(精品)第1章复数与复变函数

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,复变函数与积分变换,郑州大学信息工程学院,刘占卫,引 言,复变函数与积分变换，实际上是两门课，都属,于工程数学.,第,1,章到第,6,章是属于复变函数，复变函数论,发展到今天已成为一个内容非常丰富、应用极,为广泛的数学分支.作为大学必修课程的复变,函数主要讲述解析函数的基本理论和有关方法，通常它包含以下三方面内容：,Cauchy,积分理论,Weierstrass,级数理论,Riemann,保形映照理论,.,第,7,8,章是属于积分变换，主要包括傅里叶,(,Fourier),和拉普拉斯(,Laplace,),积分变换.,第,1,章 复数与复变函数,一、复数域、扩充复平面及其球面表示,在中学代数中已经知道，虚数单位 具有性质 ，将这一虚数单位与两个实数 用加、乘结合起来得到复数,分别称为复数 的,实部,与,虚部,记为,.,复数的四则运算为,若,，,两复数,相等,当且仅当实部与虚部相等，,i.e.,和,若复数 ，则 称为 的,共轭复数,，记作 .,而 称为 的,绝对值,（,模,）,，,，记 .,于是,显然 ，,对于平面上一个给定的直角坐标系来说，复数 可以用坐标为 的点来表示,.,轴为实轴，轴为虚轴，所在平面称为,复平面,，记作,.,（见图,1.1,）,图,1.1,一个复数不仅可以用一点来表示，而且可以用一个由原点指向这点的向量来表示，这个复数、这个点、这个向量都以同一字母 来表示之.,任一向量作平行移动后得到的所有向量都视为与原向量恒等.于是复数的加法成为向量的加法.而复数的公式往往赋有几何意义，例如 表示向量长度，表示三角形两边之和大于第三边，等等.,对复数也可引入极坐标 复数,也称为复数 的,三角表示式,.显然，称为复数 的,模,.称为复数 的,辐角,，记 辐角 有无穷多值,彼此相差 的整数倍.通常把满足 的辐角值,称为 的主值，记为,，于是,用复数的极坐标来表示两复数的乘、除法、乘方以及开方，有时很方便.,如果,则,两复数相乘，积的模为模的积，积的辐角为辐角的和.进而,，不难知道,，使得 ，则称 为 的 次,方根,，记为,设 ，则 .,从而,解出后,（算术根），,因此，的 次方根为,（,i）,当 时，得到 个相异的根,（,ii）,当 以其他整数值代入时，上述根又重复出现.,例 1 ,将 写成三角形式,解：,令,由,例 2,假设 ，试证只有 时,才是实数.,证 ：,实数,从 得 ，故,例 3,试证,证 ：,又因,例 4 ,在一直线上的条件是 为实数,试证明之.,证 ：,在一直线上的条件是以线段 与线段 为两边的角,是 的整数倍，即,平面图形用复数形式表示，有时很简单.,若 ，为一固定的复数，为一固定的实数，则 表示一个以 为中心，为半径的圆盘，记作 .同样，,上半平面 ；右半平面 等等.,引入坐标，得到复平面 ，但如何来处理无穷远点？在复变函数论中，引入一个点，叫做,无穷远点,，记作 ，,称为,扩充复平面,，它的几何模型称为,复球面,，如图,1.3：,球面 上任意点（除点,外）与复平面上的点 一一对应，反之亦然.但是在复平面 上引进无穷远点 与球面,上 点对应.,以此来扩展,.,有限复数 ，,图,1.3,二、复平面的点集，复变函数,的 邻域,：,，称为 的,内点,：若 使得 .,称为 的,界点,：若 以及,若 的每个点皆为内点，则称 为,开集,.若 的所有极限点都属于 ，则 称为,闭集,.全部边界点组成的集，称为 的,边界,，记为 .,的 邻域,：,1 基 本 概 念,设 为复数点集（平面点集）.,2区域、曲线,非空平面点集 称为,区域,：若它满足,（1）为开集；,（2）是,连通的,，就是说 中任何两点都可以用一条完,全属于 内的折线连接起来.,设已给曲线 ：,区域 加上它的边界称为,闭区域,.,如 ，则 叫做,连续曲线,.,若 ，即没有重点的连续曲线叫做,简单曲线,，当 时，则称为,简单闭曲线,.,若在 上恒有 ，且 、,，则称为,光滑曲线,；若一条曲线由有限条光滑曲线连接而成，则称为,逐（按）段光滑曲线,.,一个区域 ，若在 内任作一条简单闭曲线，其内部仍全含于 ，则称 为,单连通区域,；否则称为,多连通区域,.,这里，我们承认一条简单闭曲线将平面分为,内部,和,外部,.,设 是一个复数集，如果对 中的任一复数 ，通过一个确定的规则有一个或若干个复数 与之对应，就说在,上定义了一个,复变函数,，记为,.,3复变函数定义，极限，连续性,如果 的一个值对应着一个 值,那么称 是,单值的,否则就称是,多值的,.,称为 的,定义域,称,为 的,值域,.,例 如,，及 均为 的,单值函数；（整数）及,均为 的多值函数.,当 为单值时，其反函数 可能是多值的.当函数及其反函数都是单值函数时，则称这种函数是,双方单值的,.,对于 中的每一个 ，一定存在一个或若干个,值与之对应，这就定义了 上的一个函数.,或记为,称为 的,反函数,.,设复变函数 在 的去心邻域 内有定义，对 ，若 ，使得当,时，有 .则称 为当 趋向于 时，函数,的,极限,，记为 或当 时，,.,关于复变函数的极限与连续性.,注 1,趋向 是按任意的方式进行的通常用“方式”这一术语，以区别“方向”一词，具体地说，即使当 沿任何射线方向趋向于 时，都趋向于数 ，还不能说 在点 以 为极限.,注2,对极限概念可作一几何说明：首先留意不等式,所确定的是 平面上的一个去心邻域，即除去了中心 的一个 邻域,.,在点 以 为极限的意思是：先在 平面上给定一个以 为心,为半径的圆，而后能找到 的一个去心 邻域，使得 中含于此去心邻域内的点的象都在上述 圆内,.,先、后顺序关系：圆是先给的，去心的 邻域则是后找的,.,图,1.4,下面的结论成立，它们的证明方法与工数里的相应结论是类似的.,若 在点 有极限，则其极限是唯一的.,若 ，则,i.,ii.,iii.,；,；,证 ：,由不等式,在极限定义中，若极限 为函数 在点 的值,即,则说 在点,连续,.,定 理 1,设 ，则,且,定 理 2,设 ，在点 连续 在点 连续,.,例 1,求下列极限值,（,1,），（,2,）,解：,（1）令 ，则 ，沿直线 ，,趋于0时，,它随 值而作各式各样变化，故 不存在.,（2）,例 2,问下列函数在原点连续吗？,（1）（2）,解：,（,1,）令 ，则 沿半直线,时,不存在，因此在 不连续,.,（2）令 ，则 ，,故 在 连续,.,例 3,若 在点 连续，那么 ，也在 点连续，试证明之,.,解：,使得当 时，,成立，,故 在 点连续,.又,故 在 连续,.,例 4.,在何处连续？,解：,当,不是原点也不是负实轴或虚轴上的点时，与 足够接近的点 也不是原点与负实轴上的点，这时有,因为 ，所以 有意义，故,即,.,当 为 正虚轴上点 时，有,当 为负虚轴上的点 时，有,当 为负实轴上点 时，由于,所以 不存在,.,