函数的幂级数展开式的应用

*,函数值的近似计算,积分的近似计算,欧拉,(Euler),公式,小结 思考题 作业,求极限,第五节 函数的幂级数展开式,的应用,第十一章 无穷级数,1,一、求极限,有些未定式的极限,可以将极限过程中的主要、,例,求,解,将sin,x,展开为,x,=,0的幂级数.,这种方法的优点是:,次要成份表示得非常清楚.,可以用幂级数方法求出.,函数的幂级数展开式的应用,2,由此例可看出:,这里,sin,x,与其等价无穷小,x,相差高阶无穷小,这个高阶无穷小不能与分子 的,第一项,x,抵消,它在极限中是起作用的.,但如果将,sin,x,用,x,代换,则相当于将这个起作用的高阶无穷小也略去了,这显然是错误的.,函数的幂级数展开式的应用,在求极限时,为什么加、减项,的无穷小不能用其等价无穷小代换.,3,函数的幂级数展开式的应用,二、函数值的近似计算,用函数的幂级数展开式,常用方法,1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;,2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.,可以在展开式有效,的区间内计算函数的近似值,而且可达到预先指,定的精度要求.,4,例,解,函数的幂级数展开式的应用,余和:,5,函数的幂级数展开式的应用,用级数作近似计算时,这样估计误差,常将其余和放大,为几何级数.,因此计算量要小一些.,在一般情况下,泰勒公式比用拉格朗日估计误差的精度更好,6,例,解,其误差不超过,函数的幂级数展开式的应用,7,函数的幂级数展开式的应用,三、积分的近似计算,有些初等函数的原函数不能用初等函数,故其定积分就不能用牛顿,-,莱布尼茨,但如果这些函数在积分区间上能,表示,公式计算.,能展开成幂级数,性质来计算这些定积分.,则可利用幂级数逐项积分,8,例,解,收敛的交错级数,函数的幂级数展开式的应用,被积函数,的原函数不能用初等函数表示.,由于,x,=,0是,的可去间断点,故定义,这样,被积函数在0,1上,连续.,展开,得,9,第四项,取前三项作为积分的近似值,得,例,函数的幂级数展开式的应用,10,复数项级数,函数的幂级数展开式的应用,四、欧拉,(Euler),公式,为实常数或实函数.,若,则称级数,收敛,且其和为,复数项级数绝对收敛的概念,若,收敛,则,绝对收敛,称复数项级数(1),绝对收敛.,Euler(1707 1783)是瑞士数学家、物理学家,11,函数的幂级数展开式的应用,三个基本展开式,12,揭示了三角函数和复变量指数函数之间的一种关系.,函数的幂级数展开式的应用,欧拉(Euler)公式,13,欧拉公式的证明,求极限,(求未定式的极限),函数的幂级数展开式的应用,五、小结,积分的近似计算,函数值的近似计算,14,函数的幂级数展开式的应用,思考题,计算,解,因为,又,所以,15,作 业,习题11-5(229页),1.(1)(3)2.(1)3.,函数的幂级数展开式的应用,16,