材料力学第9章 梁的挠度和刚度计算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,9,章 平面弯杆弯 曲 变 形与刚度计算,9.1,挠曲线 挠度和转角,9.2,挠曲线近似微分方程,9.3,积分法求梁的变形,9.4,叠加法求梁的变形,9.5,梁的刚度条件与合理刚度设计,9.6,用变形比较法解简单超静定梁,1,、梁的变形特点,P,x,C,C,1,w(x),q,w(x),挠度：梁截面形心在垂直于梁的初始轴线方向的位移,转角：梁截面相对于变形前的位置转过的角度,挠曲线,9.1,挠曲线 挠度和转角,平面假设,小变形（小挠度）,挠曲线：梁弯曲后，梁轴线所成的曲线,挠曲线方程,2,，意义,工业厂房钢筋混凝土吊梁,普通机车主轴,符号给定：,正值的挠度向下，负值的向上；正值的,转角为顺时针转相，负值的位逆时针转向,3,，影响变形的因素,4,，计算变形的方法,积分法、,叠加法、,能量法、,1,、挠曲线近似微分方程,挠曲线近似微分方程,小变形,M,0,M,0,9.2,挠曲线近似微分方程,*,思考：,1,、,挠曲线方程（弹性曲线）,9.3,积分法求梁的变形,2,、边界条件、连续条件,P,D,P,A,B,C,*,注意问题,什么时候需要分段积分？,如何确定极值？,P,L,1,L,2,A,B,C,例,9.1,求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。,弯矩方程,微分方程的积分,边界条件,、连续条件,P,L,x,w,弹性曲线方程,最大挠度及最大转角,x,P,L,w,L,q,0,B,A,例,9.2,均布荷载下的简支梁，,EI,已知，,求挠度及两端截面的转角。,解：,1,确定反力,2,求出弯矩方程,x,3,微分方程的积分,4,边界条件,、连续条件,5,梁的转角方程和挠曲线方程,6,梁的最大挠度：根据对称性,7,梁两端的转角,例,9.3,集中力下的简支梁，,EI,已知，,求挠曲线方程和转角方程，最大挠度及最大转角。,F,a,l,A,B,解：,1,确定反力,2,求出弯矩方程,3,微分方程的积分,积分一次：,再积分一次：,4,边界条件,、连续条件,边界条件,连续条件,积分成数为,5,梁的转角方程和挠曲线方程,6,最大转角,6,最大挠度,例、试用积分法求图示梁的转角方程和挠曲线方程，并求,截面的转角和,截面的挠度。设,常量。,解：,1,确定反力,2,求出弯矩方程,3,微分方程的积分,4,边界条件,、连续条件,5,梁的转角方程和挠曲线方程,在小变形条件下，材料服从虎克定律,几个载荷共同作用的变形,=,各个载荷单独作用的变形之和,叠加原理,9.4,叠加法求梁的变形,内力,与外力,成线性关系,L,B,A,x,B,A,x,B,A,x,+,=,例,9.4,简支梁的,EI,已知，,用叠加法,求梁跨中截面的位移和支座,B,的转角。,载荷分解如图,均布载荷单独作用时,集中力偶单独作用时,叠加,+,=,例,9.5,简支梁的,EI,已知，,用叠加法求梁,跨中截面的位移和两端截面的转角。,载荷分解如图,对称均布载荷单独作用时,集中力偶单独作用时,x,x,x,叠加,例 用,叠加原理求,A,点转角和,C,点挠度,。,载荷分解如图,查简单载荷变形表,=,+,P,A,B,q,A,B,q,P,A,B,C,a,a,A,A,A,q,q,P,P,=,+,B,B,B,C,a,a,叠加,逐段刚性法：,研究前一段梁时，暂将后面的各段梁视为刚体，前一段梁末端截面的位移为后一段梁提供一个刚体位移；在研究后一段梁时，将已变形的前一段梁的挠曲线刚性化，再将各段梁的变形叠加在前一段梁的所提供的刚性位移上，从而得到后一段梁的总位移,9.6,用逐段刚性法求阶梯悬臂梁自由端的挠度和转角,把变形后的,AC,刚性化,把未变形,CB,刚性化,求,AC,的变形时，,CB,刚化,AC,变形引起,CB,的变形,求,CB,的变形，把变形后的,AC,刚化，此时,CB,可看成以,C,为固定端的悬臂梁,把变形后的,AC,刚性化,B,截面的位移等于,AC,段变形引起,CB,的刚性位移和,CB,自身弯曲引起的位移,9.7,用逐段刚性法求解简支外伸梁的挠度,把未变形,BC,刚性化,把变形后的,AB,刚性化,求,AB,的变形时，把,BC,刚化,AB,变形引起,BC,的变形,求,BC,的变形，把变形后的,AB,刚化，此时,BC,可看成以,B,为固定端的悬臂梁,把变形后的,AB,刚性化,C,截面的位移等于,AB,段变形引起,BC,的刚性位移和,BC,自身弯曲引起的位移,9.5,梁的刚度条件与合理刚度设计,9.5.1,梁的刚度条件,抗扭刚度,、,校核刚度,*,三种计算,、,设计截面尺寸,、,设计载荷,P,L=,400mm,P,2,=2kN,A,C,a=,0.1m,200mm,D,P,1,=1kN,B,例,空心圆杆，,d,=40mm,、,D,=80mm,，,E,=210GPa,，工程规定,C,点的,w/L,=0.00001,B,点的,=,0.001,弧度,校,核此杆的刚度。,校核刚度,不安全,9.5.2,梁的合理刚度设计,梁跨度的选取,制作约束和加载方式的合理安排,梁截面的合理选取,梁材料的合理选取,建立静定基,用反力代替多余约束的结构,=,q,0,L,A,B,q,0,L,F,B,A,B,L,q,0,M,A,B,A,1,、处理方法,变形协调方程,物理方程,平衡方程,静定基,9.6,用变形比较法解简单超静定梁,变形协调方程,+,q,0,L,F,B,A,B,=,F,B,A,B,q,0,A,B,物理方程,补充方程,约束力确定后，,3,便成为静定结构，所以其,它支座的约束反力可以方便求出,求图示,CD,杆的轴力,F,N,，已知梁,ABC,的抗弯刚度为,EI,，杆,CD,的抗拉、抗压刚度为,EA,设,CD,的轴力为,F,N,协调方程,物理关系,代入协调方程,一长为,L,的悬臂梁,CD,，在其端点,D,处经一滚柱由下面另一悬臂梁,AB,实行弹性加固，,已知梁,CD,的抗弯刚度为,EI,，梁,AB,的抗弯刚度为,2EI,，现在梁,AB,的,B,端作用一垂直于,AB,梁、大小为,P,的力，求,C,处的约束反力。,附表：,解：,1.,解除,D,处的弹性约束，,则变形协调条件为,4,研究,CD,杆,2.,物理关系,3.,代入变形协调条件,