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零度角（,0,）,角的记法：,角,或可以简记成,.,角的概念扩展的意义：,用“旋转”定义角之后，,角的范围,大大地,扩大,了,角有正负之分,;,如：,=210,=,150,=660,.,角可以任意大,;,实例：体操动作：旋转,2,周（,360,2=720,）,3,周（,360,3=1080,）,还有零角,一条射线，没有旋转,.,角的概念推广以后，它包括,任意大小的正角、负角和零角,要注意，正角和负角是表示具有,相反意义,的,旋转量,，它的正负规定纯属于习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样,用旋转来描述角，需要注意三个要素（,旋转中心、旋转方向和旋转量,）,（,2,）旋转方向：旋转变换的方向分为,逆时针和顺时针,两种，这是一对,意义相反的量,，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；,（,1,）旋转中心：作为角的顶点,.,（,3,）旋转量：,当旋转超过一周时，旋转量即超过,360,，角度的绝对值可大于,360.,于是就会出现,720,，,540,等角度,.,3,“象限角”,为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。,角的顶点重合于,坐标原点,，角的始边重合于,x,轴的正半轴,，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）,例如：,30,、,390,、,330,是第,象限角，,300,、,60,是第,象限角，,585,、,1300,是第,象限角，,135,、,2000,是第,象限角等,4,终边相同的角,观察：,390,，,330,角，它们的终边都与,30,角的终边相同,.,探究：,终边相同的角都可以表示成一个,0,到,360,的角与,k,(,k,Z,),个周角的和,：,390,=30,+360,(,k,=1),330,=30,360,(,k,=,1),30,=30,+0360,(,k,=0),1470,=30,+4360,(,k,=4),1770,=30,5360,(,k,=,5),结论：,所有与,终边相同的角连同,在内可以构成一个,集合,：,|,=+k,360,(,k,Z),即：任何一个与角,终边相同的角，都可以表示成,角,与整数个周角的和,注意以下四点：,k,Z,；,是任意角；,k,360,与,之间是“,+”,号，如,k,360,30,应看成,k,360+(,30),；,终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差,360,的整数倍,.,例,1.,在,0,到,360,范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角,.,(1),120,；,(2)640,；,(3),95012,.,解：,120=,360+240,，,240,的角与,120,的角终边相同，,它是第三象限角,640=360+280,，,280,的角与,640,的角终边相同，,它是第四象限角,95012=,3,360+12948,，,12948,的角与,95012,的角终边相同，,它是第二象限角,例,2.,写出与下列各角终边相同的角的集合,S,，并把,S,中在,360720,间的角写出来：,(1)60,；,(2),21,；,(3)36314,.,解：,(1),S,=,|,=k,360+60,(,k,Z,),S,中在,360,720,间的角是,1360+60=,280,；,0360+60=60,；,1360+60=420,(2),S,=,|,=k,360,21(,k,Z,),S,中在,360,720,间的角是,0360,21=,21,；,1360,21=339,；,2360,21=699,(3),|,=k,360+,36314,(,k,Z,),S,中在,360,720,间的角是,2360+36314=,35646,；,1360+36314=314,；,0360+36314=36314,课堂练习,1,锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于,90,的角是锐角吗？区间,(0,90),内的角是锐角吗？,答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于,90,的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间,(0,90),内的角是锐角,2,已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在,x,轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？,(1)420,，,(2),75,，,(3)855,，,(4),510,答：,(1),第一象限角；,(2),第四象限角，,(3),第二象限角，,(4),第三象限角,.,3,、已知,角的终边相同，那么,的终边在（）,A,x,轴的非负半轴上,B,y,轴的非负半轴上,C,x,轴的非正半轴上,D,y,轴的非正半轴上,A,4,、终边与坐标轴重合的角的集合是（）,A,|,=k,360(,k,Z,),B,|,=k,180(,k,Z,),C,|,=k,90(,k,Z,),D,|,=k,180+90(,k,Z,),C,5,、已知角,2,的终边在,x,轴的上方，那么,是,(),A,第一象限角,B,第一、二象限角,C,第一、三象限角,D,第一、四象限角,C,6,、若,是第四象限角，则,180,是（）,A,第一象限角,B,第二象限角,C,第三象限角,D,第四象限角,C,7,、在直角坐标系中，若,与,终边互相垂直，那么,与,之间的关系是（）,A.,=,+90,o,B,=,90,o,C,=,k,360,o,+90,o,+,k,Z,D,=,k,360,o,90,o,+,k,Z,D,8,、若,90,135,，则,的范围是,_,，,+,的范围是,_;,(0,45),(180,270),9,、若,的终边与,60,角的终边相同，那么在,0,360,范围内，终边与角 的终边相同的角为,_;,解：,=k,360+60,，,k,Z,.,所以,=,k,120+20,，,k,Z,.,当,k,=0,时，得角为,20,，,当,k,=1,时，得角为,140,，,当,k,=2,时，得角为,260.,
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