数据的基本分析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章,数据的基本分析,本章提要,算术平均数和几何平均数的计算,算术平均数的性质,极差、方差和标准差的计算,方差与标准差之间的关系,标准差的性质,第一节 平均值,数据集中性,平均值,的计算,平均值（,mean,、,average,）观测值的平均水平和集中趋势的表示,常用的平均值有：,算术平均数,几何平均数,调和平均数,众数,中位数,百分位数,在本专业的统计和日常工作中，以算术平均值和几何平均值最为常见，使用最频繁,调和平均数一般用在速度类问题方面,众数、中位数由于计算工具的改进已用得不多,算术平均数（,arithmetic mean,）是最常用的平均值，简称为平均值，或均值,算术平均数有两种计算方法：,1,、直接法,2,、加权法 在次数分布表或资料分类的基础上进行计算，用加权法计算得的算术平均值称加权平均值（,weighted mean,）,或：,加权法第二式中的 是频数：,而,加权平均值用 表示，在很多情况下，与算术平均值 不一定相等，特别是当我们用组距式分组法中每一组的组中值作为每一组的组平均值 时更是如此,直接法所得到的平均值有两个基本性质：,1,、离均差之和为零，用公式表示，即,2,、离均差平方和为最小，即,其中，为不等于 的任意一个数：,用直接法所得到的算术平均值的这两个基本性质很重要，同学们可以自己加以证明,需要指出的是，,加权平均值不具有这两个基本性质,（因此，一般不计算加权平均值）,对于总体来说，我们通常用 表示其平均数,当总体为有限，且总体容量为 时，总体平均值的计算公式为：,但一般情况下，总体平均值总是,未知,的，需要用样本平均值来进行,估计,，因此，样本的,代表性,就显得尤为重要,几何平均值,（,geometric mean,）主要用于非线性数据的统计分析，如增长率、疫病的潜伏期、药物效价、抗体滴度等的平均值,几何平均值用 表示：,在实际计算时可将其转换为对数形式进行计算：,分组资料几何平均值的计算公式为：,算术平均数一般用在,加性,（,additive,）资料、或称,线性,（,linear,）资料中,所谓加性资料或线性资料是指这些资料是可加的，或每一个数据可分解成若干个,可加的部分,，如人体和动物体的身高、体重等外形性状，人类和家畜的生理、生化数值等，这些资料一般服从或近似服从正态分布,几何平均数一般用在,非加性,（,non-additive,）或,非线性,（,non-linear,）资料中，如平均增长率、药物或疫苗的平均效价、抗体滴度等,调和平均值,（,harmonic mean,）一般用在平均速度、“有效群体”等方面，其公式为：,第二节 变异数,数据离散性,变异数,的计算,变异数（,variable,）观测值离散程度的表示，用来表示平均值代表性的强弱,变异数大，说明数据离散程度大，平均值的代表性差；反之，变异数小，说明数据离散程度小，平均值的代表性好,因此，仅用一个平均值作为资料特征值进行统计描述是不够的，还需要有表示数据离散程度描述的统计量,常用来表示数据离散性的变异数有以下几个：,极差,方差,标准差,极差,（,range,R,）,将资料中的最大值数据减去最小值数据,即为极差,显然，一批数据不管其样本量有多大，计算极差总是只用两个值，一个最大值，一个最小值，其余数据都没有用上，因此这是不合理的，也没有统计学意义，样本与样本的离散程度也无法进行比较，如以下两个样本：,23，25，26，31，45，47，48,其极差为,25,23，32，32，34，36，36，48,其极差为,25,显然第一个样本的离散程度比第二个样本要来得大，但仅从极差上是看不出来的，因为两个样本的极差都等于,25,方差（,variance,V,s,2,）,合理的方法应当使某一个数据都参与到计算离差的过程中去，将某一个数据均与平均值相比较，即某一个数据均与平均值相减,显然有多少个数据，就有多少个差值，且这些差值之和必为,0,（算术平均数的第一个性质）,将这些差值平方以后再相加，得到一个值,这个值不会等于,0,，且由于各个差值都平方了，其中离平均值较远的数值在表现离差时的作用更明显了,但由于每个样本在很多情况下不会一样大，因此应将这一平方和（,SS,）平均一下，以利于比较,如上例的两批数据：,23，25，26，31，45，47，48,其平均值为,35,离均差平方和为,SS,754,，用自由度平均一下，得,125.667,23，32，34，34，37，37，48,其平均值为,35,离均差平方和为,SS,332,，用自由度平均一下，得,55.333,显然第二个样本较第一个样本要集中一些,125.667,为第一个样本的方差值（,S,2,）,55.333,为第二个样本的方差值（,S,2,）,方差值是平方以后的值，因此使用中不太方便,标准差（,standard deviation,),将方差开一下平方根，得,上例中，第一个样本的标准差为,11.21,第二个样本的标准差为,7.44,标准差由于已经过了开平方，其单位与平均数是一致的，因此标准差是统计学中经常使用的一个值,得到平均值和标准差后，这批数据可以用下式来表示：,总体：样本：,是,参数,是,统计量,标准差的计算公式,总体,标准差：,样本,标准差：,上面两个式子中，每一个公式的后面部分是如何从前面部分变来的，请同学们作为,作业,自行推导,比较两个公式的不同，我们会发现：总体标准差用总体含量,N,来得到，而样本标准差则用,n-1,来得到,n-1,在这里称为,自由度,（,degree of freedom df,）,自由度的含义和说明,对于样本容量为,n,的样本来说，每一个观测值都有一个离均差，即,n,个离均差，由于受 的限制，只有,n-1,个离均差是自由的，有一个离均差失去了,自由,在统计学中，若某个统计量的计算受到,k,个条件的限制，则其自由度就为,n-k,，在估计样本方差时受到了平均数的限制，因此样本方差的自由度就是,n-1,；估计平均数时没有限制条件，因此平均数的自由度就是,n,样本方差有一个十分重要的作用，就是用来估计总体方差由于 ，根据平均数的第二个性质可知，必小于 ，因此如用,必定偏小,将分母改为,n-1,，则可适当增大 值，使样本方差的数学期望更接近于总体方差,因此使用自由度的目的就是为了能用样本方差更好地、,无偏,（,unbias,）地估计总体方差,小样本资料必须用,n-1,来计算方差，即标准差，大样本时,n,与,n-1,相差无几，因此大样本时也可用,n,代替,n-1,由于大小样本的界限没有严格的规定，因此在一般状况下仍宜使用,n-1,在一般情况下，样本方差通常也称为,均方,（,Mean of square,），用 或 表示之,加权平均数的标准差公式：,有了平均数和标准差，我们就可以用一个比较简单的方法来表示一个样本或一批资料：,标准差的特性,变量越离散，标准差越大；反之，标准差越大，表示数据越离散，资料的变异程度越大,各变量加减一个常数，标准差不变,各变量乘一个常数,a,，标准差将扩大,a,倍,资料服从正态分布时，观测值的分布为：,68.27,的数据分布在 的范围内,95.45,的数据分布在 的范围内,99.73,的数据分布在 的范围内,另外还有两个十分重要的分布范围：,内包含了,95,的变量,内包含了,99,的变量,变异系数,（coefficient of variation c.v,.,）,不同单位的资料很难比较其变异程度，因此应将标准差相对化，变异系数就是相对化的标准差：,变异系数的大小既受标准差的影响，同时还受平均数的影响，因此变异系数不能单独使用，在计算变异系数时必须将平均值和标准差同时标出,变异系数只有在资料间相互比较时才使用,(*),end,